أهلاً بكم في درسنا عن الخطوط والمستويات ثلاثية الأبعاد (3D). في حياتنا اليومية، نرى مسارات مستقيمة وأسطحاً مستوية من حولنا. قد تُرى الخطوط كطرق أو مسارات أو حتى حافة قلم رصاص. تُشبه المستويات سطح الطاولة أو اللوح أو الورقة. في هذا الدرس، سنتعلم ماهية الخطوط والمستويات، وسنستخدم مفهوم المتجهات لشرحها. أسلوب هذا الدرس بسيط وغني بالأمثلة اليومية، مما يُمكّنك من فهم كيفية تناغم هذه الأفكار مع العالم الذي تعرفه.
الخط مسارٌ يمتد في اتجاهين متعاكسين بلا نهاية. تخيّل طريقًا طويلًا يتجاوز ما تراه. هذا الطريق لا يتوقف، بل يستمر إلى الأبد في كلا الاتجاهين. في الرياضيات، نعتبر الخط ذا بُعد واحد فقط - الطول. ليس له سُمك أو عرض.
عندما ترسم خطًا على ورقة بقلم رصاص أو طباشير، فأنت ترسم جزءًا صغيرًا من خط طويل جدًا. مع أن لرسمك نقطة بداية ونقطة نهاية، إلا أن الفكرة الحقيقية للخط هي أنه لا ينتهي أبدًا.
المستوى سطح مستوٍ يمتد إلى ما لا نهاية في بُعدين. تخيّل سطح لوح مسطح كبير جدًا أو قطعة ورق متقنة. مع أن للورقة الحقيقية حوافًا، إلا أننا في الرياضيات نعتبر المستوى بلا حدود. طوله وعرضه لا نهائيان، لكن سمكه ليس له أي سمك.
من أمثلة المستويات في حياتنا اليومية الأرضيات والجدران والطاولات. عند النظر إلى رسم مكعب أو صندوق، يكون كل جانب من جوانب الشكل مستويًا لأنه سطح مستوٍ. تساعدنا فكرة المستوى على فهم أشياء كثيرة من حولنا، مثل سطح الطريق أو الحقل.
المتجه يشبه السهم. يُظهر السهم معلومتين مهمتين: الاتجاه الذي يشير إليه وطوله. في الرياضيات، تساعدنا المتجهات في وصف الحركة والموقع. وهي مفيدة لأنها تُتيح لنا شرح الاتجاهات بوضوح تام.
على سبيل المثال، تخيّل أنك تُشير إلى الباب. إصبعك يعمل كمتجه. يُظهر الاتجاه الذي تريد الذهاب إليه والمسافة التي قد تحتاجها للتحرك. تُفيد المتجهات في رسم الخطوط والمستويات لأنها تُبيّن لنا الاتجاه من نقطة إلى أخرى.
يمكننا وصف خط باستخدام المتجهات باستخدام معادلة بسيطة. توضح هذه المعادلة كيفية البدء من نقطة معينة والتحرك في اتجاه محدد. المعادلة القياسية للخط ثلاثي الأبعاد هي:
معادلة الخط: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)
في هذه المعادلة:
تعني هذه المعادلة أنه إذا بدأت من النقطة \(\vec{a}\) وأضفت قليلاً (أو كثيراً) من الاتجاه \(\vec{d}\) بتغيير \(t\) ، فستتحرك على طول الخط. يمكنك اعتبار \(t\) عدد الخطوات التي تتخذها، حيث تكون كل خطوة في نفس الاتجاه.
لنأخذ مثالاً لنرى كيف تعمل معادلة الخط. انظر إلى المعادلة:
المعادلة: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)
هذا يعني أن نقطة البداية هي \((1, 2, 3)\) ومتجه الاتجاه هو \((2, 0, 1)\) . لإيجاد نقطة على الخط، نختار قيمة \(t\) ونعوضها في المعادلة.
الحل خطوة بخطوة:
يوضح هذا المثال كيف أنه عن طريق تغيير قيمة \(t\) ، يمكنك التحرك على طول الخط والعثور على أي نقطة عليه.
يمكننا أيضًا وصف المستوى باستخدام المتجهات. إحدى الطرق الشائعة لكتابة معادلة المستوى هي استخدام نقطة على المستوى ومتجه عمودي عليه (بزاوية قائمة). يُوصف المستوى بالمعادلة التالية:
معادلة المستوى: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)
في هذه المعادلة:
إن كون حاصل الضرب \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) يساوي صفرًا يعني أن المتجه من النقطة \(\vec{a}\) n) إلى أي نقطة \(\vec{r}\) على المستوى يكون عموديًا على \(\vec{n}\) . هذه هي الفكرة الأساسية التي تُشير إلى أن النقطة تقع تمامًا على المستوى.
لنفترض أننا نريد التحقق ما إذا كانت النقطة \((3, 1, 2)\) موجودة على المستوى المعطى بواسطة هذه المعادلة:
معادلة المستوى: \(2x + y - z = 3\)
للقيام بذلك، يمكننا استبدال \(x = 3\) و \(y = 1\) و \(z = 2\) في المعادلة ومعرفة ما إذا كان ذلك يعمل.
الحل خطوة بخطوة:
يوضح هذا المثال كيف أن استبدال النقطة في المعادلة يمكن أن يخبرنا ما إذا كانت النقطة موجودة على المستوى أم لا.
