Back to the topics list

3d-д шугам ба хавтгай

3D дахь шугам ба онгоц: Вектор бүхий энгийн гарын авлага

Гурван хэмжээст (3D) шулуун ба хавтгайн тухай бидний хичээлд тавтай морил. Бидний өдөр тутмын амьдралд бид эргэн тойрондоо шулуун зам, тэгш гадаргууг хардаг. Мөрүүдийг зам, зам, бүр харандааны ирмэг гэж харж болно. Онгоц нь ширээ, самбар, цаасны гадаргуутай төстэй. Энэ хичээлээр бид шулуун ба хавтгай гэж юу болохыг олж мэдэх бөгөөд тэдгээрийг тайлбарлахад туслах векторуудын санааг ашиглах болно. Энэ хичээлийн хэл нь энгийн бөгөөд өдөр тутмын жишээгээр дүүрэн тул эдгээр санаанууд таны мэддэг ертөнцөд хэрхэн нийцэж байгааг харж болно.

Шугаман гэж юу вэ?

Шугам гэдэг нь төгсгөлгүй хоёр эсрэг чиглэлд үргэлжилдэг зам юм. Таны харж чадахаас хэтэрсэн урт замыг төсөөлөөд үз дээ. Энэ зам зогсохгүй; энэ нь хоёр чиглэлд үүрд үргэлжлэх болно. Математикийн хувьд бид шугамыг зөвхөн нэг хэмжээстэй урт гэж боддог. Энэ нь ямар ч зузаан, өргөнтэй байдаггүй.

Та цаасан дээр харандаа эсвэл шохойгоор зураас зурахад маш урт зураасны жижиг хэсгийг зурж байна. Хэдийгээр таны зурсан зурганд эхлэл, төгсгөлийн цэг байдаг ч шугамын жинхэнэ санаа нь хэзээ ч төгсдөггүй.

Онгоц гэж юу вэ?

Онгоц бол хоёр хэмжээст үүрд үргэлжилдэг тэгш гадаргуу юм. Маш том хавтгай самбар эсвэл төгс цаасны гадаргууг төсөөлөөд үз дээ. Жинхэнэ цаас ирмэгтэй ч гэсэн математикийн хувьд бид онгоцыг хил хязгааргүй гэж боддог. Энэ нь урт, өргөн нь хязгааргүй боловч ямар ч зузаантай байдаггүй.

Өдөр тутмын амьдрал дахь онгоцны жишээ бол шал, хана, ширээ юм. Шоо дөрвөлжин эсвэл хайрцагны зургийг харахад энэ нь тэгш гадаргуутай тул дүрсний тал бүр нь хавтгай юм. Онгоцны тухай санаа нь бидний эргэн тойрон дахь зам, талбайн гадаргуу гэх мэт олон зүйлийг ойлгоход тусалдаг.

Векторууд гэж юу вэ?

Вектор бол сумтай адил юм. Сум нь зааж буй чиглэл, урт гэсэн хоёр чухал мэдээллийг харуулдаг. Математикийн хувьд векторууд нь хөдөлгөөн, байрлалыг тодорхойлоход тусалдаг. Тэд бидэнд чиглэлийн талаар маш тодорхой ярих боломжийг олгодог тул ашигтай байдаг.

Жишээлбэл, та хаалга руу зааж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Таны хуруу вектор шиг ажилладаг. Энэ нь таны аль замаар явахыг хүсч байгаагаа, хэр хол явах ёстойг харуулдаг. Векторууд нь бидэнд нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх чиглэлийг харуулдаг учраас шулуун ба хавтгай зурахад тустай.

Шугамыг дүрслэхдээ вектор ашиглах

Бид энгийн тэгшитгэл бүхий векторуудыг ашиглан шугамыг дүрсэлж болно. Тэгшитгэл нь нэг цэгээс эхэлж, тодорхой чиглэлд хэрхэн шилжихийг хэлж өгдөг. 3D шугамын стандарт тэгшитгэл нь:

Шугамын тэгшитгэл: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

Энэ тэгшитгэлд:

• \(\vec{a}\) : шугам дээрх мэдэгдэж буй цэг. Үүнийг эхлэх цэг гэж бодоорой.
• \(\vec{d}\) : чиглэлийн вектор. Энэ нь шугам ямар замаар явж байгааг харуулдаг.
• \(t\) : нь өөрчлөгддөг тоо юм. Шугамын дагуу хөдөлнө гэдэг нь \(t\) утгыг өөрчилнө гэсэн үг.

Энэ тэгшитгэл нь хэрэв та \(\vec{a}\) цэгээс эхэлж \(\vec{d}\) чиглэлийг \(t\) ) өөрчлөх замаар бага зэрэг (эсвэл их хэмжээгээр) нэмбэл шугамын дагуу хөдөлнө гэсэн үг юм. Та \(t\) алхам бүр нэг чиглэлд байгаа алхамуудын тоо гэж бодож болно.

