ลำดับและอนุกรม

ลำดับและซีรีส์

ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนของเราเกี่ยวกับลำดับและซีรีส์! วันนี้เราจะเรียนรู้เกี่ยวกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเหล่านี้ เราจะมาสำรวจว่าลำดับและซีรีส์คืออะไร ทำงานอย่างไร และดูตัวอย่างจากชีวิตประจำวัน

ลำดับคืออะไร?

ลำดับคือรายการตัวเลขที่จัดเรียงตามลำดับเฉพาะ แต่ละหมายเลขในลำดับเรียกว่าเทอม ตัวอย่างเช่น ในลำดับ 2, 4, 6, 8, 10 แต่ละตัวเลขคือเทอม

ลำดับอาจเป็นแบบจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ลำดับอันจำกัดมีจำนวนเทอมที่จำกัด ในขณะที่ลำดับอนันต์จะคงอยู่ตลอดไป

ประเภทของลำดับ

มีลำดับหลายประเภท ลองดูสิ่งทั่วไปบางประการ:

• ลำดับเลขคณิต: ในลำดับเลขคณิต ความแตกต่างระหว่างพจน์ที่ต่อเนื่องกันจะเท่ากันเสมอ ความแตกต่างนี้เรียกว่าความแตกต่างทั่วไป ตัวอย่างเช่น ในลำดับ 3, 6, 9, 12 ผลต่างร่วมคือ 3
• ลำดับเรขาคณิต: ในลำดับเรขาคณิต แต่ละเทอมจะถูกพบได้โดยการคูณเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ที่เรียกว่าอัตราส่วนร่วม ตัวอย่างเช่น ในลำดับ 2, 4, 8, 16 อัตราส่วนร่วมคือ 2

ซีรีส์คืออะไร?

อนุกรมคือผลรวมของเงื่อนไขของลำดับ ถ้าเราบวกเงื่อนไขของลำดับเข้าด้วยกัน เราจะได้อนุกรม ตัวอย่างเช่น หากเรามีลำดับ 1, 2, 3, 4 อนุกรมจะเป็น 1 + 2 + 3 + 4 = 10

ประเภทของซีรีส์

เช่นเดียวกับซีเควนซ์ มีซีรีส์หลายประเภท:

• ชุดเลขคณิต: ผลรวมของเงื่อนไขของลำดับเลขคณิต ตัวอย่างเช่น อนุกรม 2 + 4 + 6 + 8 + 10 เป็นอนุกรมเลขคณิต
• อนุกรมเรขาคณิต: ผลรวมของเงื่อนไขของลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อนุกรม 1 + 2 + 4 + 8 เป็นอนุกรมเรขาคณิต

สูตรสำหรับลำดับและอนุกรม

เราสามารถใช้สูตรเพื่อค้นหาคำศัพท์เฉพาะในลำดับหรือผลรวมของอนุกรมได้ นี่คือสูตรสำคัญบางส่วน:

• สูตรลำดับเลขคณิต: เทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตสามารถพบได้โดยใช้สูตร: \( a_n = a_1 + (n-1)d \) โดยที่ \( a_n \) คือเทอมที่ n, \( a_1 \) คือ เทอมแรก \( n \) คือเทอมจำนวน และ \( d \) คือผลต่างร่วม
• สูตรชุดเลขคณิต: ผลรวมของพจน์ n แรกของชุดเลขคณิตสามารถพบได้โดยใช้สูตร: \( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) โดยที่ \( S_n \) คือผลรวม ของพจน์ n ตัวแรก \( a_1 \) คือพจน์แรก และ \( a_n \) คือพจน์ที่ n
• สูตรลำดับเรขาคณิต: หาเทอมที่ n ของลำดับเรขาคณิตได้โดยใช้สูตร: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) โดยที่ \( a_n \) คือเทอมที่ n, \( a_1 \) คือเทอมแรก \( r \) คืออัตราส่วนร่วม และ \( n \) คือเทอมจำนวน
• สูตรอนุกรมเรขาคณิต: ผลรวมของเทอม n แรกของอนุกรมเรขาคณิตสามารถหาได้โดยใช้สูตร: \( S_n = a_1 \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} \) โดยที่ \( S_n \) คือผลรวมของ n เทอมแรก \( a_1 \) คือเทอมแรก \( r \) คืออัตราส่วนร่วม และ \( n \) คือตัวเลขของเทอม

ตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว

มาดูตัวอย่างที่ได้รับการแก้ไขแล้วเพื่อทำความเข้าใจแนวคิดเหล่านี้ให้ดีขึ้น

ตัวอย่างที่ 1: ลำดับเลขคณิต

ค้นหาเทอมที่ 5 ของลำดับเลขคณิต 3, 7, 11, 15, ...

