Back to the topics list

خطوط و سطوح در فضای سه بعدی

خطوط و صفحات در فضای سه‌بعدی: یک راهنمای ساده با بردارها

به درس ما در مورد خطوط و صفحات در فضای سه‌بعدی (سه‌بعدی) خوش آمدید. در دنیای روزمره، مسیرهای مستقیم و سطوح صاف را در اطراف خود می‌بینیم. خطوط ممکن است به صورت جاده، مسیر یا حتی لبه یک مداد دیده شوند. صفحات شبیه به سطح یک میز، تخته یا یک ورق کاغذ هستند. در این درس، یاد خواهیم گرفت که خطوط و صفحات چیستند و از ایده بردارها برای توضیح آنها استفاده خواهیم کرد. زبان این درس ساده و پر از مثال‌های روزمره است، بنابراین می‌توانید ببینید که چگونه این ایده‌ها در دنیایی که می‌شناسید، جای می‌گیرند.

خط چیست؟

خط، مسیری است که در دو جهت مخالف و بدون انتها امتداد می‌یابد. جاده‌ای طولانی را تصور کنید که از آنچه می‌بینید فراتر می‌رود. این جاده متوقف نمی‌شود؛ بلکه تا ابد در هر دو جهت ادامه دارد. در ریاضی، ما خط را تنها دارای یک بُعد می‌دانیم - طول. هیچ ضخامت یا عرضی ندارد.

وقتی با مداد یا گچ روی کاغذ خطی می‌کشیم، بخش کوچکی از یک خط بسیار طولانی را ترسیم می‌کنیم. اگرچه نقاشی ما یک نقطه شروع و یک نقطه پایان دارد، اما ایده واقعی یک خط این است که هرگز واقعاً تمام نمی‌شود.

هواپیما چیست؟

صفحه، سطحی صاف است که در دو بعد تا ابد امتداد دارد. سطح یک تخته بسیار بزرگ و صاف یا یک تکه کاغذ کامل را تصور کنید. اگرچه یک تکه کاغذ واقعی لبه دارد، اما در ریاضی ما صفحه را بدون مرز می‌دانیم. طول و عرض آن نامحدود است اما هیچ ضخامتی ندارد.

نمونه‌هایی از صفحه‌ها در زندگی روزمره عبارتند از کف، دیوارها و میزها. وقتی به نقاشی یک مکعب یا یک جعبه نگاه می‌کنید، هر ضلع شکل یک صفحه است زیرا یک سطح صاف است. ایده صفحه به ما کمک می‌کند تا بسیاری از چیزهای اطراف خود را درک کنیم، مانند سطح یک جاده یا یک مزرعه.

بردارها چیستند؟

یک بردار مانند یک فلش است. فلش دو بخش مهم از اطلاعات را نشان می‌دهد: جهتی که به آن اشاره می‌کند و طول آن. در ریاضی، بردارها به ما در توصیف حرکت و موقعیت کمک می‌کنند. آنها مفید هستند زیرا به ما راهی می‌دهند تا در مورد جهت‌ها به روشنی صحبت کنیم.

برای مثال، تصور کنید که به در اشاره می‌کنید. انگشت شما مانند یک بردار عمل می‌کند. این نشان می‌دهد که به کدام سمت می‌خواهید بروید و چقدر ممکن است مجبور به حرکت باشید. بردارها در ترسیم خطوط و صفحات مفید هستند زیرا جهت را از یک نقطه به نقطه دیگر به ما نشان می‌دهند.

استفاده از بردارها برای توصیف یک خط

ما می‌توانیم یک خط را با استفاده از بردارها و با یک معادله ساده توصیف کنیم. این معادله به ما می‌گوید که چگونه از یک نقطه شروع کنیم و در یک جهت خاص حرکت کنیم. معادله استاندارد برای یک خط در حالت سه‌بعدی به صورت زیر است:

معادله خط: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

در این معادله:

• \(\vec{a}\) : یک نقطه معلوم روی خط است. آن را به عنوان نقطه شروع در نظر بگیرید.
• \(\vec{d}\) : بردار جهت است. این بردار نشان می‌دهد که خط به کدام سمت می‌رود.
• \(t\) : عددی است که تغییر می‌کند. حرکت در امتداد خط به معنای تغییر مقدار \(t\) است.

این معادله به این معنی است که اگر از نقطه \(\vec{a}\) شروع کنید و با تغییر \(t\) کمی (یا مقدار زیادی) از جهت \(\vec{d}\) را اضافه کنید، در امتداد خط حرکت خواهید کرد. می‌توانید \(t\) را به عنوان تعداد گام‌هایی که برمی‌دارید در نظر بگیرید، که در آن هر گام در یک جهت است.

