дараалал ба цуврал

Дараалал ба цуврал

Бидний дараалал ба цувралын хичээлд тавтай морилно уу! Өнөөдөр бид эдгээр чухал математикийн ойлголтуудын талаар суралцах болно. Бид дараалал, цуврал гэж юу болох, хэрхэн ажилладаг талаар судалж, өдөр тутмын амьдралаас зарим жишээг үзэх болно.

Дараалал гэж юу вэ?

Дараалал гэдэг нь тодорхой дарааллаар байрлуулсан тоонуудын жагсаалт юм. Дараалсан тоо бүрийг нэр томъёо гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 2, 4, 6, 8, 10 дарааллын тоо бүр нь гишүүн юм.

Дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл төгсгөлгүй байж болно. Хязгаарлагдмал дараалал нь хязгаарлагдмал тооны гишүүнтэй байдаг бол хязгааргүй дараалал нь үүрд үргэлжилдэг.

Дарааллын төрлүүд

Янз бүрийн төрлийн дараалал байдаг. Хэд хэдэн нийтлэг зүйлийг авч үзье:

• Арифметик дараалал: Арифметик дараалалд дараалсан гишүүдийн ялгаа үргэлж ижил байдаг. Энэ ялгааг нийтлэг ялгаа гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 3, 6, 9, 12-р дарааллын нийтлэг ялгаа нь 3 байна.
• Геометрийн дараалал: Геометрийн дараалалд гишүүн бүрийг өмнөх гишүүнийг нийтлэг харьцаа гэж нэрлэдэг тогтмол тоогоор үржүүлж олно. Жишээлбэл, 2, 4, 8, 16 дараалалд нийтлэг харьцаа 2 байна.

Цуврал гэж юу вэ?

Цуврал гэдэг нь дарааллын нөхцлийн нийлбэр юм. Хэрэв бид дарааллын нөхцлүүдийг нэмбэл цуврал гарч ирнэ. Жишээлбэл, хэрэв бид 1, 2, 3, 4 дараалалтай бол цуврал нь 1 + 2 + 3 + 4 = 10 байх болно.

Цувралын төрлүүд

Цувралуудын нэгэн адил олон төрлийн цуврал байдаг:

• Арифметик цуврал: Арифметик дарааллын гишүүний нийлбэр. Жишээлбэл, 2 + 4 + 6 + 8 + 10 цуврал нь арифметик цуврал юм.
• Геометрийн цуврал: Геометрийн дарааллын гишүүдийн нийлбэр. Жишээлбэл, 1 + 2 + 4 + 8 цуврал нь геометрийн цуврал юм.

Дараалал ба цувралын томъёо

Бид дараалал эсвэл цувралын нийлбэр дэх тодорхой нэр томъёог олохын тулд томъёог ашиглаж болно. Энд хэдэн чухал томъёо байна:

• Арифметик дарааллын томьёо: Арифметик дарааллын n-р гишүүнийг дараах томъёогоор олно: \( a_n = a_1 + (n-1)d \) энд \( a_n \) нь n-р гишүүн, \( a_1 \) нь эхний гишүүн, \( n \) нь тоо, \( d \) нь нийтлэг ялгаа юм.
• Арифметик цувралын томьёо: Арифметик цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олно: \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) энд \( S_n \) нь нийлбэр юм. эхний n гишүүний \( a_1 \) нь эхний гишүүн, \( a_n \) нь n-р гишүүн юм.
• Геометрийн дарааллын томьёо: Геометрийн дарааллын n-р гишүүнийг дараах томъёогоор олно: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) энд \( a_n \) нь n-р гишүүн, \( a_1 \) нь эхний гишүүн, \( r \) нь нийтлэг харьцаа, \( n \) нь тоо юм.
• Геометрийн цувааны томьёо: Геометрийн цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олно: \( S_n = a_1 \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} \) энд \( S_n \) нь эхний n гишүүний нийлбэр, \( a_1 \) нь эхний гишүүн, \( r \) нь нийтлэг харьцаа, \( n \) нь тоо юм.

