今日は、組み合わせについて学びます。組み合わせは、グループからアイテムを選択する方法であり、選択の順序は重要ではありません。これは、順序が重要な順列とは異なります。組み合わせとは何か、どのように計算するかを調べ、日常生活からの例をいくつか見ていきます。
数学では、組み合わせとは、より大きなプールからアイテムを選択することであり、アイテムの順序は重要ではありません。たとえば、リンゴ、バナナ、さくらんぼの 3 つの果物が入ったバスケットがあり、そのうち 2 つの果物を選ぶ場合、組み合わせは次のようになります。
組み合わせの順序は重要ではないため、「Apple and Banana」は「Banana and Apple」と同じであることに注意してください。
組み合わせの数を計算するには、組み合わせの公式を使用します。 \( n \)個のアイテムから\( r \)アイテムを選択する方法の数を求める公式は次のとおりです。
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
ここで、 \( n! \) (n の階乗) は、 \( n \)までのすべての正の整数の積を意味します。たとえば、 \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) 。
リンゴ、バナナ、さくらんぼ、ナツメヤシの 4 つの果物があるとします。そのうち 2 つの果物を選びます。組み合わせはいくつありますか?
次の式を使用します。
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
つまり、組み合わせは 6 つあります: リンゴとバナナ、リンゴとチェリー、リンゴとデーツ、バナナとチェリー、バナナとデーツ、チェリーとデーツ。
アリス、ボブ、チャーリー、デビッド、イブの 5 人の友達がいるとします。3 人のメンバーでチームを編成したいとします。いくつの異なるチームを編成できますか?
次の式を使用します。
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
つまり、10 種類の異なるチームを編成できることになります。
6 冊の本があり、そのうち 4 冊を選んで旅行に持っていきたいとします。何種類の本のグループを選ぶことができますか?
次の式を使用します。
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
つまり、選択できる本のグループは 15 種類あります。
組み合わせは現実世界の多くの状況で使用されます。次にいくつかの例を示します。
今日は組み合わせについて学びました。組み合わせとは、順序に関係なくグループからアイテムを選択する方法です。組み合わせの数を計算するには、式\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)を使用します。果物、チーム メンバー、本を選択する例を見ました。組み合わせは、宝くじ、スポーツ チーム、メニューの選択など、現実世界の多くの状況で使用されます。