مثال ۱: پیدا کردن یک نقطه روی یک خط

بگذارید با یک مثال ببینیم معادله خط چگونه کار می‌کند. معادله را در نظر بگیرید:

معادله: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)

این یعنی نقطه شروع \((1, 2, 3)\) و بردار جهت \((2, 0, 1)\) است. برای یافتن یک نقطه روی خط، مقداری برای \(t\) انتخاب می‌کنیم و آن را در معادله جایگذاری می‌کنیم.

راه حل گام به گام:

1. یک مقدار برای \(t\) انتخاب کنید. فرض کنید \(t = 2\) .
2. بردار جهت را در ۲ ضرب کنید:
   \(2 \times (2, 0, 1) = (4, 0, 2)\)
3. این نتیجه را به نقطه شروع اضافه کنید:
   \((1, 2, 3) + (4, 0, 2) = (5, 2, 5)\)
4. نقطه \((5, 2, 5)\) وقتی \(t = 2\) باشد، روی خط است.

این مثال نشان می‌دهد که چگونه با تغییر مقدار \(t\) ، در امتداد خط حرکت می‌کنید و می‌توانید هر نقطه‌ای را روی آن پیدا کنید.

استفاده از بردارها برای توصیف یک صفحه

ما همچنین می‌توانیم یک صفحه را با استفاده از بردارها توصیف کنیم. یک روش رایج برای نوشتن معادله یک صفحه، استفاده از یک نقطه روی صفحه و یک بردار است که بر آن عمود (با زاویه قائمه) است. صفحه به صورت زیر توصیف می‌شود:

معادله صفحه‌ای: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)

در این معادله:

• بردار نرمال است که مستقیماً از صفحه به سمت بیرون اشاره \(\vec{n}\) .
• \(\vec{a}\) : نقطه‌ای روی صفحه است.
• \(\vec{r}\) هر نقطه‌ای روی صفحه را نشان می‌دهد.

صفر بودن حاصلضرب داخلی \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) به این معنی است که بردار از نقطه \(\vec{a}\) به هر نقطه \(\vec{r}\) روی صفحه، بر \(\vec{n}\) عمود است. این ایده کلیدی است که به ما می‌گوید یک نقطه دقیقاً روی صفحه قرار دارد.

مثال ۲: بررسی اینکه آیا یک نقطه روی یک صفحه قرار دارد یا خیر

فرض کنید می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا نقطه \((3, 1, 2)\) روی صفحه‌ای که توسط این معادله داده شده است، قرار دارد یا خیر:

معادله صفحه: \(2x + y - z = 3\)

برای انجام این کار، می‌توانیم \(x = 3\) ، \(y = 1\) و \(z = 2\) را در معادله جایگزین کنیم و ببینیم که آیا جواب می‌دهد یا خیر.

راه حل گام به گام:

1. مقادیر را در معادله جایگزین کنید:
   \(2(3) + 1 - 2\)
2. ضرب را محاسبه کنید:
   \(6 + 1 - 2\)
3. جمع و تفریق اعداد:
   \(6 + 1 = 7\) و سپس \(7 - 2 = 5\)
4. از آنجایی که \(5\) \(3\) برابر نیست، نقطه \((3, 1, 2)\) روی صفحه قرار ندارد.

این مثال نشان می‌دهد که چگونه با جایگذاری نقطه در معادله می‌توان فهمید که آیا آن نقطه در صفحه قرار دارد یا خیر.

مثال ۳: یافتن معادله صفحه از روی سه نقطه

گاهی اوقات، ما سه نقطه را می‌دانیم که روی یک صفحه قرار دارند و می‌خواهیم معادله آن صفحه را پیدا کنیم. بیایید از سه نقطه زیر استفاده کنیم:

• \(A = (1, 0, 0)\)
• \(B = (0, 1, 0)\)
• \(C = (0, 0, 1)\)

برای یافتن معادله صفحه، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. دو بردار را در صفحه پیدا کنید:
   • با کم کردن \(\vec{A}\) \(\vec{AB}\) \(\vec{B}\) را محاسبه کنید:
     \(\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)\)
   • با کم کردن \(\vec{A}\) از \(\vec{C}\) \(\vec{AC}\) }\) را محاسبه کنید:
     \(\vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\)
2. بردار نرمال \(\vec{n}\) با ضرب خارجی \(\vec{AB}\) و \(\vec{AC}\) به دست آورید:
   • حاصلضرب خارجی \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\) به صورت زیر است:
     \(\vec{n} = (1, 1, 1)\)
3. با استفاده از بردار نرمال و یکی از نقاط (مثلاً نقطه A) معادله صفحه را بنویسید:
   • معادله را به صورت زیر بنویسید:
     \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
   • معادله را ساده کنید:
     \(x - 1 + y + z = 0\) که می‌تواند به صورت زیر بازآرایی شود:
     \(x + y + z = 1\)

این معادله صفحه‌ای است که از نقاط \(A\) ، \(B\) و \(C\) می‌گذرد. ​​توجه کنید که چگونه از بردارها برای یافتن یک بردار نرمال که به تعیین صفحه کمک می‌کند، استفاده کردیم.

