Back to the topics list

mahusiano

Katika hisabati tunakutana na mahusiano mengi kama vile nambari m ni chini ya nambari n, mstari p ni sawa na mstari wa Q, seti ya R ni seti ndogo ya seti S. Katika haya yote, tunagundua kuwa uhusiano unahusisha jozi za vitu. Katika somo hili tutajifunza jinsi ya kuunganisha jozi za vitu kutoka kwa seti mbili na kisha kuanzisha uhusiano kati ya vitu viwili katika jozi.

Jozi Zilizoagizwa: Jozi iliyoagizwa ina vitu viwili au vipengele katika mpangilio maalum. Kwa mfano, ikiwa P na Q ni seti mbili basi kwa jozi ya vipengele vilivyopangwa tunamaanisha jozi (a,b) kwa mpangilio huo, ambapo a ∈ P, b ∈ Q.

Usawa wa jozi zilizoagizwa: Jozi mbili zilizoamriwa (a,b) na (c,d) ni sawa ikiwa a = c na b = d

Bidhaa za Cartesian za seti

Acha A na B ziwe seti zozote mbili zisizo tupu. Seti ya jozi zote zilizoagizwa (a,b) hivi kwamba ∈ A na b ∈ B inaitwa bidhaa za cartesian za seti P na Q na inaonyeshwa na P × Q.

Kwa hivyo, P × Q = {(a,b) : a ∈ A na b ∈ B}

Kwa mfano, ikiwa P = {2, 4, 6} na Q = {1, 2}, basi

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7)}

• Jozi mbili zilizoamriwa ni sawa, ikiwa na tu ikiwa vipengele vya kwanza vinavyolingana ni sawa na vipengele vya pili pia ni sawa
• Ikiwa kuna vipengele vya m katika vipengele vya P na n katika Q, basi kutakuwa na vipengele vya mn katika P × Q.
• Ikiwa P na Q ni seti mbili zisizo tupu na P au Q ni seti isiyo na kikomo, basi P × Q ni sawa.

Mfano 1: Ikiwa (x + 1, y − 3) = (4, 1), pata thamani za x na y.

Suluhisho: x + 1 = 4 kwa hivyo, x = 4 - 1 = 3

y - 3 = 1, kwa hiyo, y = 1 + 3 = 4

Mfano wa 2: Ikiwa P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} na R = {1, 3, 5} pata P × (Q ∪ R)

Suluhisho: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Kwa hiyo, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3, 3), (3, 3),

Mahusiano

Fikiria seti mbili P na Q ambapo P ={4, 9, 25} na Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Tunaweza kupata kikundi kidogo cha P × Q kwa kutambulisha uhusiano R kati ya kipengele cha kwanza x na kipengele cha pili y cha kila jozi iliyoagizwa (x,y) kama

R = {(x,y):x ni mraba wa nambari y, x ∈ P na y ∈ Q}

Uwakilishi unaoonekana wa uhusiano huu R (unaoitwa mchoro wa mshale) umeonyeshwa hapa chini:

Katika muundo uliowekwa wa kijenzi, R = {(x,y):x ni mraba wa nambari y, x ∈ P na y ∈ Q}

Katika mfumo wa orodha, R = {(4+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Kikoa: seti ya vipengele vyote vya kwanza vya jozi zilizoagizwa katika uhusiano R kutoka kwa kuweka P hadi kuweka Q inaitwa uwanja wa uhusiano R. Katika mfano huu, kikoa ni {4, 9, 25}.
• Masafa na Kikoa: Seti ya vipengele vyote vya pili katika uhusiano R kutoka seti P hadi kuweka Q inaitwa masafa ya uhusiano R. Seti nzima ya Q inaitwa kikoa cha uhusiano R. Kumbuka kuwa masafa ni kitengo kidogo cha kikoa. Katika mfano ulio hapo juu, safu na kikoa ni sawa na sawa na {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Kumbuka: Jumla ya idadi ya mahusiano ambayo yanaweza kufafanuliwa kutoka kwa seti ya P hadi Q seti ni idadi ya vikundi vidogo vinavyowezekana vya P × Q. Ikiwa n(P) = r na n(Q) = s, basi n(P × Q) = rs na jumla ya idadi ya mahusiano ni 2 ^rs.

Mfano wa 3: Acha P = {1, 2} na Q = {3, 4}. Tafuta idadi ya mahusiano kutoka P hadi Q.

Suluhisho: Tunayo, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Kwa kuwa n (P × Q) = 4, idadi ya subsets ya P × Q ni 2 ⁴ , kwa hiyo, idadi ya mahusiano itakuwa 2 ⁴ = 16