Back to the topics list

relasyon

Sa matematika, marami tayong makikitang relasyon tulad ng bilang m ay mas mababa sa numero n, linya p ay patayo sa linya Q, set R ay subset ng set S. Sa lahat ng ito, mapapansin natin na ang isang relasyon ay nagsasangkot ng mga pares ng mga bagay. Sa araling ito matututunan natin kung paano iugnay ang mga pares ng mga bagay mula sa dalawang set at pagkatapos ay ipakilala ang mga relasyon sa pagitan ng dalawang bagay sa pares.

Ordered Pair: Ang isang ordered pair ay binubuo ng dalawang bagay o elemento sa isang nakapirming order. Halimbawa, kung ang P at Q ay dalawang set, kung gayon sa pamamagitan ng isang nakaayos na pares ng mga elemento, ibig sabihin ay isang pares (a,b) sa ganoong pagkakasunud-sunod, kung saan ang a ∈ P, b ∈ Q

Pagkakapantay-pantay ng mga nakaayos na pares: Ang dalawang nakaayos na pares (a,b) at (c,d) ay magkapareho kung a = c at b = d

Cartesian na produkto ng mga hanay

Hayaang ang A at B ay alinman sa dalawang hindi-bakanteng hanay. Ang hanay ng lahat ng mga nakaayos na pares (a,b) na ang a ∈ A at b ∈ B ay tinatawag na mga produkto ng cartesian ng mga hanay ng P at Q at tinutukoy ng P × Q

Kaya, P × Q = {(a,b) : a ∈ A at b ∈ B}

Halimbawa, kung P = {2, 4, 6} at Q = {1, 2}, kung gayon

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7)}

• Ang dalawang nakaayos na pares ay magkapantay, kung at kung ang mga katumbas na unang elemento ay magkapantay at ang pangalawang elemento ay magkapantay din.
• Kung mayroong m elemento sa P at n elemento sa Q, magkakaroon ng mn elemento sa P × Q.
• Kung ang P at Q ay dalawang di-bakanteng hanay at alinman sa P o Q ay isang walang-katapusang hanay, gayon din ang P × Q

Halimbawa 1: Kung (x + 1, y − 3) = (4, 1), hanapin ang mga halaga ng x at y.

Solusyon: x + 1 = 4 samakatuwid, x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, samakatuwid, y = 1 + 3 = 4

Halimbawa 2: Kung P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} at R = {1, 3, 5} hanapin ang P × (Q ∪ R)

Solusyon: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Samakatuwid, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4)), (3, 1), (3, 4)), (3, 4)),

Relasyon

Isaalang-alang ang dalawang set na P at Q kung saan ang P ={4, 9, 25} at Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Makakakuha tayo ng subset ng P × Q sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kaugnayan R sa pagitan ng unang elemento x at pangalawang elemento y ng bawat nakaayos na pares (x,y) bilang

R = {(x,y):x ay ang parisukat ng numerong y, x ∈ P at y ∈ Q}

Ang isang visual na representasyon ng kaugnayang ito R (tinatawag na arrow diagram) ay ipinapakita sa ibaba:

Sa set builder form, ang R = {(x,y):x ay ang parisukat ng numerong y, x ∈ P at y ∈ Q}

Sa anyong roster, R = {(4+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Domain: ang hanay ng lahat ng unang elemento ng mga nakaayos na pares na may kaugnayang R mula sa isang set P hanggang set Q ay tinatawag na domain ng relasyong R. Sa halimbawang ito, ang domain ay {4, 9, 25}.
• Range at Codomain: Ang set ng lahat ng pangalawang elemento sa isang relation R mula sa set P hanggang set Q ay tinatawag na range ng relation R. Ang buong set Q ay tinatawag na codomain ng relation R. Tandaan na ang range ay isang subset ng codomain. Sa halimbawa sa itaas, ang range at codomain ay pareho at katumbas ng {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Tandaan: Ang kabuuang bilang ng mga relasyon na maaaring tukuyin mula sa isang set P hanggang sa isang set Q ay ang bilang ng mga posibleng subset ng P × Q. Kung n(P) = r at n(Q) = s, kung gayon n(P × Q) = rs at ang kabuuang bilang ng mga relasyon ay 2 ^rs

Halimbawa 3: Hayaan ang P = {1, 2} at Q = {3, 4}. Hanapin ang bilang ng mga relasyon mula P hanggang Q.

Solusyon: Mayroon kaming, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Dahil n(P × Q) = 4, ang bilang ng mga subset ng P × Q ay 2 ⁴ , samakatuwid, ang bilang ng mga relasyon ay magiging 2 ⁴ = 16