Жишээ 1: Шугаман дээрх цэгийг олох

Шугамын тэгшитгэл хэрхэн ажилладагийг жишээгээр харцгаая. Тэгшитгэлийг авч үзье:

Тэгшитгэл: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)

Энэ нь эхлэх цэг нь \((1, 2, 3)\) ба чиглэлийн вектор нь \((2, 0, 1)\) гэсэн үг юм. Шугаман дээрх цэгийг олохын тулд бид \(t\) утгыг сонгоод тэгшитгэлд орлуулна.

Алхам алхмаар шийдэл:

1. \(t\) утгыг сонгоно уу. \(t = 2\) байг.
2. Чиглэлийн векторыг 2-оор үржүүлнэ:
   \(2 \times (2, 0, 1) = (4, 0, 2)\)
3. Энэ үр дүнг эхлэх цэг дээр нэмнэ үү:
   \((1, 2, 3) + (4, 0, 2) = (5, 2, 5)\)
4. \((5, 2, 5)\) цэг нь \(t = 2\) үед шулуун дээр байна.

Энэ жишээ нь \(t\) -ийн утгыг өөрчилснөөр та шугамын дагуу хэрхэн хөдөлж, түүн дээрх дурын цэгийг олох боломжтойг харуулж байна.

Онгоцыг дүрслэхдээ вектор ашиглах

Бид мөн векторуудыг ашиглан онгоцыг дүрсэлж болно. Хавтгайн тэгшитгэлийг бичих нийтлэг аргуудын нэг нь хавтгай дээрх цэг болон түүнд перпендикуляр (зөв өнцгөөр) байрлах векторыг ашигладаг. Онгоцыг дараах байдлаар тайлбарлав.

Хавтгай тэгшитгэл: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)

Энэ тэгшитгэлд:

• \(\vec{n}\) : хэвийн вектор. Энэ нь онгоцноос шууд харагдана.
• \(\vec{a}\) : хавтгай дээрх цэг.
• \(\vec{r}\) хавтгай дээрх дурын цэгийг илэрхийлнэ.

\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) цэгийн үржвэр нь тэг байх нь \(\vec{a}\) цэгээс хавтгай дээрх \(\vec{r}\) дурын цэг хүртэлх вектор нь \(\vec{n}\) -д перпендикуляр байна гэсэн үг. Энэ бол ямар нэг цэг яг хавтгай дээр байгааг илтгэх гол санаа юм.

Жишээ 2: Хавтгай дээр цэг хэвтэж байгаа эсэхийг шалгах

Энэ тэгшитгэлээр өгөгдсөн хавтгай дээр \((3, 1, 2)\) цэг байгаа эсэхийг шалгахыг хүсч байна гэж бодъё:

Хавтгай тэгшитгэл: \(2x + y - z = 3\)

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлд \(x = 3\) , \(y = 1\) болон \(z = 2\) орлуулж, ажиллаж байгаа эсэхийг харж болно.

Алхам алхмаар шийдэл:

1. Тэгшитгэлд утгуудыг орлуулна уу:
   \(2(3) + 1 - 2\)
2. Үржүүлэхийг тооцоолох:
   \(6 + 1 - 2\)
3. Тоонуудыг нэмэх, хасах:
   \(6 + 1 = 7\) дараа нь \(7 - 2 = 5\)
4. \(5\) \(3\) тэнцүү биш тул \((3, 1, 2)\) цэг хавтгай дээр хэвтэхгүй.

Энэ жишээ нь тэгшитгэлд цэгийг орлуулах нь тухайн цэг хавтгай дээр байгаа эсэхийг хэрхэн хэлж болохыг харуулж байна.

Жишээ 3: Гурван цэгээс хавтгайн тэгшитгэлийг олох

Заримдаа бид хавтгай дээр байрладаг гурван цэгийг мэддэг бөгөөд бид онгоцны тэгшитгэлийг олохыг хүсдэг. Дараах гурван цэгийг ашиглацгаая.

• \(A = (1, 0, 0)\)
• \(B = (0, 1, 0)\)
• \(C = (0, 0, 1)\)

Онгоцны тэгшитгэлийг олохын тулд дараах алхмуудыг дагана уу.

