तीन आयाम (3D) मा रेखा र समतलहरू सम्बन्धी हाम्रो पाठमा स्वागत छ। हाम्रो दैनिक संसारमा, हामी हाम्रो वरिपरि सिधा बाटोहरू र समतल सतहहरू देख्छौं। रेखाहरू सडक, बाटो, वा पेन्सिलको किनाराको रूपमा पनि देख्न सकिन्छ। समतलहरू टेबल, बोर्ड, वा कागजको पानाको सतह जस्तै हुन्छन्। यस पाठमा, हामी रेखाहरू र समतलहरू के हुन् भनेर सिक्नेछौं, र हामी तिनीहरूलाई व्याख्या गर्न मद्दत गर्न भेक्टरहरूको विचार प्रयोग गर्नेछौं। यस पाठमा भाषा सरल र दैनिक उदाहरणहरूले भरिएको छ, त्यसैले तपाईंले यी विचारहरू तपाईंले थाहा पाउनुभएको संसारमा कसरी फिट हुन्छन् भनेर देख्न सक्नुहुन्छ।
रेखा भनेको दुई विपरीत दिशामा फैलिएको बाटो हो जसको अन्त्य हुँदैन। एउटा लामो बाटोको कल्पना गर्नुहोस् जुन तपाईंले देख्न सक्ने भन्दा बाहिर जान्छ। यो बाटो रोकिँदैन; यो दुवै दिशामा सधैंभरि चलिरहन्छ। गणितमा, हामी रेखालाई केवल एउटा आयाम भएको रूपमा सोच्छौं - लम्बाइ। यसको कुनै मोटाई वा चौडाइ हुँदैन।
जब तपाईं पेन्सिल वा चकले कागजको टुक्रामा रेखा कोर्नुहुन्छ, तपाईं धेरै लामो रेखाको सानो भाग कोर्दै हुनुहुन्छ। तपाईंको रेखाचित्रमा सुरुवात बिन्दु र अन्त्य बिन्दु भए पनि, रेखाको वास्तविक विचार यो हो कि यो कहिल्यै समाप्त हुँदैन।
समतल भनेको एउटा समतल सतह हो जुन सधैंभरि दुई आयामहरूमा फैलिन्छ। धेरै ठूलो, समतल बोर्ड वा पूर्ण कागजको टुक्राको सतह कल्पना गर्नुहोस्। वास्तविक कागजको टुक्रामा किनारा भए पनि, गणितमा हामी समतललाई कुनै सीमा नभएको जस्तो सोच्छौं। यो लम्बाइ र चौडाइमा असीम छ तर यसको कुनै मोटाई छैन।
दैनिक जीवनमा समतलका उदाहरणहरू भुइँ, भित्ता र टेबल हुन्। जब तपाईं घन वा बक्सको रेखाचित्र हेर्नुहुन्छ, आकारको प्रत्येक पक्ष समतल हुन्छ किनभने यो समतल सतह हो। समतलको विचारले हामीलाई हाम्रो वरपरका धेरै कुराहरू बुझ्न मद्दत गर्छ, जस्तै सडक वा मैदानको सतह।
भेक्टर एउटा तीर जस्तै हो। तीरले दुई महत्त्वपूर्ण जानकारीहरू देखाउँछ: यसले कुन दिशामा औंल्याउँछ र यसको लम्बाइ। गणितमा, भेक्टरहरूले हामीलाई चाल र स्थिति वर्णन गर्न मद्दत गर्छन्। तिनीहरू उपयोगी छन् किनभने तिनीहरूले हामीलाई दिशाहरूको बारेमा धेरै स्पष्ट रूपमा कुरा गर्ने तरिका दिन्छन्।
उदाहरणका लागि, कल्पना गर्नुहोस् कि तपाईं ढोकातिर औंल्याइरहनुभएको छ। तपाईंको औंलाले भेक्टर जस्तै काम गर्छ। यसले तपाईं कुन बाटो जान चाहनुहुन्छ र कति टाढा जानुपर्ने हुन सक्छ भनेर देखाउँछ। भेक्टरहरू रेखाहरू र समतलहरू कोर्नमा उपयोगी हुन्छन् किनभने तिनीहरूले हामीलाई एक बिन्दुबाट अर्को बिन्दुमा दिशा देखाउँछन्।
हामी साधारण समीकरणको साथ भेक्टरहरू प्रयोग गरेर रेखा वर्णन गर्न सक्छौं। समीकरणले हामीलाई एक बिन्दुबाट कसरी सुरु गर्ने र एक विशिष्ट दिशामा कसरी सर्ने भनेर बताउँछ। 3D मा रेखाको लागि मानक समीकरण यो हो:
