Trong toán học, chúng ta bắt gặp nhiều quan hệ như số m nhỏ hơn số n, đường thẳng p vuông góc với đường thẳng Q, tập hợp R là tập hợp con của tập hợp S. Trong tất cả những quan hệ này, chúng ta nhận thấy rằng một quan hệ bao gồm các cặp đối tượng. Trong bài học này chúng ta sẽ học cách liên kết các cặp đối tượng từ hai tập hợp và sau đó giới thiệu quan hệ giữa hai đối tượng trong cặp.
Cặp có thứ tự: Một cặp có thứ tự bao gồm hai đối tượng hoặc phần tử theo một thứ tự cố định nhất định. Ví dụ: nếu P và Q là hai tập hợp thì theo một cặp phần tử có thứ tự, chúng ta có nghĩa là một cặp (a,b) theo thứ tự đó, trong đó a ∈ P, b ∈ Q
Sự bằng nhau của các cặp có thứ tự: Hai cặp có thứ tự (a,b) và (c,d) bằng nhau nếu a = c và b = d
Cho A, B là hai tập hợp khác rỗng bất kỳ. Tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a,b) sao cho a ∈ A và b ∈ B được gọi là tích cartesian của tập P và Q và được ký hiệu là P × Q
Do đó, P × Q = {(a,b) : a ∈ A và b ∈ B}
Ví dụ: nếu P = {2, 4, 6} và Q = {1, 2} thì
P × Q = {3, 5, 7} × {1, 2} = ((3, 1), (3, 2), (5, 1), (5, 2), (7, 1), ( 7, 2)}
Q × P = {1, 2} × {3, 5, 7} = ((1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), ( 2, 7)}
Ví dụ 1: Nếu (x + 1, y − 3) = (4, 1), hãy tìm các giá trị của x và y.
Lời giải: x + 1 = 4 do đó, x = 4 − 1 = 3
y − 3 = 1, do đó, y = 1 + 3 = 4
Ví dụ 2: Nếu P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} và R = {1, 3, 5} tìm P × (Q ∪ R)
Lời giải: Q ∪ R = {1, 3, 4, 5}
Do đó, P × (Q ∪ R) = {1, 2, 3} × {1, 3, 4, 5} = {(1, 1),(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5) }
Xét hai tập hợp P và Q trong đó P = {4, 9, 25} và Q = {+2, -2, +3, -3, +5, -5}
Chúng ta có thể thu được một tập con của P × Q bằng cách đưa vào một quan hệ R giữa phần tử thứ nhất x và phần tử thứ hai y của mỗi cặp có thứ tự (x, y) như
R = {(x,y):x là bình phương của số y, x ∈ P và y ∈ Q}
Một biểu diễn trực quan của mối quan hệ R này (được gọi là sơ đồ mũi tên) được hiển thị bên dưới:
Ở dạng xây dựng tập hợp, R = {(x,y):x là bình phương của số y, x ∈ P và y ∈ Q}
Ở dạng danh sách, R = {(4,+2), (4,-2), (9, +3), (9, -3), (25, +5), (25, -5)}
Lưu ý: Tổng số quan hệ có thể được xác định từ tập P đến tập Q là số tập con có thể có của P × Q. Nếu n(P) = r và n(Q) = s thì n(P × Q) = rs và tổng số quan hệ là
Ví dụ 3: Cho P = {1, 2} và Q = {3, 4}. Tìm số quan hệ từ P đến Q .
Giải: Ta có, P × Q = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
Vì n(P × Q) = 4 nên số tập con của P × Q là 2 4 , do đó, số quan hệ sẽ là 2 4 = 16
