Back to the topics list

تعلقات

ریاضی میں ہم بہت سے رشتوں سے ملتے ہیں جیسے نمبر m نمبر n سے کم ہے، لائن p لکیر Q پر کھڑا ہے، سیٹ R سیٹ S کا سب سیٹ ہے۔ ان سب میں، ہم دیکھتے ہیں کہ ایک رشتہ میں اشیاء کے جوڑے شامل ہوتے ہیں۔ اس سبق میں ہم سیکھیں گے کہ دو سیٹوں سے اشیاء کے جوڑے کو کیسے جوڑنا ہے اور پھر جوڑے میں موجود دو اشیاء کے درمیان تعلقات کو کیسے متعارف کرایا جاتا ہے۔

ترتیب شدہ جوڑا: ایک ترتیب شدہ جوڑا ایک مقررہ ترتیب میں دو اشیاء یا عناصر پر مشتمل ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر P اور Q دو سیٹ ہیں تو عناصر کے ترتیب شدہ جوڑے سے ہماری مراد اس ترتیب میں ایک جوڑا (a, b) ہے، جہاں a ∈ P، b ∈ Q

ترتیب شدہ جوڑوں کی مساوات: دو ترتیب شدہ جوڑے (a,b) اور (c,d) برابر ہیں اگر a = c اور b = d

سیٹوں کی کارٹیشین مصنوعات

A اور B کو کوئی بھی دو غیر خالی سیٹ مانیں۔ تمام ترتیب شدہ جوڑوں کا مجموعہ (a,b) اس طرح کہ a ∈ A اور b ∈ B کو سیٹ P اور Q کی کارٹیشین مصنوعات کہا جاتا ہے اور P × Q سے ظاہر ہوتا ہے۔

اس طرح، P × Q = {(a,b): a ∈ A اور b ∈ B}

مثال کے طور پر، اگر P = {2, 4, 6} اور Q = {1, 2}، تو

P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3، 1)، (3، 2)، (5، 1)، (5، 2)، (7، 1)، ( 7، 2)}

Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2، 7)}

• دو ترتیب شدہ جوڑے برابر ہیں، اگر اور صرف اس صورت میں جب متعلقہ پہلے عناصر برابر ہوں اور دوسرے عناصر بھی برابر ہوں۔
• اگر P میں m عناصر اور Q میں n عناصر ہیں، تو P × Q میں mn عناصر ہوں گے۔
• اگر P اور Q دو غیر خالی سیٹ ہیں اور P یا Q ایک لامحدود سیٹ ہے، تو P × Q بھی ہے۔

مثال 1: اگر (x + 1, y −3) = (4, 1)، x اور y کی قدریں تلاش کریں۔

حل: x + 1 = 4 لہذا، x = 4 − 1 = 3

y − 3 = 1، لہذا، y = 1 + 3 = 4

مثال 2: اگر P = {1, 2, 3}، Q = {3, 4} اور R = {1, 3, 5} تلاش کریں P × (Q ∪ R)

حل: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}

لہذا، P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 5)، (2،1)، (2، 3)، (2، 4)، (2، 5)، (3، 1)، (3، 3)، (3، 4)، (3، 5) }

تعلقات

دو سیٹ P اور Q پر غور کریں جہاں P ={4, 9, 25} اور Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}

ہم ہر ترتیب شدہ جوڑے (x,y) کے پہلے عنصر x اور دوسرے عنصر y کے درمیان تعلق R متعارف کروا کر P × Q کا ذیلی سیٹ حاصل کر سکتے ہیں۔

R = {(x,y):x نمبر y، x ∈ P اور y ∈ Q} کا مربع ہے

اس تعلق R کی بصری نمائندگی (جسے تیر کا خاکہ کہا جاتا ہے) ذیل میں دکھایا گیا ہے:

سیٹ بلڈر فارم میں، R = {(x,y):x نمبر y، x ∈ P اور y ∈ Q} کا مربع ہے

روسٹر فارم میں، R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}

• ڈومین: ترتیب شدہ جوڑوں کے تمام پہلے عناصر کے سلسلے میں R ایک سیٹ P سے Q سیٹ کرنے کے لیے رشتہ R کا ڈومین کہلاتا ہے۔ اس مثال میں، ڈومین ہے {4, 9, 25}۔
• رینج اور کوڈومین: ریلیشن میں تمام دوسرے عناصر کے سیٹ P سے سیٹ Q تک کو ریلیشن R کی رینج کہا جاتا ہے۔ پورے سیٹ Q کو ریلیشن R کا کوڈومین کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ رینج ایک سب سیٹ ہے۔ کوڈومین کا۔ مندرجہ بالا مثال میں، رینج اور کوڈومین ایک جیسے ہیں اور {+2، -2، +3، -3، +5، -5} کے برابر ہیں۔

نوٹ: تعلقات کی کل تعداد جو سیٹ P سے سیٹ Q تک بیان کی جا سکتی ہے P × Q کے ممکنہ ذیلی سیٹوں کی تعداد ہے۔ اگر n(P) = r اور n(Q) = s، تو n(P × Q) = rs اور رشتوں کی کل تعداد 2 ^rs ہے۔

مثال 3: چلیں P = {1, 2} اور Q = {3, 4}۔ P سے Q تک تعلقات کی تعداد معلوم کریں۔

حل: ہمارے پاس، P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

چونکہ n(P × Q) = 4، P × Q کے ذیلی سیٹوں کی تعداد 2 ⁴ ہے، لہذا، تعلقات کی تعداد 2 ⁴ = 16 ہوگی