کاربردهای دنیای واقعی

خطوط و سطوح فقط ایده‌هایی در کتاب‌ها نیستند؛ آن‌ها در بسیاری از بخش‌های زندگی روزمره ما مورد استفاده قرار می‌گیرند. معماران و مهندسان هنگام طراحی ساختمان‌ها و پل‌ها از آن‌ها استفاده می‌کنند. به عنوان مثال، کف یک خانه یک صفحه است و تیرها یا لبه‌های سقف را می‌توان به صورت خط دید. هنگام ساخت یک زمین بازی، طراحان از ایده سطوح صاف (صفحات) برای ایجاد مناطق امن و باز استفاده می‌کنند و از خطوط برای برنامه‌ریزی جهت سرسره‌ها و مسیرها استفاده می‌کنند.

در گرافیک کامپیوتری، خطوط و صفحات به ایجاد مدل‌های سه‌بعدی دقیق برای بازی‌های ویدیویی و فیلم‌ها کمک می‌کنند. بردارها درک جهت‌ها و موقعیت‌ها را برای کامپیوترها آسان‌تر می‌کنند. حتی در ناوبری، نقشه‌ها از خطوط برای نشان دادن جاده‌ها و مسیرها استفاده می‌کنند و سطوح صاف در طراحی دقیق مسیرهای پرواز و نقشه‌های ساختمانی کمک می‌کنند.

در ورزش، می‌توانید هر روز این ایده‌ها را ببینید. زمین بازی یک صفحه است و مسیر توپ اغلب یک خط مستقیم را دنبال می‌کند. وقتی توپی را پرتاب می‌کنید، می‌توانید مسیر آن را به صورت یک خط تصور کنید. مشاهده این مثال‌ها می‌تواند به شما کمک کند تا بفهمید که چگونه ریاضی بخشی از بسیاری از چیزها در طبیعت و فناوری است.

درک جهت‌ها با بردارها

بردارها بسیار مفید هستند زیرا جهت و سرعت را نشان می‌دهند. وقتی در یک جهت خاص قدم می‌زنید، می‌توانید قدم‌های خود را به عنوان دنبال کردن یک بردار در نظر بگیرید. در درس ما، بردارها به ما کمک می‌کنند تا هم خطوط و هم صفحات را به روشنی توصیف کنیم. آنها به ما می‌گویند از کجا شروع کنیم، به کجا برویم و چگونه حرکت کنیم.

برای مثال، اگر یک ماشین در امتداد یک جاده مستقیم حرکت کند، می‌توانیم از یک بردار برای نمایش حرکت آن استفاده کنیم. جهت حرکت ماشین توسط بردار داده می‌شود و طول بردار می‌تواند نشان دهد که ماشین با چه سرعتی یا تا چه مسافتی حرکت می‌کند. این ایده برای درک حرکت به روشی ساده بسیار مفید است.

اطلاعات بیشتر در مورد معادله خط

معادله خط \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) ابزاری قوی برای توصیف حرکت در امتداد یک خط در اختیار ما قرار می‌دهد. بیایید یک بار دیگر به اجزای آن نگاه کنیم:

• \(\vec{a}\) : نقطه شروع خطی که سفر خود را از آنجا آغاز می‌کنیم.
• \(\vec{d}\) : جهت خط، مانند فلشی که جهت حرکت را نشان می‌دهد.
• \(t\) : عددی متغیر که به ما می‌گوید چقدر باید در امتداد خط حرکت کنیم. با تغییر \(t\) ، به نقطه شروع دورتر یا نزدیکتر می‌شویم.

تصور کنید که یک خط نقطه‌چین روی یک تکه کاغذ رسم می‌کنید. می‌توانید ابتدای خط را علامت بزنید و سپس از فلش‌های کوچک برای نشان دادن نحوه ادامه خط استفاده کنید. همانطور که فلش‌ها را گام به گام دنبال می‌کنید، مسیری ایجاد می‌کنید که دقیقاً نشان می‌دهد در هر لحظه کجا هستید.

