Back to the topics list

линии и рамнини во 3d

Линии и рамнини во 3D: Едноставен водич со вектори

Добредојдовте на нашата лекција за линии и рамнини во три димензии (3D). Во нашиот секојдневен свет, гледаме прави патеки и рамни површини околу нас. Линиите може да се гледаат како патишта, патеки или дури и како работ на молив. Рамнините се слични на површината на маса, табла или лист хартија. Во оваа лекција, ќе научиме што се линии и рамнини и ќе ја користиме идејата за вектори за да помогнеме во нивното објаснување. Јазикот во оваа лекција е едноставен и полн со секојдневни примери, така што можете да видите како овие идеи се вклопуваат во светот што го познавате.

Што е линија?

Линија е патека што се протега во две спротивни насоки без крај. Замислете долг пат што оди подалеку од она што можете да го видите. Овој пат не запира; тој продолжува бесконечно во двата правци. Во математиката, ние мислиме на линијата како да има само една димензија - должина. Таа нема никаква дебелина или ширина.

Кога цртате линија на парче хартија со молив или креда, цртате мал дел од многу долга линија. Иако вашиот цртеж има почетна точка и крајна точка, вистинската идеја за линијата е дека таа никогаш всушност не завршува.

Што е авион?

Рамнина е рамна површина што се протега бесконечно во две димензии. Замислете ја површината на многу голема, рамна табла или совршено парче хартија. Иако вистинското парче хартија има рабови, во математиката за рамнината мислиме дека нема граници. Таа е бесконечна по должина и ширина, но нема никаква дебелина.

Примери за рамнини во секојдневниот живот се подовите, ѕидовите и масите. Кога ќе погледнете цртеж на коцка или кутија, секоја страна од обликот е рамнина бидејќи е рамна површина. Идејата за рамнина ни помага да разбереме многу работи околу нас, како што се површината на патот или полето.

Што се вектори?

Векторот е како стрелка. Стрелката покажува две важни информации: насоката во која покажува и нејзината должина. Во математиката, векторите ни помагаат да го опишеме движењето и положбата. Тие се корисни бидејќи ни даваат начин многу јасно да зборуваме за насоките.

На пример, замислете дека покажувате кон вратата. Вашиот прст делува како вектор. Тој покажува во кој правец сакате да одите и колку далеку можеби ќе треба да се движите. Векторите се корисни при цртање линии и рамнини бидејќи ни ја покажуваат насоката од една точка до друга.

Користење на вектори за опишување на линија

Можеме да опишеме линија користејќи вектори со едноставна равенка. Равенката ни кажува како да започнеме од една точка и да се движиме во одредена насока. Стандардната равенка за линија во 3D е:

Линиска равенка: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

Во оваа равенка:

• \(\vec{a}\) : е позната точка на линијата. Сфатете ја како почетна точка.
• \(\vec{d}\) : е векторот на насоката. Покажува во која насока оди линијата.
• \(t\) : е број што се менува. Движењето по линијата значи промена на вредноста на \(t\) .

Оваа равенка значи дека ако започнете од точката \(\vec{a}\) и додадете малку (или многу) од насоката \(\vec{d}\) со промена на \(t\) , се движите по линијата. Можете да го замислите \(t\) како број на чекори што ги правите, каде што секој чекор е во иста насока.

Пример 1: Наоѓање точка на линија

Да употребиме пример за да видиме како функционира линиската равенка. Да ја разгледаме равенката:

Равенка: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)

Ова значи дека почетната точка е \((1, 2, 3)\) , а векторот на насоката е \((2, 0, 1)\) . За да најдеме точка на линијата, избираме вредност за \(t\) и ја заменуваме во равенката.

Чекор-по-чекор решение:

1. Изберете вредност за \(t\) . Нека \(t = 2\) .
2. Помножете го векторот на насока со 2:
   \(2 \times (2, 0, 1) = (4, 0, 2)\)
3. Додајте го овој резултат на почетната точка:
   \((1, 2, 3) + (4, 0, 2) = (5, 2, 5)\)
4. Точката \((5, 2, 5)\) е на линијата кога \(t = 2\) .

Овој пример покажува како, со промена на вредноста на \(t\) , се движите по правата и можете да најдете која било точка на неа.

