वर्ग
वर्ग ज्यामिति में एक विशेष प्रकार का आकार है। यह एक सपाट, दो-आयामी आकार है जिसमें चार बराबर भुजाएँ और चार समकोण होते हैं। आइए वर्गों और उनके गुणों के बारे में अधिक जानें।
वर्ग की परिभाषा
वर्ग एक चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि इसमें चार भुजाएँ होती हैं। वर्ग की सभी चार भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, और चारों कोणों में से प्रत्येक समकोण (90 डिग्री) होता है। इन गुणों के कारण, वर्ग एक प्रकार का आयत और एक प्रकार का समचतुर्भुज भी है।
वर्ग के गुण
- सभी चार भुजाएँ लंबाई में बराबर हैं।
- सभी चार कोण समकोण (90 डिग्री) हैं।
- विपरीत भुजाएँ समान्तर हैं।
- एक वर्ग के विकर्ण लंबाई में बराबर होते हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
वर्गों से संबंधित सूत्र
वर्गों से संबंधित कई महत्वपूर्ण सूत्र हैं:
- परिधि: किसी वर्ग की परिधि, वर्ग के चारों ओर की कुल लंबाई होती है। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
\( \textrm{परिमाप} = 4 \times \textrm{किनारे की लंबाई} \)
- क्षेत्रफल: वर्ग का क्षेत्रफल वर्ग के अंदर की जगह की मात्रा है। इसे सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
\( \textrm{क्षेत्र} = \textrm{किनारे की लंबाई} \times \textrm{किनारे की लंबाई} = \textrm{किनारे की लंबाई}^2 \)
- विकर्ण: किसी वर्ग का विकर्ण दो विपरीत कोनों को जोड़ने वाला रेखाखंड होता है। इसे सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:
\( \textrm{विकर्ण} = \textrm{किनारे की लंबाई} \times \sqrt{2} \)
उदाहरण
आइए इन सूत्रों को बेहतर ढंग से समझने के लिए कुछ उदाहरण देखें।
उदाहरण 1: परिमाप की गणना
मान लीजिए हमारे पास 5 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है। परिमाप ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( \textrm{परिमाप} = 4 \times \textrm{किनारे की लंबाई} = 4 \times 5 = 20 \textrm{ सेमी} \)
उदाहरण 2: क्षेत्रफल की गणना
मान लीजिए हमारे पास 6 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( \textrm{क्षेत्र} = \textrm{किनारे की लंबाई} \times \textrm{किनारे की लंबाई} = 6 \times 6 = 36 \textrm{ सेमी}^2 \)
उदाहरण 3: विकर्ण की गणना
मान लीजिए हमारे पास 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग है। विकर्ण ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( \textrm{विकर्ण} = \textrm{किनारे की लंबाई} \times \sqrt{2} = 4 \times \sqrt{2} \approx 5.66 \textrm{ सेमी} \)
वर्गों के वास्तविक-विश्व अनुप्रयोग
वास्तविक दुनिया में कई जगहों पर स्क्वायर पाए जाते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
- टाइलें: कई फ़्लोर टाइलें चौकोर आकार की होती हैं। इससे बिना किसी अंतराल के बड़े क्षेत्र को कवर करना आसान हो जाता है।
- खिड़कियाँ: कुछ खिड़कियाँ वर्गाकार होती हैं, जो संतुलित और सममित रूप प्रदान करती हैं।
- शतरंज की बिसात: शतरंज की बिसात 8x8 ग्रिड में व्यवस्थित 64 छोटे वर्गों से बनी होती है।
- कागज: ओरिगेमी कागज अक्सर चौकोर आकार का होता है, जिससे इसे विभिन्न आकारों में मोड़ना आसान होता है।
वर्गों की विविधताएँ
जबकि वर्ग एक विशिष्ट प्रकार की आकृति है, कुछ अन्य आकृतियाँ भी हैं जो वर्गों से संबंधित हैं:
- आयत: एक आयत में विपरीत भुजाएं बराबर लंबाई की होती हैं तथा चार समकोण होते हैं, लेकिन सभी भुजाएं बराबर नहीं होती हैं।
- समचतुर्भुज: समचतुर्भुज की सभी भुजाएं बराबर लंबाई की होती हैं, लेकिन कोण आवश्यक रूप से समकोण नहीं होते।
- समांतर चतुर्भुज: समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं, लेकिन कोण आवश्यक रूप से समकोण नहीं होते।
सारांश
आइये संक्षेप में बताएं कि हमने वर्गों के बारे में क्या सीखा:
- वर्ग एक चतुर्भुज है जिसमें चार बराबर भुजाएँ और चार समकोण होते हैं।
- एक वर्ग की परिधि की गणना \(4 \times \textrm{किनारे की लंबाई}\) के रूप में की जाती है।
- एक वर्ग का क्षेत्रफल \(\textrm{किनारे की लंबाई}^2\) के रूप में गणना की जाती है।
- एक वर्ग के विकर्ण की गणना \(\textrm{किनारे की लंबाई} \times \sqrt{2}\) के रूप में की जाती है।
- वर्ग कई वास्तविक वस्तुओं जैसे टाइलों, खिड़कियों, शतरंज की बिसात और ओरिगेमी कागज़ में पाए जाते हैं।
- संबंधित आकृतियों में आयत, समचतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज शामिल हैं।
