Üç ölçülü (3D) xətlər və müstəvilər mövzusunda dərsimizə xoş gəlmisiniz. Gündəlik dünyamızda ətrafımızda düz yollar və düz səthlər görürük. Xətlər yollar, yollar və ya hətta qələmin kənarı kimi görünə bilər. Təyyarələr masanın, lövhənin və ya kağızın səthinə bənzəyir. Bu dərsdə biz xətlərin və müstəvilərin nə olduğunu öyrənəcəyik və onları izah etmək üçün vektorlar ideyasından istifadə edəcəyik. Bu dərsdəki dil sadə və gündəlik nümunələrlə doludur, ona görə də bu fikirlərin bildiyiniz dünyaya necə uyğunlaşdığını görə bilərsiniz.
Xətt, sonu olmayan iki əks istiqamətdə uzanan bir yoldur. Gördüyünüzdən kənara çıxan uzun bir yol təsəvvür edin. Bu yol dayanmır; hər iki istiqamətdə əbədi olaraq davam edir. Riyaziyyatda xəttin yalnız bir ölçüsü olan uzunluq olduğunu düşünürük. Onun heç bir qalınlığı və eni yoxdur.
Bir kağız parçasına qələm və ya təbaşirlə xətt çəkdiyiniz zaman çox uzun bir xəttin kiçik bir hissəsini çəkirsiniz. Rəsminizin başlanğıc və bitmə nöqtəsi olsa da, xəttin əsl ideyası onun heç vaxt bitməməsidir.
Təyyarə iki ölçüdə əbədi uzanan düz bir səthdir. Çox böyük, düz bir taxtanın və ya mükəmməl bir kağız parçasının səthini təsəvvür edin. Həqiqi bir kağız parçasının kənarları olsa da, riyaziyyatda biz təyyarəni sərhədsiz hesab edirik. Uzunluğu və eni sonsuzdur, lakin heç bir qalınlığı yoxdur.
Gündəlik həyatda təyyarələrə misal olaraq döşəmə, divar və masaları göstərmək olar. Bir kubun və ya qutunun rəsminə baxdığınız zaman formanın hər tərəfi düz bir səth olduğu üçün bir müstəvidir. Təyyarə ideyası ətrafımızdakı bir çox şeyi, məsələn, yolun və ya tarlanın səthini anlamağa kömək edir.
Vektor ox kimidir. Ox iki mühüm məlumatı göstərir: onun göstərdiyi istiqamət və uzunluğu. Riyaziyyatda vektorlar hərəkəti və mövqeyi təsvir etməyə kömək edir. Onlar faydalıdır, çünki bizə istiqamətlər haqqında çox aydın danışmaq üçün bir yol verirlər.
Məsələn, qapını göstərdiyinizi təsəvvür edin. Barmağınız vektor kimi fəaliyyət göstərir. Hansı tərəfə getmək istədiyinizi və nə qədər hərəkət etməli olduğunuzu göstərir. Vektorlar xətlərin və müstəvilərin çəkilməsində faydalıdır, çünki onlar bizə bir nöqtədən digərinə istiqaməti göstərirlər.
Sadə bir tənliyi olan vektorlardan istifadə edərək xətti təsvir edə bilərik. Tənlik bizə bir nöqtədən necə başlayacağımızı və müəyyən bir istiqamətdə necə hərəkət edəcəyimizi izah edir. 3D-də bir xətt üçün standart tənlik belədir:
Xətt tənliyi: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)
Bu tənlikdə:
Bu tənlik o deməkdir ki \(\vec{a}\) nöqtəsindən başlasanız və \(t\) dəyişdirərək \(\vec{d}\) istiqamətinə bir az (və ya çox) əlavə etsəniz, xətt boyunca hərəkət edirsiniz. Siz \(t\) atdığınız addımların sayı kimi düşünə bilərsiniz, burada hər bir addım eyni istiqamətdədir.
Xətt tənliyinin necə işlədiyini görmək üçün bir nümunədən istifadə edək. Tənliyi nəzərdən keçirin:
Tənlik: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)
Bu o deməkdir ki, başlanğıc nöqtəsi \((1, 2, 3)\) və istiqamət vektoru \((2, 0, 1)\) dir. Xəttdə bir nöqtə tapmaq üçün \(t\) üçün qiymət seçirik və onu tənliyə əvəz edirik.
