Back to the topics list

ilişkiler

Matematikte m sayısı n sayısından küçüktür, p doğrusu Q doğrusuna diktir, R kümesi S kümesinin alt kümesidir gibi pek çok bağıntıyla karşılaşırız. Tüm bunlarda, bir ilişkinin nesne çiftlerini içerdiğini fark ederiz. Bu derste iki kümeden nesne çiftlerini nasıl bağlayacağımızı öğreneceğiz ve ardından çiftteki iki nesne arasındaki ilişkileri tanıtacağız.

Sıralı Çift: Sıralı bir çift, belirli bir sabit sıradaki iki nesne veya öğeden oluşur. Örneğin, eğer P ve Q iki küme ise, o zaman sıralı bir eleman çifti derken, bu sırada bir (a,b) çiftini kastediyoruz, burada a ∈ P, b ∈ Q

Sıralı çiftlerin eşitliği: İki sıralı çift (a,b) ve (c,d) a = c ve b = d ise eşittir

Setlerin kartezyen çarpımı

A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. a ∈ A ve b ∈ B olacak şekilde tüm sıralı ikililerin (a,b) kümesine P ve Q kümelerinin kartezyen çarpımı denir ve P × Q ile gösterilir

Böylece, P × Q = {(a,b) : a ∈ A ve b ∈ B}

Örneğin, P = {2, 4, 6} ve Q = {1, 2} ise, o zaman

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), (7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7)}

• İki sıralı çift eşittir, ancak ve ancak karşılık gelen birinci elemanlar eşitse ve ikinci elemanlar da eşitse
• P'de m ve Q'da n eleman varsa, P × Q'da mn eleman olacaktır.
• P ve Q boş olmayan iki kümeyse ve P veya Q sonsuz kümeyse, P × Q da öyledir.

Örnek 1: (x + 1, y − 3) = (4, 1) ise, x ve y'nin değerlerini bulun.

Çözüm: x + 1 = 4 öyleyse, x = 4 - 1 = 3

y - 3 = 1, bu nedenle, y = 1 + 3 = 4

Örnek 2: P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} ve R = {1, 3, 5} ise P × (Q ∪ R)'yi bulun

Çözüm: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Bu nedenle, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}

ilişkiler

P ={4, 9, 25} ve Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5} olmak üzere iki P ve Q kümesini ele alalım.

Her sıralı çiftin (x,y) birinci elemanı x ve ikinci elemanı y arasına bir R ilişkisi getirerek P × Q'nun bir alt kümesini elde edebiliriz:

R = {(x,y):x, y, x ∈ P ve y ∈ Q sayılarının karesidir}

Bu R ilişkisinin görsel bir temsili (ok diyagramı olarak adlandırılır) aşağıda gösterilmiştir:

Set oluşturucu formunda, R = {(x,y):x, y, x ∈ P ve y ∈ Q sayılarının karesidir}

Kadro biçiminde, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Etki alanı: P kümesinden Q kümesine R ilişkisindeki sıralı çiftlerin tüm ilk elemanlarının kümesi, R ilişkisinin alanı olarak adlandırılır. Bu örnekte, tanım alanı {4, 9, 25}'dir.
• Menzil ve Ortak Alan: Bir P kümesinden Q kümesine bir R ilişkisindeki tüm ikinci elemanların kümesine R ilişkisinin aralığı denir. Q kümesinin tamamına R ilişkisinin ortak alanı denir. Aralığın ortak etki alanının bir alt kümesi olduğuna dikkat edin. Yukarıdaki örnekte, aralık ve ortak alan aynıdır ve {+2, -2, +3, -3, +5, -5}'e eşittir.

Not: Bir P ^kümesinden bir Q kümesine kadar tanımlanabilecek ilişkilerin toplam sayısı, P × Q'nun olası alt kümelerinin sayısıdır.

Örnek 3: P = {1, 2} ve Q = {3, 4} olsun. P'den Q'ya olan ilişkilerin sayısını bulun.

Çözüm: P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

n(P × Q) = 4 olduğundan, P × Q'nun alt kümelerinin sayısı 2 ^4'tür , dolayısıyla bağıntıların sayısı 2 ⁴ = 16 olacaktır.