اليوم سنتعلم عن التوليفات. التوليفات هي طريقة لاختيار عناصر من مجموعة، حيث لا يهم ترتيب الاختيار. وهذا يختلف عن التباديل، حيث يهم الترتيب. سنستكشف ماهية التوليفات، وكيفية حسابها، ونرى بعض الأمثلة من الحياة اليومية.
في الرياضيات، المجموعة هي مجموعة مختارة من العناصر من مجموعة أكبر، حيث لا يهم ترتيب العناصر. على سبيل المثال، إذا كان لديك سلة بها 3 فواكه: تفاحة وموزة وكرز، وتريد اختيار فاكهتين، فإن المجموعات ستكون:
لاحظ أن "التفاحة والموز" هي نفسها "الموزة والتفاحة" لأن الترتيب لا يهم في التركيبات.
لحساب عدد التركيبات، نستخدم صيغة التركيبات. الصيغة لإيجاد عدد الطرق لاختيار \( r \) عنصرًا من \( n \) عنصرًا هي:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
هنا، يعني \( n! \) (عامل n) حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى \( n \) . على سبيل المثال، \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
لنفترض أن لديك 4 فواكه: تفاحة وموزة وكرزة وتمر. تريد اختيار نوعين من الفاكهة. ما عدد التركيبات المتاحة؟
باستخدام الصيغة:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
إذًا، هناك 6 تركيبات: تفاحة وموز، تفاح وكرز، تفاح وتمر، موز وكرز، موزة وتمر، كرز وتمر.
تخيل أن لديك خمسة أصدقاء: أليس، بوب، تشارلي، ديفيد، وإيف. تريد تكوين فريق من ثلاثة أعضاء. كم عدد الفرق المختلفة التي يمكنك تكوينها؟
باستخدام الصيغة:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
إذن، هناك 10 فرق مختلفة يمكنك تشكيلها.
لنفترض أن لديك 6 كتب وترغب في اختيار 4 منها لأخذها معك في رحلة. كم عدد مجموعات الكتب المختلفة التي يمكنك اختيارها؟
باستخدام الصيغة:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
إذن، هناك 15 مجموعة مختلفة من الكتب يمكنك الاختيار من بينها.
تُستخدم التركيبات في العديد من المواقف الواقعية. وفيما يلي بعض الأمثلة:
اليوم، تعلمنا عن التركيبات. التركيبة هي طريقة لاختيار عناصر من مجموعة حيث لا يهم الترتيب. نستخدم الصيغة \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) لحساب عدد التركيبات. رأينا أمثلة لاختيار الفاكهة وأعضاء الفريق والكتب. تُستخدم التركيبات في العديد من المواقف الواقعية مثل اليانصيب والفرق الرياضية واختيارات القائمة.