Користење на вектори за опишување на рамнина

Можеме да опишеме рамнина и со вектори. Еден вообичаен начин за пишување на равенката на рамнина користи точка на рамнината и вектор кој е нормален (под прав агол) на неа. Рамнината е опишана со:

Рамнинска равенка: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)

Во оваа равенка:

• \(\vec{n}\) : е нормалниот вектор. Покажува право надвор од рамнината.
• \(\vec{a}\) : е точка на рамнината.
• \(\vec{r}\) претставува која било точка на рамнината.

Ако точкестиот производ \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) е нула, тоа значи дека векторот од точката \(\vec{a}\) до која било точка \(\vec{r}\) на рамнината е нормален на \(\vec{n}\) . Ова е клучната идеја што ни кажува дека точката лежи точно на рамнината.

Пример 2: Проверка дали точката лежи на рамнина

Да претпоставиме дека сакаме да провериме дали точката \((3, 1, 2)\) е на рамнината дадена со оваа равенка:

Рамнинска равенка: \(2x + y - z = 3\)

За да го направиме ова, можеме да ги замениме \(x = 3\) , \(y = 1\) и \(z = 2\) во равенката и да видиме дали функционира.

Чекор-по-чекор решение:

1. Заменете ги вредностите во равенката:
   \(2(3) + 1 - 2\)
2. Пресметај го множењето:
   \(6 + 1 - 2\)
3. Собирај и одземи ги броевите:
   \(6 + 1 = 7\) и потоа \(7 - 2 = 5\)
4. Бидејќи \(5\) не е еднакво на \(3\) , точката \((3, 1, 2)\) не лежи на рамнината.

Овој пример покажува како замената на точката во равенката може да ни каже дали точката е на рамнината или не.

Пример 3: Наоѓање на равенката на рамнина од три точки

Понекогаш, знаеме три точки што лежат на рамнина и сакаме да ја најдеме равенката на рамнината. Да ги користиме трите точки подолу:

• \(A = (1, 0, 0)\)
• \(B = (0, 1, 0)\)
• \(C = (0, 0, 1)\)

За да ја пронајдете равенката на рамнината, следете ги овие чекори:

1. Пронајдете два вектори на рамнината:
   • Пресметајте го \(\vec{AB}\) со одземање на \(\vec{A}\) од \(\vec{B}\) :
     \(\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)\)
   • Пресметајте го \(\vec{AC}\) со одземање на \(\vec{A}\) од \(\vec{C}\) :
     \(\vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\)
2. Најдете го нормалниот вектор \(\vec{n}\) со земање на накрсниот производ од \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) :
   • Вкрстениот производ \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\) дава:
     \(\vec{n} = (1, 1, 1)\)
3. Користете го нормалниот вектор и една од точките (на пример, точката А) за да ја напишете равенката во рамнината:
   • Напишете ја равенката како:
     \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
   • Поедноставете ја равенката:
     \(x - 1 + y + z = 0\) што може да се преуреди во:
     \(x + y + z = 1\)

Ова е равенката на рамнината што минува низ точките \(A\) , \(B\) и \(C\) . Забележете како користевме вектори за да најдеме нормален вектор што помогна да се одреди рамнината.

Апликации од реалниот свет

Линиите и рамнините не се само идеи во книга; тие се користат во многу делови од нашиот секојдневен живот. Архитектите и инженерите ги користат при дизајнирање згради и мостови. На пример, подот на куќата е рамнина, а гредите или рабовите на покривот може да се видат како линии. Кога градат игралиште, дизајнерите ја користат идејата за рамни површини (рамнини) за да создадат безбедни и отворени површини, а користат линии за да ја испланираат насоката на лизгалките и патеките.

Во компјутерската графика, линиите и рамнините помагаат во креирање детални 3Д модели за видео игри и филмови. Векторите им олеснуваат на компјутерите да ги разберат насоките и позициите. Дури и во навигацијата, мапите користат линии за да прикажат патишта и рути, а рамните површини помагаат во дизајнирањето точни патеки на летот и планови за градење.

Во спортот, можете да ги видите овие идеи секој ден. Теренот или теренот е рамнина, а траекторијата на топката често следи права линија. Кога фрлате топка, можете да ја замислите нејзината патека како линија. Набљудувањето на овие примери може да ви помогне да разберете како математиката е дел од многу работи во природата и технологијата.

Разбирање на насоките со вектори

Векторите се многу корисни бидејќи покажуваат насока и брзина. Кога одите во одредена насока, можете да ги замислите вашите чекори како следење на вектор. Во нашата лекција, векторите ни помагаат да ги опишеме и линиите и рамнините на јасен начин. Тие ни кажуваат од каде да почнеме, каде да одиме и како да се движиме.

