Aujourd'hui, nous allons découvrir les combinaisons. Les combinaisons sont une façon de sélectionner des éléments d'un groupe, où l'ordre de sélection n'a pas d'importance. C'est différent des permutations, où l'ordre a de l'importance. Nous allons découvrir ce que sont les combinaisons, comment les calculer et voir quelques exemples de la vie quotidienne.
En mathématiques, une combinaison est une sélection d'éléments parmi un ensemble plus large, où l'ordre des éléments n'a pas d'importance. Par exemple, si vous avez un panier de 3 fruits : une pomme, une banane et une cerise, et que vous voulez choisir 2 fruits, les combinaisons seraient :
Notez que « Pomme et Banane » est identique à « Banane et Pomme » car l’ordre n’a pas d’importance dans les combinaisons.
Pour calculer le nombre de combinaisons, nous utilisons la formule de combinaison. La formule pour trouver le nombre de façons de choisir \( r \) éléments parmi \( n \) éléments est :
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
Ici, \( n! \) (factorielle n) signifie le produit de tous les entiers positifs jusqu'à \( n \) . Par exemple, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
Supposons que vous ayez 4 fruits : une pomme, une banane, une cerise et une datte. Vous voulez choisir 2 fruits. Combien de combinaisons existe-t-il ?
En utilisant la formule :
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
Donc, il y a 6 combinaisons : Pomme et Banane, Pomme et Cerise, Pomme et Datte, Banane et Cerise, Banane et Datte, Cerise et Datte.
Imaginez que vous avez 5 amis : Alice, Bob, Charlie, David et Eve. Vous souhaitez former une équipe de 3 membres. Combien d'équipes différentes pouvez-vous former ?
En utilisant la formule :
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
Il y a donc 10 équipes différentes que vous pouvez former.
Supposons que vous ayez 6 livres et que vous souhaitiez en choisir 4 pour emporter en voyage. Combien de groupes de livres différents pouvez-vous choisir ?
En utilisant la formule :
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
Il y a donc 15 groupes de livres différents parmi lesquels vous pouvez choisir.
Les combinaisons sont utilisées dans de nombreuses situations réelles. En voici quelques exemples :
Aujourd'hui, nous avons étudié les combinaisons. Une combinaison est une façon de sélectionner des éléments d'un groupe où l'ordre n'a pas d'importance. Nous utilisons la formule \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) pour calculer le nombre de combinaisons. Nous avons vu des exemples de choix de fruits, de membres d'équipe et de livres. Les combinaisons sont utilisées dans de nombreuses situations réelles comme les loteries, les équipes sportives et les choix de menus.
