Back to the topics list

mchanganyiko

Mchanganyiko

Leo, tutajifunza kuhusu mchanganyiko. Mchanganyiko ni njia ya kuchagua vitu kutoka kwa kikundi, ambapo utaratibu wa uteuzi haujalishi. Hii ni tofauti na vibali, ambapo agizo linajalisha. Tutachunguza mchanganyiko ni nini, jinsi ya kuhesabu, na kuona baadhi ya mifano kutoka kwa maisha ya kila siku.

Kuelewa Mchanganyiko

Katika hisabati, mchanganyiko ni uteuzi wa vitu kutoka kwenye bwawa kubwa, ambapo utaratibu wa vitu haujalishi. Kwa mfano, ikiwa una kikapu cha matunda 3: apple, ndizi na cherry, na unataka kuchukua matunda 2, mchanganyiko utakuwa:

• Apple na Ndizi
• Apple na Cherry
• Ndizi na Cherry

Ona kwamba "Apple na Ndizi" ni sawa na "Ndizi na Tufaa" kwa sababu mpangilio haujalishi katika michanganyiko.

Mfumo wa Mchanganyiko

Ili kuhesabu idadi ya mchanganyiko, tunatumia formula ya mchanganyiko. Njia ya kupata idadi ya njia za kuchagua \( r \) vitu kutoka \( n \) ni:

\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)

Hapa, \( n! \) (n factorial) inamaanisha bidhaa ya nambari zote chanya hadi \( n \) . Kwa mfano, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .

Mfano 1: Kuchagua Matunda

Wacha tuseme una matunda 4: tufaha, ndizi, cherry na tarehe. Unataka kuchagua matunda 2. Kuna mchanganyiko ngapi?

Kwa kutumia formula:

\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)

Kwa hiyo, kuna mchanganyiko 6: Apple na Banana, Apple na Cherry, Apple na Tarehe, Ndizi na Cherry, Ndizi na Tarehe, Cherry na Tarehe.

Mfano 2: Kuchagua Wanachama wa Timu

Fikiria una marafiki 5: Alice, Bob, Charlie, David, na Eve. Unataka kuunda timu ya wanachama 3. Unaweza kuunda timu ngapi tofauti?

Kwa kutumia formula:

\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)

Kwa hivyo, kuna timu 10 tofauti unaweza kuunda.

Mfano 3: Kuchagua Vitabu

Tuseme una vitabu 6 na ungependa kuchagua 4 kuchukua kwa safari. Unaweza kuchagua vikundi vingapi tofauti vya vitabu?

Kwa kutumia formula:

\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)

Kwa hivyo, kuna vikundi 15 tofauti vya vitabu unaweza kuchagua.

Maombi ya Ulimwengu Halisi

Mchanganyiko hutumiwa katika hali nyingi za ulimwengu halisi. Hapa kuna mifano michache:

• Bahati nasibu: Unapochagua nambari za tikiti ya bahati nasibu, mpangilio wa nambari haujalishi. Nambari za kushinda ni mchanganyiko.
• Timu za Michezo: Mara nyingi makocha wanahitaji kuchagua wachezaji wa timu kutoka kundi kubwa. Mpangilio ambao wachezaji huchaguliwa haijalishi, kwa hivyo hii ni mchanganyiko.
• Chaguo za Menyu: Unapochagua vipengee kutoka kwenye menyu, kama vile kuokota toppings 2 za pizza kutoka kwenye orodha ya 5, mpangilio wa nyongeza haujalishi. Huu ni mchanganyiko.

Muhtasari

Leo, tumejifunza kuhusu mchanganyiko. Mchanganyiko ni njia ya kuchagua vitu kutoka kwa kikundi ambapo utaratibu haujalishi. Tunatumia fomula \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) kukokotoa idadi ya michanganyiko. Tuliona mifano ya kuchagua matunda, washiriki wa timu, na vitabu. Mchanganyiko hutumiwa katika hali nyingi za ulimwengu halisi kama vile bahati nasibu, timu za michezo na chaguzi za menyu.