Addım-addım Həll:
Bu nümunə göstərir ki, \(t\) dəyərini dəyişdirməklə siz xətt boyunca necə hərəkət edirsiniz və onun üzərində istənilən nöqtəni tapa bilərsiniz.
Vektorlardan istifadə edərək təyyarəni də təsvir edə bilərik. Təyyarənin tənliyini yazmağın ümumi üsullarından biri müstəvidəki nöqtə və ona perpendikulyar (düz bucaq altında) olan vektordan istifadə edir. Təyyarənin təsviri:
Müstəvi Tənliyi: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)
Bu tənlikdə:
\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) sıfır olması o deməkdir ki, \(\vec{a}\) nöqtəsindən müstəvidə istənilən \(\vec{r}\) nöqtəsinə qədər olan vektor \(\vec{n}\) -ə perpendikulyardır. Bu, bizə bir nöqtənin müstəvidə olduğunu söyləyən əsas fikirdir.
Tutaq ki \((3, 1, 2)\) nöqtəsinin bu tənliklə verilmiş müstəvidə olub-olmadığını yoxlamaq istəyirik:
Müstəvi Tənliyi: \(2x + y - z = 3\)
Bunun üçün tənlikdə \(x = 3\) , \(y = 1\) və \(z = 2\) əvəz edə və onun işlədiyini yoxlaya bilərik.
Addım-addım Həll:
Bu misal göstərir ki, nöqtəni tənlikdə əvəz etmək bizə nöqtənin müstəvidə olub-olmadığını necə deyə bilər.
Bəzən biz müstəvidə yerləşən üç nöqtəni bilirik və təyyarənin tənliyini tapmaq istəyirik. Aşağıdakı üç nöqtədən istifadə edək:
Təyyarənin tənliyini tapmaq üçün bu addımları yerinə yetirin:
Bu \(A\) , \(B\) və \(C\) nöqtələrindən keçən təyyarənin tənliyidir. Təyyarəni təyin etməyə kömək edən normal vektoru tapmaq üçün vektorlardan necə istifadə etdiyimizə diqqət yetirin.
Xətlər və müstəvilər sadəcə kitabdakı fikirlər deyil; onlar gündəlik həyatımızın bir çox yerində istifadə olunur. Memarlar və mühəndislər binaların və körpülərin layihələndirilməsi zamanı onlardan istifadə edirlər. Məsələn, bir evin döşəməsi bir təyyarədir və damın kirişləri və ya kənarları xətlər kimi görünə bilər. Uşaq meydançasını qurarkən dizaynerlər təhlükəsiz və açıq sahələr yaratmaq üçün düz səthlər (təyyarələr) ideyasından istifadə edir və sürüşmə və yolların istiqamətini planlaşdırmaq üçün xətlərdən istifadə edirlər.
Kompüter qrafikasında xətlər və təyyarələr video oyunlar və filmlər üçün ətraflı 3D modellər yaratmağa kömək edir. Vektorlar kompüterlərin istiqamətləri və mövqeləri başa düşməsini asanlaşdırır. Hətta naviqasiyada xəritələr yolları və marşrutları göstərmək üçün xətlərdən istifadə edir və düz səthlər dəqiq uçuş yollarını və tikinti planlarını tərtib etməyə kömək edir.
İdmanda bu fikirləri hər gün görə bilərsiniz. Sahə və ya meydança bir təyyarədir və topun trayektoriyası çox vaxt düz bir xətt izləyir. Topu atdığınız zaman onun yolunu bir xətt kimi təsəvvür edə bilərsiniz. Bu nümunələri müşahidə etmək sizə riyaziyyatın təbiətdə və texnologiyada bir çox şeyin bir hissəsi olduğunu başa düşməyə kömək edə bilər.
