Back to the topics list

การผสมผสาน

การผสมผสาน

วันนี้เราจะเรียนรู้เกี่ยวกับการจัดกลุ่ม การจัดกลุ่มเป็นวิธีการเลือกสิ่งของจากกลุ่ม โดยที่ลำดับการเลือกไม่มีความสำคัญ ซึ่งแตกต่างจากการจัดกลุ่มแบบเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งลำดับมีความสำคัญ เราจะมาสำรวจกันว่าการจัดกลุ่มคืออะไร วิธีการคำนวณ และดูตัวอย่างบางส่วนจากชีวิตประจำวัน

การทำความเข้าใจการผสมผสาน

ในทางคณิตศาสตร์ การเลือกสรรคือการเลือกสิ่งของจากกลุ่มที่ใหญ่กว่า โดยลำดับของสิ่งของนั้นไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น หากคุณมีตะกร้าผลไม้ 3 ชนิด ได้แก่ แอปเปิล กล้วย และเชอร์รี และคุณต้องการหยิบผลไม้ 2 ชนิด การเลือกสรรจะเป็นดังนี้:

• แอปเปิ้ลและกล้วย
• แอปเปิ้ลและเชอร์รี่
• กล้วยและเชอร์รี่

สังเกตว่า "Apple and Banana" จะเหมือนกับ "Banana and Apple" เพราะลำดับไม่สำคัญเมื่อรวมกัน

สูตรสำหรับการผสม

ในการคำนวณจำนวนชุดค่าผสม เราใช้สูตรชุดค่าผสม สูตรสำหรับหาจำนวนวิธีในการเลือกรายการ \( r \) จากรายการ \( n \) คือ:

\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)

ที่นี่ \( n! \) (n แฟกทอเรียล) หมายถึงผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจนถึง \( n \) ตัวอย่างเช่น \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

ตัวอย่างที่ 1 : การเลือกผลไม้

สมมติว่าคุณมีผลไม้ 4 อย่าง ได้แก่ แอปเปิล กล้วย เชอร์รี และอินทผลัม คุณต้องการเลือกผลไม้ 2 อย่าง มีกี่แบบให้เลือก

โดยใช้สูตรดังนี้:

\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)

ดังนั้นมีทั้งหมด 6 แบบ คือ แอปเปิลและกล้วย แอปเปิลและเชอร์รี่ แอปเปิลและอินทผลัม กล้วยและเชอร์รี่ กล้วยและอินทผลัม เชอร์รี่และอินทผลัม

ตัวอย่างที่ 2: การเลือกสมาชิกทีม

ลองนึกภาพว่าคุณมีเพื่อน 5 คน ได้แก่ อลิซ บ็อบ ชาร์ลี เดวิด และอีฟ คุณต้องการจัดตั้งทีมที่มีสมาชิก 3 คน คุณจะจัดตั้งทีมได้กี่ทีม

โดยใช้สูตรดังนี้:

\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)

ดังนั้น คุณสามารถจัดตั้งทีมต่างๆ ได้ 10 ทีม

ตัวอย่างที่ 3 : การเลือกหนังสือ

สมมติว่าคุณมีหนังสือ 6 เล่ม และต้องการเลือก 4 เล่มเพื่อนำติดตัวไปท่องเที่ยว คุณสามารถเลือกหนังสือได้กี่กลุ่ม?

โดยใช้สูตรดังนี้:

\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)

มีหนังสือให้เลือกถึง 15 กลุ่มด้วยกัน

การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง

มีการใช้ชุดค่าผสมในสถานการณ์จริงมากมาย ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วน:

• ลอตเตอรี่: เมื่อคุณเลือกหมายเลขสำหรับลอตเตอรี่ ลำดับของหมายเลขจะไม่สำคัญ หมายเลขที่ถูกรางวัลจะเป็นการผสมผสานกัน
• ทีมกีฬา: โค้ชมักจะต้องเลือกผู้เล่นจากกลุ่มที่ใหญ่กว่าสำหรับทีม ลำดับในการเลือกผู้เล่นไม่สำคัญ ดังนั้นจึงต้องเลือกจากหลายๆ กลุ่ม
• ตัวเลือกเมนู: เมื่อคุณเลือกรายการจากเมนู เช่น เลือกหน้าพิซซ่า 2 อย่างจากรายการ 5 อย่าง ลำดับของหน้าพิซซ่าจะไม่สำคัญ นี่คือการผสมผสาน

สรุป

วันนี้เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการจัดชุดค่าผสม การจัดชุดค่าผสมเป็นวิธีการเลือกสินค้าจากกลุ่มที่ลำดับไม่สำคัญ เราใช้สูตร \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) เพื่อคำนวณจำนวนการจัดชุดค่าผสม เราได้เห็นตัวอย่างการเลือกผลไม้ สมาชิกในทีม และหนังสือ การจัดชุดค่าผสมใช้ในสถานการณ์จริงมากมาย เช่น ลอตเตอรี ทีมกีฬา และตัวเลือกเมนู