सीखने के मकसद
इस पाठ के अंत तक, आपको सक्षम होना चाहिए;
आइए सेट के बारे में सीखकर शुरुआत करें। सेट क्या हैं? एक सेट को बस एक संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हम सेट कैसे बनाते हैं? हम चीजों के बीच एक सामान्य संपत्ति को निर्दिष्ट करके सेट बनाते हैं, और फिर वह सब कुछ इकट्ठा करते हैं जिसमें यह सामान्य संपत्ति होती है। उदाहरण के लिए, हमारे पास आपके द्वारा पहनी जाने वाली चीज़ों का एक सेट हो सकता है। इसमें शर्ट, हैट, ट्राउजर और जैकेट शामिल हैं। इसे एक सेट कहा जाता है। सेट का एक अन्य उदाहरण उंगलियों के प्रकार हैं। यह सेट अंगूठे, तर्जनी, मध्यमा, अनामिका और छोटी उंगली से बना होता है। इसलिए, एक समुच्चय एक निश्चित सामान्य संपत्ति द्वारा एक साथ लाई गई चीजों का एक समूह है।
सेट का नोटेशन
सेट को निरूपित करने के लिए, हम बस प्रत्येक सदस्य या तत्व को सूचीबद्ध करते हैं और उन्हें अल्पविराम से अलग करते हैं। हम एक सेट को संलग्न करने के लिए ब्रेसिज़ का भी उपयोग करते हैं। इन ब्रेसिज़ को कभी-कभी सेट ब्रैकेट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, {अंगूठे, सूचकांक, मध्य, अंगूठी, और पिंकी}, और {शर्ट, टोपी, पतलून और जैकेट} सेट हैं।
संख्यात्मक सेट
हमारे पास गणित में भी सेट हैं। सेट को परिभाषित करते समय, हमें केवल एक सामान्य विशेषता निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, हमारे पास 0 और 10 {2, 4, 6, 8} के बीच सम संख्याओं का एक सेट हो सकता है, 0 और 10 के बीच विषम संख्याओं का एक सेट {1, 3, 5, 7, 9}, और का एक सेट हो सकता है 0 और 10 के बीच की अभाज्य संख्याएँ {2, 3, 5, 7}।
सेट का महत्व
समुच्चय गणित का एक महत्वपूर्ण गुण है। गणित में सेट के अनुप्रयोग में अमूर्त बीजगणित, ग्राफ सिद्धांत, रैखिक बीजगणित और द्विआधारी संचालन शामिल हैं। अब, हम एक नई अवधारणा की ओर बढ़ते हैं जिसे संक्रियाएँ कहते हैं।
संचालन
चूँकि हम समुच्चय और उनके तत्वों के बारे में पहले ही सीख चुके हैं, आइए देखें कि उनके साथ कैसे काम किया जाए। तत्वों के एक से अधिक समुच्चय को अन्य तत्वों के निर्माण के लिए संयोजित करने की प्रक्रिया को संक्रिया कहा जाता है। इसे बस के रूप में रखा जा सकता है; एक ऑपरेशन एक सेट के तत्वों को जोड़ता है।
बाइनरी ऑपरेशंस
एक बाइनरी ऑपरेशन एक ऑपरेशन के समान है लेकिन इसमें केवल दो तत्वों को 1 में जोड़ना शामिल है। कोई भी ऑपरेशन जिसमें दो से अधिक तत्वों का संयोजन शामिल है, बाइनरी ऑपरेशन नहीं है। निम्नलिखित सामान्य द्विआधारी संक्रियाओं के उदाहरण हैं, 5 + 3 = 8. 4 x 3 = 12. 4 - 4 = 0. इन उदाहरणों से, हम देखते हैं कि दो संख्याएँ मिलती हैं और एक हो जाती हैं। ध्यान दें कि, दो संख्याओं के लिए भी जो समान हैं, लेकिन एक बनाने के लिए गठबंधन करते हैं, इसे भी एक बाइनरी ऑपरेशन माना जाता है।
अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेटरों
बाइनरी ऑपरेशंस में, ऑपरेटरों या तत्वों को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाना चाहिए। अच्छी तरह से परिभाषित से हमारा क्या मतलब है? एक अच्छी तरह से परिभाषित बाइनरी ऑपरेशन एक ऐसा ऑपरेशन है जिसका केवल एक ही उत्तर होता है। उदाहरण के लिए, बाइनरी ऑपरेशन 5 + 3 में, 8 की अपेक्षा करने के लिए केवल एक ही उत्तर है। हालांकि, सभी ऑपरेशन इस तरह नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए वर्गमूल लें। संक्रिया x 2 = 25 के दो उत्तर हैं, 5 और -5। अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेटरों के साथ, केवल एक ही संभावित उत्तर मौजूद है।
यह भी ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हम कभी-कभी किसी ऑपरेशन को दर्शाने के लिए प्रतीक * का उपयोग करते हैं।
समुच्चय और संक्रिया का संयोजन एक समूह बनाता है।
