Back to the topics list

ความสัมพันธ์

ในวิชาคณิตศาสตร์ เราพบความสัมพันธ์มากมาย เช่น จำนวน m น้อยกว่าจำนวน n, เส้น p ตั้งฉากกับเส้น Q, เซต R เป็นเซตย่อยของเซต S ในทั้งหมดนี้ เราสังเกตเห็นว่าความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกับคู่ของวัตถุ ในบทเรียนนี้ เราจะเรียนรู้วิธีเชื่อมโยงวัตถุสองชุดเข้าด้วยกัน จากนั้นแนะนำความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทั้งสองในคู่

คู่ที่สั่งซื้อ: คู่ที่สั่งซื้อประกอบด้วยวัตถุหรือองค์ประกอบ 2 รายการในลำดับคงที่ที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ถ้า P และ Q เป็น 2 เซต ดังนั้นด้วยคู่ลำดับขององค์ประกอบ เราหมายถึงคู่ (a,b) ในลำดับนั้น โดยที่ a ∈ P, b ∈ Q

ความเท่าเทียมกันของคู่อันดับ: คู่อันดับสองคู่ (a,b) และ (c,d) มีค่าเท่ากันถ้า a = c และ b = d

ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของชุด

ให้ A และ B เป็นเซตที่ไม่ว่างสองเซต เซตของคู่อันดับทั้งหมด (a,b) ที่ a ∈ A และ b ∈ B เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต P และ Q และเขียนแทนด้วย P × Q

ดังนั้น P × Q = {(a,b) : a ∈ A และ b ∈ B}

ตัวอย่างเช่น ถ้า P = {2, 4, 6} และ Q = {1, 2} ดังนั้น

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• คู่อันดับสองคู่จะเท่ากันก็ต่อเมื่อองค์ประกอบแรกที่สอดคล้องกันนั้นเท่ากันและองค์ประกอบที่สองก็เท่ากันเช่นกัน
• หากมีองค์ประกอบ m ในองค์ประกอบ P และ n ใน Q ดังนั้นจะมีองค์ประกอบ mn ใน P × Q
• ถ้า P และ Q เป็นเซตที่ไม่ว่างสองเซต และ P หรือ Q เป็นเซตอนันต์ ดังนั้น P × Q ก็เช่นกัน

ตัวอย่างที่ 1: ถ้า (x + 1, y − 3) = (4, 1) ให้หาค่าของ x และ y

คำตอบ: x + 1 = 4 ดังนั้น x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1 ดังนั้น y = 1 + 3 = 4

ตัวอย่างที่ 2: ถ้า P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} และ R = {1, 3, 5} หา P × (Q ∪ R)

วิธีแก้ไข: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

ดังนั้น P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

ความสัมพันธ์

พิจารณาสองชุด P และ Q โดยที่ P ={4, 9, 25} และ Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

เราสามารถรับเซตย่อยของ P × Q ได้โดยแนะนำความสัมพันธ์ R ระหว่างองค์ประกอบแรก x และองค์ประกอบที่สอง y ของแต่ละคู่อันดับ (x,y) เป็น

R = {(x,y):x คือกำลังสองของจำนวน y, x ∈ P และ y ∈ Q}

การแสดงภาพของความสัมพันธ์ R (เรียกว่าแผนภาพลูกศร) แสดงอยู่ด้านล่าง:

ในรูปแบบตัวสร้างเซต R = {(x,y):x คือกำลังสองของจำนวน y, x ∈ P และ y ∈ Q}

ในรูปแบบบัญชีรายชื่อ R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• โดเมน: ชุดขององค์ประกอบแรกทั้งหมดของคู่ที่เรียงลำดับในความสัมพันธ์ R จากชุด P ถึงชุด Q เรียกว่าโดเมนของความสัมพันธ์ R ในตัวอย่างนี้ โดเมนคือ {4, 9, 25}
• เรนจ์และโคโดเมน: ชุดขององค์ประกอบที่สองทั้งหมดในความสัมพันธ์ R จากชุด P ถึงชุด Q เรียกว่าเรนจ์ของความสัมพันธ์ R ชุด Q ทั้งหมดเรียกว่าโคโดเมนของความสัมพันธ์ R โปรดทราบว่าช่วงนั้นเป็นเซตย่อย ของโคโดเมน ในตัวอย่างข้างต้น ช่วงและโคโดเมนเหมือนกันและเท่ากับ {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

หมายเหตุ: จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดที่สามารถกำหนดได้จากเซต P ถึงเซต Q คือจำนวนเซตย่อยที่เป็นไปได้ของ P × Q ถ้า n(P) = r และ n(Q) = s ดังนั้น n(P × Q) = rs และจำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมดคือ 2 ^rs

ตัวอย่างที่ 3: ให้ P = {1, 2} และ Q = {3, 4} ค้นหาจำนวนความสัมพันธ์จาก P ถึง Q

วิธีแก้ปัญหา: เรามี P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

เนื่องจาก n(P × Q) = 4 จำนวนเซตย่อยของ P × Q คือ 2 ⁴ ดังนั้น จำนวนความสัมพันธ์จะเป็น 2 ⁴ = 16