اطلاعات بیشتر در مورد معادله صفحه

معادله صفحه \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) به ما در درک سطوح مسطح کمک می‌کند. به عبارت ساده‌تر، این معادله به ما می‌گوید که اگر از یک نقطه روی صفحه شروع کنیم و به هر نقطه دیگری روی صفحه حرکت کنیم، آن حرکت عمود بر بردار نرمال \(\vec{n}\) است.

• \(\vec{n}\) : این پیکان با زاویه قائمه نسبت به صفحه قرار دارد. این به ما می‌گوید که کدام جهت از صفحه «به سمت بالا» است.
• \(\vec{a}\) : یک نقطه معلوم روی صفحه که به تثبیت معادله کمک می‌کند.
• \(\vec{r}\) : هر نقطه‌ای که روی صفحه قرار دارد.

این شکل از معادله صفحه در ریاضیات سطح بالا بسیار مفید است. حتی اگر جزئیات اکنون جدید به نظر برسند، درک این ایده به شما کمک می‌کند تا ببینید سطوح صاف در دنیای واقعی چگونه کار می‌کنند. به اطراف نگاه کنید: هر دیوار، کف و میز یک مثال عملی از یک صفحه است.

ارتباط خطوط و سطوح با زندگی روزمره

یک کلاس درس مدرسه را در نظر بگیرید. کف کلاس یک صفحه پهن است که شما روی آن می‌نشینید و بازی می‌کنید. تخته سیاه نیز یک صفحه است که برای نوشتن و نقاشی استفاده می‌شود. حالا تیرهایی را تصور کنید که سقف را نگه می‌دارند - این‌ها را می‌توان به عنوان خطوطی که در یک جهت خاص امتداد دارند، دید. وقتی معماران یک کلاس درس را طراحی می‌کنند، با دقت در مورد صاف بودن صفحات و مستقیم بودن خطوط فکر می‌کنند و مطمئن می‌شوند که همه چیز ایمن و مرتب است.

حتی وقتی در حال کشیدن یک تصویر هستید، ممکن است با اشکال ساده‌ای مانند خطوط مستقیم و سطوح صاف شروع کنید. این ایده‌های اولیه، بلوک‌های سازنده تصاویر پیچیده‌تر هستند. با درک خطوط و سطوح، یاد می‌گیرید که ساختار اشیاء روزمره مانند پنجره‌ها، درها و حتی پیاده‌روهای بیرون را ببینید.

بردارها همه این موارد را واضح‌تر می‌کنند زیرا جهت دقیق قرارگیری اشیا را نشان می‌دهند. چه در حال بازی با بلوک‌های ساختمانی باشید و چه در حال طراحی یک تصویر جدید، دانستن در مورد بردارها، خطوط و صفحات به شما کمک می‌کند تا نحوه ارتباط اجزا با یکدیگر را درک کنید.

نتیجه‌گیری و خلاصه

در این درس، با استفاده از ایده‌های ساده و واضح در مورد بردارها، در مورد خطوط و صفحات در فضای سه‌بعدی آموختیم. نکات اصلی که پوشش دادیم به شرح زیر است:

• خط: یک جسم تک بعدی که برای همیشه در دو جهت مخالف امتداد دارد. مانند یک جاده بی‌پایان یا یک خط مداد کشیده شده است.
• صفحه: یک سطح صاف که تا ابد در دو بعد ادامه دارد، مانند یک تکه کاغذ یا یک زمین.
• بردار: پیکانی که جهت و طول را نشان می‌دهد. به ما در درک و توصیف حرکات و موقعیت‌ها کمک می‌کند.
• معادله خط: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) نشان می‌دهد که چگونه می‌توان در امتداد یک خط با شروع از نقطه \(\vec{a}\) در جهت \(\vec{d}\) حرکت کرد.
• معادله صفحه: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) به ما می‌گوید که یک نقطه روی صفحه است اگر حرکت از \(\vec{a}\) به آن نقطه عمود بر بردار نرمال \(\vec{n}\) باشد.
• کاربردهای دنیای واقعی: معماران، مهندسان، هنرمندان گرافیک کامپیوتری و بسیاری دیگر از خطوط، صفحات و بردارها برای طراحی ساختمان‌ها، ایجاد مدل‌ها و پیمایش فضاها استفاده می‌کنند.

به یاد داشته باشید که خطوط، صفحات و بردارها فقط ایده‌هایی در کتاب‌های ما نیستند - آنها ابزارهایی هستند که به ما کمک می‌کنند دنیای اطراف خود را درک کنیم و شکل دهیم. آنها را در کلاس درس، خانه و حتی وقتی در بیرون بازی می‌کنید، جستجو کنید. از کشف چگونگی ریاضیات در اطراف خود لذت ببرید!