Сегодня мы узнаем о комбинациях. Комбинации — это способ выбора элементов из группы, где порядок выбора не имеет значения. Это отличается от перестановок, где порядок имеет значение. Мы рассмотрим, что такое комбинации, как их вычислять, и рассмотрим несколько примеров из повседневной жизни.
В математике комбинация — это выборка элементов из большего пула, где порядок элементов не имеет значения. Например, если у вас есть корзина с 3 фруктами: яблоком, бананом и вишней, и вы хотите выбрать 2 фрукта, комбинации будут следующими:
Обратите внимание, что «Яблоко и банан» — это то же самое, что и «Банан и яблоко», поскольку порядок в комбинациях не имеет значения.
Для расчета количества комбинаций мы используем формулу комбинации. Формула для нахождения количества способов выбора \( r \) элементов из \( n \) элементов:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
Здесь \( n! \) (n факториал) означает произведение всех положительных целых чисел до \( n \) . Например, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
Допустим, у вас есть 4 фрукта: яблоко, банан, вишня и финик. Вы хотите выбрать 2 фрукта. Сколько существует комбинаций?
Используя формулу:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
Итак, существует 6 комбинаций: яблоко и банан, яблоко и вишня, яблоко и финик, банан и вишня, банан и финик, вишня и финик.
Представьте, что у вас есть 5 друзей: Элис, Боб, Чарли, Дэвид и Ева. Вы хотите сформировать команду из 3 человек. Сколько различных команд вы можете сформировать?
Используя формулу:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
Итак, вы можете сформировать 10 различных команд.
Предположим, у вас есть 6 книг, и вы хотите выбрать 4 из них, чтобы взять с собой в путешествие. Сколько различных групп книг вы можете выбрать?
Используя формулу:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
Итак, вы можете выбрать 15 различных групп книг.
Комбинации используются во многих реальных ситуациях. Вот несколько примеров:
Сегодня мы узнали о комбинациях. Комбинация — это способ выбора элементов из группы, где порядок не имеет значения. Мы используем формулу \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) для расчета количества комбинаций. Мы увидели примеры выбора фруктов, членов команды и книг. Комбинации используются во многих реальных ситуациях, таких как лотереи, спортивные команды и выбор меню.