Vektorlar çox faydalıdır, çünki onlar istiqamət və sürət göstərirlər. Müəyyən bir istiqamətdə getdiyiniz zaman addımlarınızı vektoru izləmək kimi düşünə bilərsiniz. Dərsimizdə vektorlar həm xətləri, həm də təyyarələri aydın şəkildə təsvir etməyə kömək edir. Haradan başlayacağımızı, hara getməli olduğumuzu və necə hərəkət edəcəyimizi söyləyirlər.
Məsələn, bir avtomobil düz yolda hərəkət edərsə, onun hərəkətini təmsil etmək üçün vektordan istifadə edə bilərik. Avtomobilin istiqaməti vektor tərəfindən verilir və vektorun uzunluğu avtomobilin nə qədər sürətlə və ya nə qədər hərəkət etdiyini göstərə bilər. Bu fikir hərəkəti sadə şəkildə başa düşmək üçün çox faydalıdır.
\(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) xətti tənliyi bizə bir xətt boyunca hərəkəti təsvir etmək üçün güclü alət verir. Onun hissələrinə bir daha nəzər salaq:
Təsəvvür edin ki, bir kağız parçası üzərində nöqtəli xətt çəkirsiniz. Siz xəttin əvvəlini qeyd edə və sonra xəttin necə davam etdiyini göstərmək üçün kiçik oxlardan istifadə edə bilərsiniz. Okları addım-addım izlədiyiniz zaman hər an harada olduğunuzu göstərən bir yol yaradırsınız.
\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) müstəvi tənliyi bizə düz səthləri anlamağa kömək edir. Daha sadə sözlərlə desək, o, bizə deyir ki, müstəvidə bir nöqtədən başlayıb müstəvidə hər hansı başqa nöqtəyə keçsək, bu hərəkət normal vektora perpendikulyar \(\vec{n}\) olur.
Müstəvi tənliyin bu forması ali riyaziyyatda çox faydalıdır. Təfərrüatlar indi yeni görünsə belə, bu ideyanı başa düşmək sizə düz səthlərin real dünyada necə işlədiyini görməyə kömək edəcək. Ətrafa baxın: hər divar, mərtəbə və masa təyyarənin praktiki nümunəsidir.
Məktəb sinifini nəzərdən keçirək. Döşəmə oturub oynadığınız geniş bir təyyarədir. Yazı lövhəsi də yazı və rəsm üçün istifadə olunan bir təyyarədir. İndi damı tutan şüaları təsəvvür edin - bunlar müəyyən bir istiqamətdə uzanan xətlər kimi görünə bilər. Memarlar bir sinif otağı dizayn edərkən, hər şeyin təhlükəsiz və səliqəli olmasını təmin edərək, təyyarələrin düz və xətlərin düz olduğundan əmin olmaq barədə diqqətlə düşünürlər.
Şəkil çəkərkən belə, düz xətlər və düz sahələr kimi sadə formalardan başlaya bilərsiniz. Bu əsas fikirlər daha mürəkkəb şəkillərin tikinti bloklarıdır. Xətləri və təyyarələri anlayaraq, siz pəncərələr, qapılar və hətta çöldəki səkilər kimi gündəlik əşyalardakı quruluşu görməyi öyrənirsiniz.
Vektorlar bütün bunları daha aydın edir, çünki onlar bir şeyin hansı istiqamətə yönəldiyini dəqiq göstərirlər. İstər tikinti blokları ilə oynayırsınız, istərsə də yeni şəkil dizayn edirsinizsə, vektorlar, xətlər və təyyarələr haqqında bilmək hissələrin bir-biri ilə necə əlaqə saxladığını anlamağa kömək edir.
Bu dərsdə vektorlarla aydın və sadə ideyalardan istifadə edərək 3D-də xətlər və müstəvilər haqqında öyrəndik. Budur əhatə etdiyimiz əsas məqamlar:
Unutmayın ki, xətlər, təyyarələr və vektorlar sadəcə kitablarımızdakı fikirlər deyil, onlar ətrafımızdakı dünyanı anlamağa və formalaşdırmağa kömək edən alətlərdir. Onları sinifinizdə, evdə və hətta çöldə oynadığınız zaman axtarın. Ətrafınızda riyaziyyatın necə olduğunu kəşf etməkdən həzz alın!
