Back to the topics list

відносини

У математиці ми зустрічаємо багато відношень, наприклад, число m менше за число n, пряма p перпендикулярна до прямої Q, множина R є підмножиною множини S. У всіх цих відношеннях ми помічаємо, що відношення включає пари об’єктів. У цьому уроці ми навчимося пов’язувати пари об’єктів із двох наборів, а потім введемо зв’язки між двома об’єктами в парі.

Упорядкована пара: впорядкована пара складається з двох об’єктів або елементів у заданому фіксованому порядку. Наприклад, якщо P і Q є двома множинами, то під упорядкованою парою елементів ми маємо на увазі пару (a,b) у цьому порядку, де a ∈ P, b ∈ Q

Рівність упорядкованих пар: дві впорядковані пари (a,b) і (c,d) рівні, якщо a = c і b = d

Декартовий добуток множин

Нехай A і B будь-які дві непорожні множини. Множина всіх упорядкованих пар (a,b), таких, що a ∈ A і b ∈ B, називається декартовим добутком множин P і Q і позначається P × Q

Отже, P × Q = {(a,b) : a ∈ A і b ∈ B}

Наприклад, якщо P = {2, 4, 6} і Q = {1, 2}, то

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}

• Дві впорядковані пари рівні тоді і тільки тоді, коли відповідні перші елементи рівні і другі елементи також рівні
• Якщо в P є m елементів, а в Q n елементів, то в P × Q буде mn елементів.
• Якщо P і Q є двома непорожніми множинами і P або Q є нескінченною множиною, то P × Q також

Приклад 1: якщо (x + 1, y − 3) = (4, 1), знайдіть значення x і y.

Розв'язання: x + 1 = 4, отже x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1, отже, y = 1 + 3 = 4

Приклад 2: якщо P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} і R = {1, 3, 5}, знайдіть P × (Q ∪ R)

Рішення: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

Отже, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }

Відносини

Розглянемо дві множини P і Q, де P = {4, 9, 25} і Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Ми можемо отримати підмножину P × Q, ввівши відношення R між першим елементом x і другим елементом y кожної впорядкованої пари (x,y) як

R = {(x,y):x — квадрат числа y, x ∈ P і y ∈ Q}

Візуальне представлення цього відношення R (називається діаграмою зі стрілками) показано нижче:

У формі конструктора множин R = {(x,y):x є квадратом числа y, x ∈ P і y ∈ Q}

У формі списку R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• Домен: набір усіх перших елементів упорядкованих пар у відношенні R від множини P до множини Q називається доменом відношення R. У цьому прикладі доменом є {4, 9, 25}.
• Діапазон і кодомен: набір усіх других елементів у відношенні R від набору P до набору Q називається діапазоном відношення R. Весь набір Q називається кодоменом відношення R. Зверніть увагу, що діапазон є підмножиною кодомені. У наведеному вище прикладі діапазон і кодомен однакові й дорівнюють {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

Примітка. Загальна кількість відношень, які можна визначити від множини P до множини Q, є кількістю можливих підмножин P × Q. Якщо n(P) = r і n(Q) = s, тоді n(P × Q) = rs і загальна кількість відношень дорівнює 2 ^rs

Приклад 3: нехай P = {1, 2} і Q = {3, 4}. Знайдіть число відношень від P до Q.

Рішення: ми маємо P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Оскільки n(P × Q) = 4, кількість підмножин P × Q дорівнює 2 ⁴ , отже, кількість відношень буде 2 ⁴ = 16