slijed i niz

Slijed i serija

Dobrodošli na našu lekciju o sekvencama i serijama! Danas ćemo učiti o ovim važnim matematičkim pojmovima. Istraživat ćemo što su sekvence i serije, kako funkcioniraju te vidjeti neke primjere iz svakodnevnog života.

Što je sekvenca?

Niz je popis brojeva poredanih određenim redoslijedom. Svaki broj u nizu naziva se pojam. Na primjer, u nizu 2, 4, 6, 8, 10 svaki je broj pojam.

Nizovi mogu biti konačni ili beskonačni. Konačan niz ima ograničen broj članova, dok beskonačni niz traje vječno.

Vrste nizova

Postoje različite vrste sekvenci. Pogledajmo nekoliko uobičajenih:

• Aritmetički niz: U aritmetičkom nizu razlika između uzastopnih članova uvijek je ista. Ta se razlika naziva zajedničkom razlikom. Na primjer, u nizu 3, 6, 9, 12 zajednička razlika je 3.
• Geometrijski niz: U geometrijskom nizu, svaki se član nalazi množenjem prethodnog člana s fiksnim brojem koji se naziva zajednički omjer. Na primjer, u nizu 2, 4, 8, 16, uobičajeni omjer je 2.

Što je serija?

Niz je zbroj članova niza. Ako zbrojimo članove niza, dobit ćemo niz. Na primjer, ako imamo niz 1, 2, 3, 4, niz bi bio 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Vrste serija

Kao i nizovi, postoje različite vrste serija:

• Aritmetički niz: zbroj članova aritmetičkog niza. Na primjer, niz 2 + 4 + 6 + 8 + 10 je aritmetički niz.
• Geometrijski niz: Zbroj članova geometrijskog niza. Na primjer, niz 1 + 2 + 4 + 8 je geometrijski niz.

Formule za nizove i serije

Možemo koristiti formule za pronalaženje određenih članova u nizu ili zbroju niza. Evo nekoliko važnih formula:

• Formula aritmetičkog niza: n-ti član aritmetičkog niza može se pronaći pomoću formule: \( a_n = a_1 + (n-1)d \) gdje je \( a_n \) n-ti član, \( a_1 \) je prvi član, \( n \) je broj člana, a \( d \) je zajednička razlika.
• Formula aritmetičkog niza: Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza može se pronaći pomoću formule: \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) gdje je \( S_n \) zbroj od prvih n članova, \( a_1 \) je prvi član, a \( a_n \) je n-ti član.
• Formula geometrijskog niza: n-ti član geometrijskog niza može se pronaći pomoću formule: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) gdje je \( a_n \) n-ti član, \( a_1 \) je prvi član, \( r \) je zajednički omjer, a \( n \) je broj člana.
• Formula geometrijskog niza: Zbroj prvih n članova geometrijskog niza može se pronaći pomoću formule: \( S_n = a_1 \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} \) gdje \( S_n \) je zbroj prvih n članova, \( a_1 \) je prvi član, \( r \) je zajednički omjer, a \( n \) je broj člana.

Riješeni primjeri

Pogledajmo neke riješene primjere kako bismo bolje razumjeli ove koncepte.

Primjer 1: Aritmetički niz

Pronađite 5. član aritmetičkog niza 3, 7, 11, 15, ...

Riješenje:

Ovdje je prvi član \( a_1 = 3 \) i zajednička razlika \( d = 4 \) .

Korištenje formule za n-ti član aritmetičkog niza:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \) \( a_5 = 3 + (5-1) \cdot 4 \) \( a_5 = 3 + 16 \) \( a_5 = 19 \)

Dakle, 5. termin je 19.

Primjer 2: Aritmetički nizovi

Nađite zbroj prvih 6 članova aritmetičkog niza 2, 5, 8, 11, ...

Riješenje:

Ovdje je prvi član \( a_1 = 2 \) , zajednička razlika \( d = 3 \) i \( n = 6 \) .

Prvo pronađite 6. član:

\( a_6 = a_1 + (6-1)d \) \( a_6 = 2 + 5 \cdot 3 \) \( a_6 = 2 + 15 \) \( a_6 = 17 \)

Sada upotrijebite formulu za zbroj prvih n članova aritmetičkog niza:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) \( S_6 = \frac{6}{2} (2 + 17) \) \( S_6 = 3 \cdot 19 \) \( S_6 = 57 \)

Dakle, zbroj prvih 6 članova je 57.

Primjer 3: Geometrijski niz

Pronađite 4. član geometrijskog niza 3, 6, 12, 24, ...

Riješenje:

Ovdje je prvi član \( a_1 = 3 \) i zajednički omjer \( r = 2 \) .

Korištenje formule za n-ti član geometrijskog niza:

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^{(4-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^3 \) \( a_4 = 3 \cdot 8 \) \( a_4 = 24 \)

Dakle, 4. mandat je 24.

Aplikacije iz stvarnog svijeta

Nizovi i serije koriste se u mnogim stvarnim situacijama. Evo nekoliko primjera:

• Bankarstvo i financije: Izračuni kamata često koriste geometrijske serije. Na primjer, složene kamate izračunavaju se pomoću geometrijskog niza.
• Računalna znanost: Algoritmi i strukture podataka često koriste nizove i nizove za učinkovito rješavanje problema.
• Fizika: nizovi i nizovi koriste se za modeliranje i rješavanje problema koji uključuju gibanje, valove i druge fizičke pojave.

Sažetak

Danas smo učili o sekvencama i serijama. Niz je popis brojeva u određenom redoslijedu, a niz je zbroj članova niza. Istraživali smo aritmetičke i geometrijske nizove i nizove i naučili važne formule za pronalaženje članova i zbrojeva. Također smo vidjeli neke primjene ovih koncepata u stvarnom svijetu.

Zapamtiti:

• Niz je popis brojeva.
• Niz je zbroj članova niza.
• Aritmetički nizovi imaju zajedničku razliku.
• Geometrijski nizovi imaju zajednički omjer.
• Koristite formule za pronalaženje određenih izraza i zbrojeva.

Razumijevanje nizova i serija pomaže nam u rješavanju mnogih praktičnih problema u svakodnevnom životu. Nastavite vježbati i postat ćete bolji u prepoznavanju i radu s ovim važnim matematičkim pojmovima!