Сьогодні ми дізнаємося про комбінації. Комбінації — це спосіб вибору елементів із групи, де порядок вибору не має значення. Це відрізняється від перестановок, де порядок має значення. Ми розглянемо, що таке комбінації, як їх обчислити, і побачимо кілька прикладів із повсякденного життя.
У математиці комбінація - це вибір предметів із більшої групи, де порядок елементів не має значення. Наприклад, якщо у вас є кошик із 3 фруктами: яблуком, бананом і вишнею, і ви хочете вибрати 2 фрукти, комбінації будуть такими:
Зауважте, що «Яблуко і банан» — це те саме, що «Банан і яблуко», оскільки порядок у комбінаціях не має значення.
Для розрахунку кількості комбінацій використовуємо комбінаційну формулу. Формула для знаходження кількості способів вибору \( r \) елементів з \( n \) елементів виглядає так:
\( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \)
Тут \( n! \) (n факторіал) означає добуток усіх натуральних чисел до \( n \) . Наприклад, \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) .
Припустимо, у вас є 4 фрукти: яблуко, банан, вишня і фінік. Ви хочете вибрати 2 фрукти. Скільки існує комбінацій?
Використовуючи формулу:
\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{24}{4} = 6 \)
Отже, є 6 комбінацій: яблуко і банан, яблуко і вишня, яблуко і фінік, банан і вишня, банан і фінік, вишня і фінік.
Уявіть, що у вас 5 друзів: Аліса, Боб, Чарлі, Девід і Єва. Ви хочете сформувати команду з 3 учасників. Скільки різних команд ви можете створити?
Використовуючи формулу:
\( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{120}{12} = 10 \)
Отже, ви можете створити 10 різних команд.
Припустімо, у вас є 6 книг і ви хочете вибрати 4, щоб взяти їх у подорож. Скільки різних груп книг ви можете вибрати?
Використовуючи формулу:
\( C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{720}{48} = 15 \)
Отже, ви можете вибрати 15 різних груп книг.
Комбінації використовуються в багатьох реальних ситуаціях. Ось кілька прикладів:
Сьогодні ми дізналися про комбінації. Комбінація — це спосіб вибору елементів із групи, де порядок не має значення. Ми використовуємо формулу \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(nr)!} \) щоб обчислити кількість комбінацій. Ми побачили приклади вибору фруктів, членів команди та книг. Комбінації використовуються в багатьох ситуаціях реального світу, як-от лотереї, спортивні команди та вибір меню.