1. Хавтгай дээрх хоёр векторыг ол.
   • \(\vec{AB}\) \(\vec{A}\) -аас \(\vec{B}\) хасаж тооцоол:
     \(\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)\)
   • \(\vec{AC}\) \(\vec{A}\) -аас \(\vec{C}\) хасаж тооцоол:
     \(\vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\)
2. \(\vec{n}\) \(\vec{AB}\) ба \(\vec{AC}\) -ийн хөндлөн үржвэрийг авч хэвийн векторыг олоорой:
   • \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\) хөндлөн үржвэр нь:
     \(\vec{n} = (1, 1, 1)\)
3. Хавтгай тэгшитгэлийг бичихийн тулд ердийн вектор ба цэгүүдийн аль нэгийг (жишээлбэл, А цэг) ашиглана уу.
   • Тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ үү.
     \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
   • Тэгшитгэлийг хялбарчлах:
     \(x - 1 + y + z = 0\) бөгөөд үүнийг дараах байдлаар өөрчилж болно:
     \(x + y + z = 1\)

Энэ нь \(A\) , \(B\) болон \(C\) цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл юм. Хавтгайг тодорхойлоход тусалсан хэвийн векторыг олохын тулд бид векторуудыг хэрхэн ашигласан болохыг анхаарна уу.

Бодит ертөнцийн хэрэглээний програмууд

Шугаман ба хавтгай бол зүгээр нэг номон дээрх санаа биш; тэдгээрийг бидний өдөр тутмын амьдралын олон хэсэгт ашигладаг. Архитектор, инженерүүд барилга, гүүрний зураг төслийг боловсруулахдаа тэдгээрийг ашигладаг. Жишээлбэл, байшингийн шал нь хавтгай бөгөөд дээврийн дам нуруу эсвэл ирмэгийг шугам хэлбэрээр харж болно. Тоглоомын талбайг барихдаа дизайнерууд аюулгүй, нээлттэй талбайг бий болгохын тулд тэгш гадаргуу (онгоц) санааг ашигладаг бөгөөд гулсуур, замын чиглэлийг төлөвлөхдөө шугам ашигладаг.

Компьютерийн графикт шугам, онгоц нь видео тоглоом, киноны нарийвчилсан 3D загварыг бий болгоход тусалдаг. Векторууд нь компьютерт чиглэл, байрлалыг ойлгоход хялбар болгодог. Навигацийн үед ч газрын зураг нь зам, маршрутыг харуулах шугамыг ашигладаг бөгөөд хавтгай гадаргуу нь нислэгийн зөв зам, барилгын төлөвлөгөөг гаргахад тусалдаг.

Спортын хувьд та эдгээр санаануудыг өдөр бүр харж болно. Талбай эсвэл талбай нь онгоц бөгөөд бөмбөгний зам нь ихэвчлэн шулуун шугамыг дагадаг. Бөмбөгийг шидэхдээ түүний замыг шугам хэлбэрээр төсөөлж болно. Эдгээр жишээг ажигласнаар математик нь байгаль, технологийн олон зүйлийн нэг хэсэг болохыг ойлгоход тусална.

Векторуудын тусламжтайгаар чиглэлийг ойлгох

Векторууд нь чиглэл, хурдыг харуулдаг тул маш их тустай байдаг. Та тодорхой чиглэлд алхахдаа алхмуудаа векторыг дагаж байгаа гэж бодож болно. Бидний хичээл дээр векторууд нь шулуун ба хавтгайг хоёуланг нь тодорхой тайлбарлахад тусалдаг. Тэд бидэнд хаанаас эхлэх, хаашаа явах, хэрхэн шилжихийг хэлдэг.

Жишээлбэл, хэрэв машин шулуун замаар явж байвал бид түүний хөдөлгөөнийг вектороор илэрхийлж болно. Машины чиглэлийг вектороор өгөх бөгөөд векторын урт нь машин хэр хурдан эсвэл хэр хол хөдөлж байгааг харуулж чадна. Энэ санаа нь хөдөлгөөнийг энгийн байдлаар ойлгоход маш хэрэгтэй.

Шугамын тэгшитгэлийн талаар дэлгэрэнгүй

Шугамын тэгшитгэл \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) шугамын дагуух хөдөлгөөнийг дүрслэх хүчирхэг хэрэгсэл өгдөг. Түүний хэсгүүдийг дахин харцгаая:

• \(\vec{a}\) : Бидний аялал эхлэх шугамын эхлэл цэг.
• \(\vec{d}\) : Аль замаар явахыг зааж буй сум шиг шугамын чиглэл.
• \(t\) : Шугамын дагуу хэр хол явахыг хэлж өгдөг тоо. \(t\) өөрчлөгдөхөд бид эхлэлийн цэг рүү ойртох юм уу холдоно.

Цаасан дээр тасархай шугам зурж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Та шугамын эхлэлийг тэмдэглээд дараа нь шугам хэрхэн үргэлжлэхийг харуулахын тулд жижиг сумуудыг ашиглаж болно. Та сумыг алхам алхмаар дагаж мөрдвөл ямар ч үед хаана байгааг харуулах замыг бий болгоно.