Шийдвэрлэсэн жишээнүүд

Эдгээр ойлголтыг илүү сайн ойлгохын тулд зарим шийдэгдсэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1: Арифметик дараалал

3, 7, 11, 15, ... арифметик дарааллын 5-р гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Энд эхний гишүүн \( a_1 = 3 \) ба нийтлэг ялгаа \( d = 4 \) .

Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёог ашиглан:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \) \( a_5 = 3 + (5-1) \cdot 4 \) \( a_5 = 3 + 16 \) \( a_5 = 19 \)

Тэгэхээр 5-р гишүүн 19 байна.

Жишээ 2: Арифметик цуврал

2, 5, 8, 11, ... арифметик цувралын эхний 6 гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Энд эхний гишүүн \( a_1 = 2 \) , нийтлэг ялгаа \( d = 3 \) болон \( n = 6 \) байна.

Эхлээд 6-р гишүүнийг олоорой:

\( a_6 = a_1 + (6-1)d \) \( a_6 = 2 + 5 \cdot 3 \) \( a_6 = 2 + 15 \) \( a_6 = 17 \)

Одоо арифметик цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана уу.

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) \( S_6 = \frac{6}{2} (2 + 17) \) \( S_6 = 3 \cdot 19 \) \( S_6 = 57 \)

Тэгэхээр эхний 6 гишүүний нийлбэр нь 57 байна.

Жишээ 3: Геометрийн дараалал

3, 6, 12, 24, ... геометрийн дарааллын 4-р гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Энд эхний гишүүн \( a_1 = 3 \) ба нийтлэг харьцаа \( r = 2 \) .

Геометрийн дарааллын n-р гишүүний томъёог ашиглан:

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^{(4-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^3 \) \( a_4 = 3 \cdot 8 \) \( a_4 = 24 \)

Тэгэхээр 4-р гишүүн 24 байна.

Бодит ертөнцийн хэрэглээний програмууд

Дараалал, цувралыг бодит ертөнцийн олон нөхцөл байдалд ашигладаг. Энд хэдэн жишээ байна:

• Банк санхүү: Хүүгийн тооцоололд ихэвчлэн геометрийн цуваа ашигладаг. Жишээлбэл, геометрийн цуваа ашиглан нийлмэл хүүг тооцдог.
• Компьютерийн шинжлэх ухаан: Алгоритм ба өгөгдлийн бүтэц нь асуудлыг үр дүнтэй шийдвэрлэхийн тулд дэс дараалал, цувралыг ихэвчлэн ашигладаг.
• Физик: Хөдөлгөөн, долгион болон бусад физик үзэгдлүүдтэй холбоотой асуудлыг загварчилж, шийдвэрлэхэд дараалал, цувааг ашигладаг.

Дүгнэлт

Өнөөдөр бид дараалал, цувралын талаар олж мэдсэн. Дараалал нь тодорхой дарааллаар бичигдсэн тоонуудын жагсаалт бөгөөд цуврал нь дарааллын нөхцлийн нийлбэр юм. Бид арифметик болон геометрийн дараалал, цувааг судалж, нэр томъёо, нийлбэрийг олох чухал томъёог сурсан. Мөн бид эдгээр ойлголтуудын бодит хэрэглээг харсан.

Санаж байна уу:

• Дараалал нь тоонуудын жагсаалт юм.
• Цуврал гэдэг нь дарааллын нөхцлийн нийлбэр юм.
• Арифметик дараалал нь нийтлэг ялгаатай байдаг.
• Геометрийн дараалал нь нийтлэг харьцаатай байдаг.
• Тодорхой нэр томъёо, нийлбэрийг олохын тулд томьёо ашиглана уу.

Дараалал, цувралыг ойлгох нь өдөр тутмын амьдралдаа олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Дасгалаа хий, тэгвэл та эдгээр чухал математик ойлголтуудыг таньж, түүнтэй ажиллахдаа илүү сайн байх болно!