امروز با ترکیب ها آشنا می شویم. ترکیب ها راهی برای انتخاب آیتم ها از یک گروه هستند که ترتیب انتخاب مهم نیست. این با جایگشت متفاوت است، جایی که ترتیب اهمیت دارد. ما بررسی خواهیم کرد که ترکیبات چیست، چگونه آنها را محاسبه کنیم، و نمونه هایی از زندگی روزمره را مشاهده خواهیم کرد.
در ریاضیات، ترکیب به مجموعه ای از آیتم ها از یک استخر بزرگتر گفته می شود، جایی که ترتیب آیتم ها اهمیتی ندارد. به عنوان مثال، اگر یک سبد از 3 میوه دارید: یک سیب، یک موز، و یک گیلاس، و می خواهید 2 میوه را انتخاب کنید، ترکیبات به این صورت خواهد بود:
توجه داشته باشید که "سیب و موز" همان "موز و سیب" است زیرا ترتیب در ترکیب ها مهم نیست.
برای محاسبه تعداد ترکیب ها از فرمول ترکیبی استفاده می کنیم. فرمول برای یافتن تعداد روش های انتخاب \( r \) آیتم ها از آیتم های \( n \) به این صورت است:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
در اینجا، \( n! \) (n فاکتوریل) به معنای حاصلضرب همه اعداد صحیح مثبت تا \( n \) است. به عنوان مثال، \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
فرض کنید 4 میوه دارید: یک سیب، یک موز، یک گیلاس و یک خرما. شما می خواهید 2 میوه را انتخاب کنید. چند ترکیب وجود دارد؟
با استفاده از فرمول:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
بنابراین، 6 ترکیب وجود دارد: سیب و موز، سیب و گیلاس، سیب و خرما، موز و گیلاس، موز و خرما، گیلاس و خرما.
تصور کنید 5 دوست دارید: آلیس، باب، چارلی، دیوید و حوا. شما می خواهید یک تیم 3 نفره تشکیل دهید. چند تیم مختلف می توانید تشکیل دهید؟
با استفاده از فرمول:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
بنابراین، 10 تیم مختلف وجود دارد که می توانید تشکیل دهید.
فرض کنید 6 کتاب دارید و می خواهید 4 کتاب را برای سفر انتخاب کنید. چند گروه مختلف از کتاب ها را می توانید انتخاب کنید؟
با استفاده از فرمول:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
بنابراین، 15 گروه مختلف کتاب وجود دارد که می توانید انتخاب کنید.
ترکیبات در بسیاری از موقعیت های دنیای واقعی استفاده می شوند. در اینجا چند نمونه آورده شده است:
امروز با ترکیب ها آشنا شدیم. ترکیب روشی برای انتخاب موارد از گروهی است که ترتیب آنها اهمیتی ندارد. ما از فرمول \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) برای محاسبه تعداد ترکیب ها استفاده می کنیم. نمونه هایی از انتخاب میوه ها، اعضای تیم و کتاب ها را دیدیم. ترکیبات در بسیاری از موقعیت‌های دنیای واقعی مانند قرعه‌کشی، تیم‌های ورزشی و انتخاب منو استفاده می‌شوند.