На пример, ако автомобил се движи по прав пат, можеме да користиме вектор за да го претставиме неговото движење. Насоката на автомобилот е дадена од векторот, а должината на векторот може да покаже колку брзо или колку далеку се движи автомобилот. Оваа идеја е многу корисна за разбирање на движењето на едноставен начин.

Повеќе за линиската равенка

Линиската равенка \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) ни дава силна алатка за опишување на движењето по линија. Да ги погледнеме уште еднаш нејзините делови:

• \(\vec{a}\) : Почетната точка на линијата каде што го започнуваме нашето патување.
• \(\vec{d}\) : Насоката на линијата, како стрелка што покажува во кој правец да се оди.
• \(t\) : Променлив број кој ни кажува колку далеку да се движиме по линијата. Како што \(t\) се менува, се движиме подалеку или поблиску до почетната точка.

Замислете си дека цртате испрекината линија преку парче хартија. Можете да го означите почетокот на линијата, а потоа да користите мали стрелки за да означите како линијата продолжува. Додека ги следите стрелките чекор по чекор, создавате патека што точно покажува каде се наоѓате во секој момент.

Повеќе за рамнинската равенка

Равенката на рамнината \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) ни помага да ги разбереме рамните површини. Поедноставно кажано, таа ни кажува дека ако почнеме од точка на рамнината и се движиме кон која било друга точка на рамнината, тоа движење е нормално на нормалниот вектор \(\vec{n}\) .

• \(\vec{n}\) : Оваа стрелка е под прав агол во однос на рамнината. Ни кажува во која насока е „горе“ од рамнината.
• \(\vec{a}\) : Позната точка на рамнината што помага да се зацврсти равенката.
• \(\vec{r}\) : Секоја точка што лежи на рамнината.

Оваа форма на равенката на рамнината е многу корисна во вишата математика. Дури и ако деталите сега изгледаат нови, разбирањето на оваа идеја ќе ви помогне да видите како функционираат рамните површини во реалниот свет. Погледнете наоколу: секој ѕид, под и маса е практичен пример за рамнина.

Поврзување на линии и рамнини со секојдневниот живот

Замислете училишна училница. Подот е широка рамнина каде што седите и играте. Таблата е исто така рамнина, што се користи за пишување и цртање. Сега замислете ги гредите што го држат покривот - тие можат да се видат како линии што се движат во одредена насока. Кога архитектите дизајнираат училница, тие внимателно размислуваат да се осигурат дека рамнините се рамни, а линиите се прави, осигурувајќи се дека сè е безбедно и уредно.

Дури и кога цртате слика, може да започнете со едноставни форми како прави линии и рамни површини. Овие основни идеи се градежните блокови на посложени слики. Со разбирање на линиите и рамнините, учите да ја гледате структурата во секојдневните предмети како прозорци, врати, па дури и тротоарите надвор.

Векторите го прават сето ова појасно бидејќи ја покажуваат точната насока во која нешто е ориентирано. Без разлика дали си играте со градежни блокови или дизајнирате нова слика, познавањето на векторите, линиите и рамнините ви помага да разберете како деловите се поврзуваат едни со други.

Заклучок и резиме

Во оваа лекција, учевме за линии и рамнини во 3D користејќи јасни и едноставни идеи со вектори. Еве ги главните точки што ги опфативме:

• Линија: Еднодимензионален објект што се протега бесконечно во две спротивни насоки. Таа е како бесконечен пат или нацртана линија со молив.
• Рамнина: Рамна површина што трае бесконечно во две димензии, како парче хартија или под.
• Вектор: Стрела што покажува насока и должина. Ни помага да разбереме и опишеме движења и позиции.
• Линиска равенка: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) покажува како да се движите по линија почнувајќи од точката \(\vec{a}\) во насока на \(\vec{d}\) .
• Равенка на рамнина: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) ни кажува дека точката е на рамнина ако движењето од \(\vec{a}\) до таа точка е нормално на нормалниот вектор \(\vec{n}\) .
• Примени во реалниот свет: Архитекти, инженери, компјутерски графички уметници и многу други користат линии, рамнини и вектори за дизајнирање згради, креирање модели и навигација низ простори.

Запомнете дека линиите, рамнините и векторите не се само идеи во нашите книги - тие се алатки што ни помагаат да го разбереме и обликуваме светот околу нас. Побарајте ги во вашата училница, дома, па дури и кога играте надвор. Уживајте во откривањето како математиката е насекаде околу вас!