आज हम संयोजनों के बारे में जानेंगे। संयोजन किसी समूह से आइटम चुनने का एक तरीका है, जहाँ चयन का क्रम मायने नहीं रखता। यह क्रमपरिवर्तन से अलग है, जहाँ क्रम मायने रखता है। हम जानेंगे कि संयोजन क्या हैं, उनकी गणना कैसे की जाती है, और रोज़मर्रा की ज़िंदगी से कुछ उदाहरण देखेंगे।
गणित में, संयोजन एक बड़े पूल से वस्तुओं का चयन होता है, जहाँ वस्तुओं का क्रम मायने नहीं रखता। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास 3 फलों की एक टोकरी है: एक सेब, एक केला और एक चेरी, और आप 2 फल चुनना चाहते हैं, तो संयोजन इस प्रकार होंगे:
ध्यान दें कि "सेब और केला" शब्द "केला और सेब" के समान ही है, क्योंकि संयोजनों में क्रम का कोई महत्व नहीं है।
संयोजनों की संख्या की गणना करने के लिए, हम संयोजन सूत्र का उपयोग करते हैं। \ \( n \) आइटम में से \( r \) आइटम चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
यहाँ, \( n! \) (n फैक्टोरियल) का अर्थ \( n \) तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। उदाहरण के लिए, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) ।
मान लीजिए आपके पास 4 फल हैं: एक सेब, एक केला, एक चेरी और एक खजूर। आप 2 फल चुनना चाहते हैं। कितने संयोजन हैं?
सूत्र का उपयोग:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
तो, कुल 6 संयोजन हैं: सेब और केला, सेब और चेरी, सेब और खजूर, केला और चेरी, केला और खजूर, चेरी और खजूर।
कल्पना कीजिए कि आपके 5 दोस्त हैं: ऐलिस, बॉब, चार्ली, डेविड और ईव। आप 3 सदस्यों की एक टीम बनाना चाहते हैं। आप कितनी अलग-अलग टीमें बना सकते हैं?
सूत्र का उपयोग:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
तो, आप 10 अलग-अलग टीमें बना सकते हैं।
मान लीजिए आपके पास 6 किताबें हैं और आप यात्रा पर ले जाने के लिए 4 किताबें चुनना चाहते हैं। आप किताबों के कितने अलग-अलग समूह चुन सकते हैं?
सूत्र का उपयोग:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
तो, आप पुस्तकों के 15 अलग-अलग समूह चुन सकते हैं।
संयोजनों का उपयोग कई वास्तविक दुनिया की स्थितियों में किया जाता है। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
आज, हमने संयोजनों के बारे में सीखा। संयोजन एक समूह से आइटम चुनने का एक तरीका है जहाँ क्रम मायने नहीं रखता। हम संयोजनों की संख्या की गणना करने के लिए सूत्र \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) उपयोग करते हैं। हमने फलों, टीम के सदस्यों और पुस्तकों को चुनने के उदाहरण देखे। संयोजनों का उपयोग लॉटरी, खेल टीमों और मेनू विकल्पों जैसी कई वास्तविक दुनिया की स्थितियों में किया जाता है।
