Back to the topics list

kombinacija

Kombinacija

Danas ćemo učiti o kombinacijama. Kombinacije su način odabira stavki iz grupe, pri čemu redoslijed odabira nije bitan. Ovo se razlikuje od permutacija, gdje je redoslijed bitan. Istražit ćemo što su kombinacije, kako ih izračunati te vidjeti neke primjere iz svakodnevnog života.

Razumijevanje kombinacija

U matematici, kombinacija je odabir stavki iz veće grupe, gdje redoslijed stavki nije bitan. Na primjer, ako imate košaricu od 3 voća: jabuku, bananu i trešnju, a želite ubrati 2 voća, kombinacije bi bile:

• Jabuka i banana
• Jabuka i trešnja
• Banana i trešnja

Primijetite da je "Jabuka i banana" isto što i "Banana i jabuka" jer redoslijed nije bitan u kombinacijama.

Formula za kombinacije

Za izračun broja kombinacija koristimo formulu kombinacije. Formula za pronalaženje broja načina za odabir \( r \) stavki iz \( n \) stavki je:

\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)

Ovdje \( n! \) (n faktorijel) znači umnožak svih pozitivnih cijelih brojeva do \( n \) . Na primjer, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .

Primjer 1: Biranje voća

Recimo da imate 4 voća: jabuku, bananu, trešnju i datulju. Želite odabrati 2 voća. Koliko kombinacija postoji?

Korištenje formule:

\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)

Dakle, postoji 6 kombinacija: jabuka i banana, jabuka i trešnja, jabuka i datulja, banana i trešnja, banana i datulja, trešnja i datulja.

Primjer 2: Odabir članova tima

Zamislite da imate 5 prijatelja: Alice, Bob, Charlie, David i Eve. Želite formirati tim od 3 člana. Koliko različitih timova možete formirati?

Korištenje formule:

\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)

Dakle, postoji 10 različitih timova koje možete formirati.

Primjer 3: Biranje knjiga

Pretpostavimo da imate 6 knjiga i želite odabrati 4 za putovanje. Koliko različitih grupa knjiga možete odabrati?

Korištenje formule:

\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)

Dakle, postoji 15 različitih grupa knjiga koje možete odabrati.

Aplikacije iz stvarnog svijeta

Kombinacije se koriste u mnogim stvarnim situacijama. Evo nekoliko primjera:

• Lutrija: Kada birate brojeve za srećku, redoslijed brojeva nije bitan. Dobitni brojevi su kombinacija.
• Sportski timovi: Treneri često moraju odabrati igrače za tim iz veće grupe. Redoslijed odabira igrača nije bitan, stoga je ovo kombinacija.
• Odabir jelovnika: Kada odaberete stavke s jelovnika, poput odabira 2 nadjeva za pizzu s popisa od 5, redoslijed nadjeva nije bitan. Ovo je kombinacija.

Sažetak

Danas smo učili o kombinacijama. Kombinacija je način odabira stavki iz grupe u kojoj redoslijed nije bitan. Koristimo formulu \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) za izračun broja kombinacija. Vidjeli smo primjere odabira voća, članova tima i knjiga. Kombinacije se koriste u mnogim stvarnim situacijama poput lutrije, sportskih timova i izbora jelovnika.