أحيانًا نعرف ثلاث نقاط تقع على مستوى ونريد إيجاد معادلة المستوى. لنستخدم النقاط الثلاث التالية:
للعثور على معادلة المستوى، اتبع الخطوات التالية:
هذه هي معادلة المستوى المار بالنقاط \(A\) \(B\) و \(C\) . لاحظ كيف استخدمنا المتجهات لإيجاد متجه عمودي ساعد في تحديد المستوى.
الخطوط والمستويات ليست مجرد أفكار في كتب، بل تُستخدم في جوانب كثيرة من حياتنا اليومية. يستخدمها المهندسون المعماريون والمهندسون عند تصميم المباني والجسور. على سبيل المثال، أرضية المنزل مستوية، ويمكن رؤية عوارض أو حواف السقف كخطوط. عند بناء ملعب، يستخدم المصممون فكرة الأسطح المستوية (المستويات) لإنشاء مساحات آمنة ومفتوحة، ويستخدمون الخطوط لتخطيط اتجاهات الزلاجات والمسارات.
في رسومات الحاسوب، تُساعد الخطوط والمستويات على إنشاء نماذج ثلاثية الأبعاد مُفصّلة لألعاب الفيديو والأفلام. تُسهّل المتجهات على الحواسيب فهم الاتجاهات والمواقع. حتى في الملاحة، تستخدم الخرائط الخطوط لإظهار الطرق والمسارات، وتُساعد الأسطح المُستوية في تصميم مسارات طيران دقيقة ومخططات بناء.
في الرياضة، يمكنك رؤية هذه الأفكار يوميًا. الملعب مسطح، ومسار الكرة غالبًا ما يتبع خطًا مستقيمًا. عندما ترمي كرة، يمكنك تخيل مسارها كخط مستقيم. ستساعدك ملاحظة هذه الأمثلة على فهم كيفية تداخل الرياضيات مع العديد من جوانب الطبيعة والتكنولوجيا.
المتجهات مفيدة جدًا لأنها تُظهر الاتجاه والسرعة. عندما تمشي في اتجاه معين، يمكنك اعتبار خطواتك تتبعًا لمتجه. في درسنا، تساعدنا المتجهات على وصف كلٍّ من الخطوط والمستويات بوضوح. فهي تُبيّن لنا من أين نبدأ، وإلى أين نتجه، وكيف نتحرك.
على سبيل المثال، إذا تحركت سيارة على طريق مستقيم، يمكننا استخدام متجه لتمثيل حركتها. يُحدد المتجه اتجاه السيارة، ويمكن لطول المتجه أن يُظهر سرعة السيارة أو المسافة التي تقطعها. هذه الفكرة مفيدة جدًا لفهم الحركة بطريقة مبسطة.
تُعطينا معادلة الخط \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) أداةً فعّالة لوصف الحركة على طول خط. لنلقِ نظرةً على أجزائها مجددًا:
تخيل أنك ترسم خطًا منقطًا على ورقة. يمكنك تحديد بداية الخط، ثم استخدام أسهم صغيرة للإشارة إلى مساره. باتباعك للأسهم خطوة بخطوة، سترسم مسارًا يوضح موقعك بالضبط في أي لحظة.
تساعدنا معادلة المستوى \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) على فهم الأسطح المستوية. ببساطة، تخبرنا أنه إذا بدأنا من نقطة على المستوى وانتقلنا إلى أي نقطة أخرى عليه، فإن هذه الحركة تكون عمودية على المتجه العمودي \(\vec{n}\) .
هذا الشكل من معادلة المستوى مفيدٌ جدًا في الرياضيات المتقدمة. حتى لو بدت التفاصيل جديدةً الآن، فإن فهم هذه الفكرة سيساعدك على فهم كيفية عمل الأسطح المستوية في الحياة الواقعية. انظر حولك: كل جدار وأرضية وطاولة هو مثال عملي على المستوى.
تخيل فصلًا دراسيًا. الأرضية عبارة عن مساحة واسعة تجلس فيها وتلعب. السبورة أيضًا مساحة مسطحة تُستخدم للكتابة والرسم. الآن تخيل العوارض التي تحمل السقف - يمكن رؤيتها كخطوط تمتد في اتجاه معين. عندما يصمم المهندسون المعماريون فصلًا دراسيًا، فإنهم يفكرون مليًا في التأكد من أن المساحات مسطحة والخطوط مستقيمة، مما يضمن سلامة كل شيء وترتيبه.
حتى عند رسم صورة، قد تبدأ بأشكال بسيطة كالخطوط المستقيمة والمساحات المسطحة. هذه الأفكار الأساسية هي أساس الصور الأكثر تعقيدًا. بفهم الخطوط والمستويات، تتعلم رؤية البنية في الأشياء اليومية كالنوافذ والأبواب، وحتى الأرصفة الخارجية.
تُوضّح المتجهات كل هذا لأنها تُظهر الاتجاه الدقيق الذي يتجه إليه شيء ما. سواء كنت تلعب بمكعبات البناء أو تصمم صورة جديدة، فإن معرفة المتجهات والخطوط والمستويات تساعدك على فهم كيفية ترابط الأجزاء.
في هذا الدرس، تعلمنا الخطوط والمستويات في الرسوم ثلاثية الأبعاد باستخدام مفاهيم واضحة وبسيطة للمتجهات. فيما يلي النقاط الرئيسية التي تناولناها:
تذكر أن الخطوط والمستويات والمتجهات ليست مجرد أفكار في كتبنا، بل هي أدوات تساعدنا على فهم العالم من حولنا وتشكيله. ابحث عنها في صفك، وفي منزلك، وحتى أثناء اللعب في الخارج. استمتع باكتشاف كيف تحيط بك الرياضيات من كل جانب!
