Dzisiaj poznamy kombinacje. Kombinacje to sposób wybierania elementów z grupy, gdzie kolejność wyboru nie ma znaczenia. Różni się to od permutacji, gdzie kolejność ma znaczenie. Przyjrzymy się, czym są kombinacje, jak je obliczać i zobaczymy kilka przykładów z życia codziennego.
W matematyce kombinacja to wybór elementów z większej puli, gdzie kolejność elementów nie ma znaczenia. Na przykład, jeśli masz kosz z 3 owocami: jabłkiem, bananem i wiśnią i chcesz wybrać 2 owoce, kombinacje będą następujące:
Należy zauważyć, że „Apple and Banana” to to samo co „Banana and Apple”, ponieważ kolejność nie ma znaczenia w kombinacjach.
Aby obliczyć liczbę kombinacji, używamy wzoru kombinacji. Wzór na znalezienie liczby sposobów wyboru \( r \) elementów z \( n \) elementów to:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
Tutaj \( n! \) (silnia n) oznacza iloczyn wszystkich dodatnich liczb całkowitych do \( n \) . Na przykład, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
Załóżmy, że masz 4 owoce: jabłko, banana, wiśnię i daktyla. Chcesz wybrać 2 owoce. Ile jest kombinacji?
Używając wzoru:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
Mamy więc 6 kombinacji: Jabłko i banan, Jabłko i wiśnia, Jabłko i daktyl, Banan i wiśnia, Banan i daktyl, Wiśnia i daktyl.
Wyobraź sobie, że masz 5 przyjaciół: Alice, Bob, Charlie, David i Eve. Chcesz utworzyć drużynę składającą się z 3 członków. Ile różnych drużyn możesz utworzyć?
Używając wzoru:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
Możesz więc utworzyć 10 różnych zespołów.
Załóżmy, że masz 6 książek i chcesz wybrać 4, aby zabrać je w podróż. Ile różnych grup książek możesz wybrać?
Używając wzoru:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
Możesz wybierać spośród 15 różnych grup książek.
Kombinacje są używane w wielu sytuacjach w świecie rzeczywistym. Oto kilka przykładów:
Dzisiaj dowiedzieliśmy się o kombinacjach. Kombinacja to sposób wybierania elementów z grupy, w której kolejność nie ma znaczenia. Używamy wzoru \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) aby obliczyć liczbę kombinacji. Widzieliśmy przykłady wybierania owoców, członków zespołu i książek. Kombinacje są używane w wielu sytuacjach z życia wziętych, takich jak loterie, drużyny sportowe i wybory menu.
