تسلسل وسلسلة

التسلسل والسلسلة

مرحبًا بكم في درسنا حول المتتابعات والمتسلسلات! واليوم سنتعرف على هذه المفاهيم الرياضية المهمة. سوف نستكشف ماهية التسلسلات والسلاسل، وكيفية عملها، ونرى بعض الأمثلة من الحياة اليومية.

ما هو التسلسل؟

التسلسل عبارة عن قائمة من الأرقام مرتبة بترتيب معين. كل رقم في التسلسل يسمى مصطلح. على سبيل المثال، في التسلسل 2، 4، 6، 8، 10، كل رقم هو مصطلح.

يمكن أن تكون التسلسلات محدودة أو لا نهائية. المتوالية المنتهية لها عدد محدود من الحدود، بينما المتتابعة اللانهائية تستمر إلى الأبد.

أنواع التسلسلات

هناك أنواع مختلفة من التسلسلات. دعونا نلقي نظرة على بعض منها الشائعة:

• المتتابعة الحسابية: في المتتابعة الحسابية، يكون الفرق بين الحدود المتتالية هو نفسه دائمًا. ويسمى هذا الاختلاف بالفرق المشترك. على سبيل المثال، في المتتابعة 3، 6، 9، 12، الفرق المشترك هو 3.
• المتتابعة الهندسية: في المتتابعة الهندسية يتم إيجاد كل حد بضرب الحد السابق في عدد ثابت يسمى النسبة المشتركة. على سبيل المثال، في المتتابعة 2، 4، 8، 16، النسبة المشتركة هي 2.

ما هي السلسلة؟

السلسلة هي مجموع شروط التسلسل. إذا جمعنا حدود المتتابعة معًا، نحصل على متسلسلة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المتتابعة 1، 2، 3، 4، فستكون المتسلسلة 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

أنواع السلسلة

تمامًا مثل المتواليات، هناك أنواع مختلفة من المتسلسلة:

• المتسلسلة الحسابية: مجموع حدود المتتابعة الحسابية. على سبيل المثال، المتسلسلة 2 + 4 + 6 + 8 + 10 هي متسلسلة حسابية.
• المتسلسلة الهندسية: مجموع حدود المتتابعة الهندسية. على سبيل المثال، المتسلسلة 1 + 2 + 4 + 8 هي متسلسلة هندسية.

صيغ المتتابعات والمتسلسلات

يمكننا استخدام الصيغ للعثور على مصطلحات محددة في تسلسل أو مجموع سلسلة. فيما يلي بعض الصيغ المهمة:

• صيغة التسلسل الحسابي: يمكن العثور على الحد n من التسلسل الحسابي باستخدام الصيغة: \( a_n = a_1 + (n-1)d \) حيث \( a_n \) هو الحد n، \( a_1 \) هو الحد n الحد الأول، \( n \) هو رقم الحد، و \( d \) هو الفرق المشترك.
• صيغة المتسلسلة الحسابية: يمكن إيجاد مجموع الحدود n الأولى من المتسلسلة الحسابية باستخدام الصيغة: \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) حيث \( S_n \) هو المجموع من الحدود n الأولى، \( a_1 \) هو الحد الأول، و \( a_n \) هو الحد n.
• صيغة التسلسل الهندسي: يمكن إيجاد الحد n من التسلسل الهندسي باستخدام الصيغة: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) حيث \( a_n \) هو الحد n، \( a_1 \) هو الحد الأول، \( r \) هو النسبة المشتركة، و \( n \) هو رقم الحد.
• صيغة المتسلسلة الهندسية: يمكن إيجاد مجموع الحدود n الأولى من المتسلسلة الهندسية باستخدام الصيغة: \( S_n = a_1 \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} \) حيث \( S_n \) هو مجموع حدود n الأولى، \( a_1 \) هو الحد الأول، \( r \) هو النسبة المشتركة، و \( n \) هو رقم الحد.

أمثلة محلولة

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي تم حلها لفهم هذه المفاهيم بشكل أفضل.

مثال 1: التسلسل الحسابي

أوجد الحد الخامس من المتتابعة الحسابية 3، 7، 11، 15، ...

حل:

هنا الحد الأول \( a_1 = 3 \) والفرق المشترك \( d = 4 \) .

باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \) \( a_5 = 3 + (5-1) \cdot 4 \) \( a_5 = 3 + 16 \) \( a_5 = 19 \)

إذن، الحد الخامس هو 19.

مثال 2: المتسلسلة الحسابية

أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من المتسلسلة الحسابية 2، 5، 8، 11، ...

حل:

هنا الحد الأول \( a_1 = 2 \) ، الفرق المشترك \( d = 3 \) و \( n = 6 \) .

أولا: أوجد الحد السادس:

\( a_6 = a_1 + (6-1)d \) \( a_6 = 2 + 5 \cdot 3 \) \( a_6 = 2 + 15 \) \( a_6 = 17 \)

الآن، استخدم صيغة مجموع الحدود n الأولى من سلسلة حسابية:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) \( S_6 = \frac{6}{2} (2 + 17) \) \( S_6 = 3 \cdot 19 \) \( S_6 = 57 \)

إذن مجموع الحدود الستة الأولى هو 57.

مثال 3: التسلسل الهندسي

أوجد الحد الرابع من المتتابعة الهندسية 3، 6، 12، 24، ...

حل:

هنا الحد الأول \( a_1 = 3 \) والنسبة المشتركة \( r = 2 \) .

باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية:

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^{(4-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^3 \) \( a_4 = 3 \cdot 8 \) \( a_4 = 24 \)

إذن، الحد الرابع هو 24.

تطبيقات العالم الحقيقي

تُستخدم التسلسلات والسلاسل في العديد من المواقف الواقعية. وفيما يلي بعض الأمثلة على ذلك:

• الخدمات المصرفية والمالية: غالبًا ما تستخدم حسابات الفائدة المتسلسلة الهندسية. على سبيل المثال، يتم حساب الفائدة المركبة باستخدام سلسلة هندسية.
• علوم الكمبيوتر: غالبًا ما تستخدم الخوارزميات وهياكل البيانات التسلسلات والسلاسل لحل المشكلات بكفاءة.
• الفيزياء: تُستخدم المتتابعات والمتسلسلات لنمذجة وحل المشكلات المتعلقة بالحركة والأمواج والظواهر الفيزيائية الأخرى.

ملخص

اليوم تعلمنا عن المتتابعات والمتسلسلات. التسلسل عبارة عن قائمة من الأرقام بترتيب معين، والسلسلة هي مجموع شروط التسلسل. لقد استكشفنا المتتابعات والمتسلسلات الحسابية والهندسية، وتعلمنا صيغًا مهمة للعثور على الحدود والمبالغ. لقد رأينا أيضًا بعض التطبيقات الواقعية لهذه المفاهيم.

يتذكر:

• التسلسل هو قائمة من الأرقام.
• السلسلة هي مجموع شروط التسلسل.
• المتتابعات الحسابية لها فرق مشترك.
• المتتابعات الهندسية لها نسبة مشتركة.
• استخدم الصيغ للعثور على مصطلحات ومبالغ محددة.

يساعدنا فهم المتتابعات والمتسلسلات في حل العديد من المشكلات العملية في الحياة اليومية. استمر في التدريب، وسوف تتحسن في التعرف على هذه المفاهيم الرياضية المهمة والعمل معها!