Ngayon, malalaman natin ang tungkol sa mga kumbinasyon. Ang mga kumbinasyon ay isang paraan upang pumili ng mga item mula sa isang pangkat, kung saan hindi mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng pagpili. Iba ito sa mga permutasyon, kung saan mahalaga ang pagkakasunud-sunod. Tuklasin natin kung ano ang mga kumbinasyon, kung paano kalkulahin ang mga ito, at tingnan ang ilang mga halimbawa mula sa pang-araw-araw na buhay.
Sa matematika, ang kumbinasyon ay isang seleksyon ng mga item mula sa isang mas malaking pool, kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga item ay hindi mahalaga. Halimbawa, kung mayroon kang isang basket ng 3 prutas: isang mansanas, isang saging, at isang cherry, at gusto mong pumili ng 2 prutas, ang mga kumbinasyon ay magiging:
Pansinin na ang "Mansanas at Saging" ay kapareho ng "Saging at Mansanas" dahil hindi mahalaga ang pagkakasunud-sunod sa mga kumbinasyon.
Upang kalkulahin ang bilang ng mga kumbinasyon, ginagamit namin ang formula ng kumbinasyon. Ang formula upang mahanap ang bilang ng mga paraan upang pumili ng \( r \) aytem mula sa \( n \) aytem ay:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
Dito, ang ibig sabihin ng \( n! \) (n factorial) ay ang produkto ng lahat ng positive integer hanggang sa \( n \) . Halimbawa, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
Sabihin nating mayroon kang 4 na prutas: isang mansanas, isang saging, isang cherry, at isang petsa. Gusto mong pumili ng 2 prutas. Ilang kumbinasyon ang mayroon?
Gamit ang formula:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
Kaya, mayroong 6 na kumbinasyon: Apple at Banana, Apple at Cherry, Apple at Date, Banana at Cherry, Banana at Date, Cherry at Date.
Isipin na mayroon kang 5 kaibigan: Alice, Bob, Charlie, David, at Eve. Gusto mong bumuo ng isang pangkat ng 3 miyembro. Ilang magkakaibang koponan ang maaari mong mabuo?
Gamit ang formula:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
Kaya, mayroong 10 iba't ibang mga koponan na maaari mong mabuo.
Ipagpalagay na mayroon kang 6 na libro at gusto mong pumili ng 4 na dadalhin sa isang paglalakbay. Ilang iba't ibang grupo ng mga aklat ang maaari mong piliin?
Gamit ang formula:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
Kaya, mayroong 15 iba't ibang grupo ng mga aklat na maaari mong piliin.
Ginagamit ang mga kumbinasyon sa maraming sitwasyon sa totoong mundo. Narito ang ilang halimbawa:
Ngayon, natutunan namin ang tungkol sa mga kumbinasyon. Ang kumbinasyon ay isang paraan upang pumili ng mga item mula sa isang pangkat kung saan hindi mahalaga ang pagkakasunud-sunod. Ginagamit namin ang formula \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) upang kalkulahin ang bilang ng mga kumbinasyon. Nakakita kami ng mga halimbawa ng pagpili ng mga prutas, miyembro ng team, at mga libro. Ginagamit ang mga kumbinasyon sa maraming sitwasyon sa totoong mundo tulad ng mga lottery, sports team, at mga pagpipilian sa menu.