Хавтгай тэгшитгэлийн талаар дэлгэрэнгүй

Хавтгай тэгшитгэл \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) хавтгай гадаргууг ойлгоход тусалдаг. Илүү энгийн үгээр хэлбэл, хэрэв бид хавтгай дээрх цэгээс эхэлж, өөр аль ч цэг рүү шилжих юм бол энэ хөдөлгөөн нь хэвийн вектор \(\vec{n}\) перпендикуляр болно гэдгийг хэлдэг.

• \(\vec{n}\) : Энэ сум нь хавтгайтай тэгш өнцөгт байна. Энэ нь онгоцноос аль тал руу "дээш" байгааг хэлж өгдөг.
• \(\vec{a}\) : Тэгшитгэлийг холбоход тусалдаг хавтгай дээрх мэдэгдэж буй цэг.
• \(\vec{r}\) : Хавтгай дээр байрлах дурын цэг.

Хавтгай тэгшитгэлийн энэ хэлбэр нь дээд математикт маш их хэрэгтэй байдаг. Хэдийгээр нарийн ширийн зүйл нь одоо шинэ мэт санагдаж байсан ч энэ санааг ойлгох нь хавтгай гадаргуу бодит ертөнцөд хэрхэн ажилладагийг харахад тусална. Эргэн тойрноо хар: хана, шал, ширээ бүр нь онгоцны практик жишээ юм.

Шугаман ба онгоцыг өдөр тутмын амьдралтай холбох

Сургуулийн анги танхимыг авч үзье. Шал бол сууж тоглох өргөн хавтгай юм. Самбар бол бичих, зурахад ашигладаг онгоц юм. Одоо дээврийг барьж буй дам нурууг төсөөлөөд үз дээ - эдгээрийг тодорхой чиглэлд гүйж буй шугамууд гэж харж болно. Архитекторууд анги зохион бүтээхдээ бүх зүйл аюулгүй, эмх цэгцтэй байхын тулд онгоцууд тэгш, шугамууд нь шулуун байх талаар сайтар бодож үздэг.

Та зураг зурж байхдаа ч шулуун шугам, хавтгай талбай гэх мэт энгийн дүрсүүдээс эхэлж болно. Эдгээр үндсэн санаанууд нь илүү төвөгтэй зургуудын барилгын материал юм. Шугаман ба хавтгайг ойлгосноор та цонх, хаалга, тэр байтугай гаднах явган хүний ​​зам гэх мэт өдөр тутмын эд зүйлсийн бүтцийг харж сурдаг.

Векторууд нь ямар нэгэн зүйлд чиглэсэн чиглэлийг яг тодорхой харуулдаг тул энэ бүгдийг илүү тодорхой болгодог. Та барилгын блокоор тоглож байгаа эсвэл шинэ зураг зохиож байгаа эсэхээс үл хамааран вектор, шугам, хавтгайн талаар мэдэх нь эд ангиуд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг ойлгоход тусална.

Дүгнэлт ба хураангуй

Энэ хичээлээр бид вектортой ойлгомжтой бөгөөд энгийн санаануудыг ашиглан 3D хэлбэрээр шулуун ба хавтгайн талаар сурсан. Бидний авч үзсэн гол санаанууд энд байна:

• Шугам: Хоёр эсрэг чиглэлд үүрд үргэлжлэх нэг хэмжээст объект. Энэ бол эцэс төгсгөлгүй зам эсвэл зурсан харандаа шиг юм.
• Онгоц: Цаас, шал гэх мэт хоёр хэмжээст үүрд үргэлжлэх тэгш гадаргуу.
• Вектор: Чиглэл, уртыг харуулсан сум. Энэ нь бидэнд хөдөлгөөн, байрлалыг ойлгож, дүрслэхэд тусалдаг.
• Шугамын тэгшитгэл: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) нь \(\vec{a}\) цэгээс \(\vec{d}\) чиглэлийн шугамын дагуу хэрхэн шилжихийг харуулж байна.
• Хавтгай тэгшитгэл: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) нь \(\vec{a}\) цэгээс тухайн цэг хүртэлх хөдөлгөөн нь \(\vec{n}\) хэвийн вектортой перпендикуляр байвал тухайн цэг хавтгай дээр байна гэдгийг хэлнэ.
• Бодит ертөнцийн хэрэглээ: Архитекторууд, инженерүүд, компьютерийн график зураачид болон бусад олон хүмүүс барилга байгууламжийг зохион бүтээх, загвар үүсгэх, орон зайг удирдахдаа шугам, онгоц, векторыг ашигладаг.

Шугаман, хавтгай, векторууд нь зөвхөн бидний номонд гардаг санаа биш бөгөөд бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг ойлгох, хэлбэржүүлэхэд тусалдаг хэрэгсэл гэдгийг санаарай. Тэднийг ангидаа, гэртээ, тэр ч байтугай гадаа тоглож байхдаа хай. Таны эргэн тойронд математик хэрхэн байгааг олж мэдээрэй!