สารละลาย:

ในที่นี้ เทอมแรก \( a_1 = 3 \) และผลต่างร่วม \( d = 4 \)

การใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิต:

\( a_n = a_1 + (n-1)d \) \( a_5 = 3 + (5-1) \cdot 4 \) \( a_5 = 3 + 16 \) \( a_5 = 19 \)

ดังนั้นเทอมที่ 5 คือ 19.

ตัวอย่างที่ 2: อนุกรมเลขคณิต

ค้นหาผลรวมของ 6 เทอมแรกของชุดเลขคณิต 2, 5, 8, 11, ...

สารละลาย:

ในที่นี้ เทอมแรก \( a_1 = 2 \) ความแตกต่างทั่วไป \( d = 3 \) และ \( n = 6 \)

ก่อนอื่น ให้หาพจน์ที่ 6:

\( a_6 = a_1 + (6-1)d \) \( a_6 = 2 + 5 \cdot 3 \) \( a_6 = 2 + 15 \) \( a_6 = 17 \)

ตอนนี้ ให้ใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แรกของอนุกรมเลขคณิต:

\( S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) \) \( S_6 = \frac{6}{2} (2 + 17) \) \( S_6 = 3 \cdot 19 \) \( S_6 = 57 \)

ดังนั้น ผลรวมของ 6 เทอมแรกคือ 57

ตัวอย่างที่ 3: ลำดับเรขาคณิต

ค้นหาเทอมที่ 4 ของลำดับเรขาคณิต 3, 6, 12, 24, ...

สารละลาย:

ในที่นี้ เทอมแรก \( a_1 = 3 \) และอัตราส่วนร่วม \( r = 2 \)

การใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเรขาคณิต:

\( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^{(4-1)} \) \( a_4 = 3 \cdot 2^3 \) \( a_4 = 3 \cdot 8 \) \( a_4 = 24 \)

ดังนั้นเทอมที่ 4 คือ 24.

แอปพลิเคชันในโลกแห่งความเป็นจริง

ลำดับและซีรีส์ถูกนำมาใช้ในสถานการณ์จริงมากมาย นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

• การธนาคารและการเงิน: การคำนวณดอกเบี้ยมักใช้ชุดเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยทบต้นคำนวณโดยใช้อนุกรมเรขาคณิต
• วิทยาการคอมพิวเตอร์: อัลกอริทึมและโครงสร้างข้อมูลมักใช้ลำดับและอนุกรมเพื่อแก้ไขปัญหาอย่างมีประสิทธิภาพ
• ฟิสิกส์: ลำดับและอนุกรมใช้ในการจำลองและแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ คลื่น และปรากฏการณ์ทางกายภาพอื่นๆ

สรุป

วันนี้เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับลำดับและอนุกรม ลำดับคือรายการตัวเลขในลำดับเฉพาะ และอนุกรมคือผลรวมของเงื่อนไขในลำดับ เราสำรวจลำดับและอนุกรมทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต และเรียนรู้สูตรที่สำคัญเพื่อค้นหาคำศัพท์และผลรวม เรายังเห็นการนำแนวคิดเหล่านี้ไปใช้ในโลกแห่งความเป็นจริงอีกด้วย

จดจำ:

• ลำดับคือรายการตัวเลข
• อนุกรมคือผลรวมของเงื่อนไขของลำดับ
• ลำดับเลขคณิตมีความแตกต่างกัน
• ลำดับเรขาคณิตมีอัตราส่วนร่วม
• ใช้สูตรเพื่อค้นหาคำศัพท์และผลรวมเฉพาะ

การทำความเข้าใจลำดับและอนุกรมช่วยให้เราแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติมากมายในชีวิตประจำวันได้ ฝึกฝนต่อไปแล้วคุณจะจดจำและทำงานกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญเหล่านี้ได้ดีขึ้น!