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combinación

Combinación

Hoy aprenderemos sobre combinaciones. Las combinaciones son una forma de seleccionar elementos de un grupo, donde el orden de selección no importa. Esto es diferente de las permutaciones, donde el orden sí importa. Exploraremos qué son las combinaciones, cómo calcularlas y veremos algunos ejemplos de la vida cotidiana.

Comprender las combinaciones

En matemáticas, una combinación es una selección de elementos de un conjunto más grande, donde el orden de los elementos no importa. Por ejemplo, si tienes una canasta con 3 frutas: una manzana, un plátano y una cereza, y quieres elegir 2 frutas, las combinaciones serían:

• Manzana y plátano
• Manzana y cereza
• Plátano y cereza

Tenga en cuenta que "Manzana y Plátano" es lo mismo que "Plátano y Manzana" porque el orden no importa en las combinaciones.

Fórmula para combinaciones

Para calcular el número de combinaciones, utilizamos la fórmula de combinación. La fórmula para encontrar el número de formas de elegir \( r \) elementos de \( n \) elementos es:

\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)

Aquí, \( n! \) (n factorial) significa el producto de todos los números enteros positivos hasta \( n \) . Por ejemplo, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .

Ejemplo 1: Elección de frutas

Digamos que tienes 4 frutas: una manzana, un plátano, una cereza y un dátil. Quieres elegir 2 frutas. ¿Cuántas combinaciones hay?

Usando la fórmula:

\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)

Entonces, hay 6 combinaciones: Manzana y plátano, Manzana y cereza, Manzana y dátil, Plátano y cereza, Plátano y dátil, Cereza y dátil.

Ejemplo 2: Elección de los miembros del equipo

Imagina que tienes 5 amigos: Alice, Bob, Charlie, David y Eve. Quieres formar un equipo de 3 miembros. ¿Cuántos equipos diferentes puedes formar?

Usando la fórmula:

\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)

Entonces, hay 10 equipos diferentes que puedes formar.

Ejemplo 3: Elección de libros

Supongamos que tienes 6 libros y quieres elegir 4 para llevar de viaje. ¿Cuántos grupos de libros diferentes puedes elegir?

Usando la fórmula:

\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)

Entonces, hay 15 grupos diferentes de libros que puedes elegir.

Aplicaciones en el mundo real

Las combinaciones se utilizan en muchas situaciones del mundo real. A continuación se muestran algunos ejemplos:

• Lotería: Cuando se eligen números para un boleto de lotería, el orden de los números no importa. Los números ganadores son una combinación.
• Equipos deportivos: los entrenadores suelen tener que seleccionar jugadores para un equipo de un grupo más grande. El orden en el que se seleccionan los jugadores no importa, por lo que se trata de una combinación.
• Opciones del menú: cuando eliges platos de un menú, como elegir 2 ingredientes para una pizza de una lista de 5, el orden de los ingredientes no importa. Se trata de una combinación.

Resumen

Hoy aprendimos sobre combinaciones. Una combinación es una forma de seleccionar elementos de un grupo en el que el orden no importa. Usamos la fórmula \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) para calcular la cantidad de combinaciones. Vimos ejemplos de elección de frutas, miembros de un equipo y libros. Las combinaciones se usan en muchas situaciones del mundo real, como loterías, equipos deportivos y opciones de menú.