रेखा समीकरण: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)
यस समीकरणमा:
यो समीकरणको अर्थ हो कि यदि तपाईंले बिन्दु \(\vec{a}\) बाट सुरु गर्नुभयो र \(t\) परिवर्तन गरेर दिशा \(\vec{d}\) को थोरै (वा धेरै) थप्नुभयो भने, तपाईं रेखासँगै सर्नुहुन्छ। तपाईंले \(t\) लाई तपाईंले चाल्ने कदमहरूको संख्याको रूपमा सोच्न सक्नुहुन्छ, जहाँ प्रत्येक कदम एउटै दिशामा हुन्छ।
रेखा समीकरण कसरी काम गर्छ भनेर हेर्नको लागि एउटा उदाहरण प्रयोग गरौं। समीकरणलाई विचार गर्नुहोस्:
समीकरण: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)
यसको अर्थ सुरुवात बिन्दु \((1, 2, 3)\) हो र दिशा भेक्टर \((2, 0, 1)\) हो। रेखामा बिन्दु फेला पार्न, हामी \(t\) को लागि मान छान्छौं र यसलाई समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्छौं।
चरणबद्ध समाधान:
यो उदाहरणले \(t\) को मान परिवर्तन गरेर, तपाईं रेखासँगै कसरी सर्नुहुन्छ र यसमा कुनै पनि बिन्दु फेला पार्न सक्नुहुन्छ भनेर देखाउँछ।
हामी भेक्टरहरू प्रयोग गरेर पनि समतलको वर्णन गर्न सक्छौं। समतलको समीकरण लेख्ने एउटा सामान्य तरिका समतलमा रहेको बिन्दु र त्यसमा लम्ब (समकोणमा) रहेको सदिश प्रयोग गर्दछ। समतललाई निम्नद्वारा वर्णन गरिएको छ:
समतल समीकरण: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)
यस समीकरणमा:
डट गुणनफल \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) शून्य हुनुको अर्थ समतलमा रहेको बिन्दु \(\vec{a}\) देखि कुनै पनि बिन्दु \(\vec{r}\) सम्मको भेक्टर \(\vec{n}\) मा लम्ब छ भन्ने हो। यो मुख्य विचार हो जसले हामीलाई बताउँछ कि बिन्दु समतलमा ठ्याक्कै अवस्थित छ।
मानौं हामी यो समीकरणले दिएको समतलमा बिन्दु \((3, 1, 2)\) छ कि छैन भनेर जाँच गर्न चाहन्छौं:
समतल समीकरण: \(2x + y - z = 3\)
यो गर्नको लागि, हामी समीकरणमा \(x = 3\) , \(y = 1\) , र \(z = 2\) प्रतिस्थापन गर्न सक्छौं र यो काम गर्छ कि गर्दैन भनेर हेर्न सक्छौं।
चरणबद्ध समाधान:
यो उदाहरणले समीकरणमा बिन्दुलाई प्रतिस्थापन गर्दा बिन्दु समतलमा छ वा छैन भनेर कसरी थाहा पाउन सकिन्छ भनेर देखाउँछ।
कहिलेकाहीँ, हामीलाई समतलमा रहेका तीनवटा बिन्दुहरू थाहा हुन्छ र हामी समतलको समीकरण पत्ता लगाउन चाहन्छौं। तलका तीनवटा बिन्दुहरू प्रयोग गरौं:
समतलको समीकरण पत्ता लगाउन, यी चरणहरू पालना गर्नुहोस्:
यो \(A\) , \(B\) , र \(C\) बिन्दुहरूबाट गुज्रने समतलको समीकरण हो। समतल निर्धारण गर्न मद्दत गर्ने सामान्य भेक्टर फेला पार्न हामीले भेक्टरहरू कसरी प्रयोग गर्यौं याद गर्नुहोस्।
रेखा र विमानहरू केवल पुस्तकमा भएका विचारहरू मात्र होइनन्; तिनीहरू हाम्रो दैनिक जीवनका धेरै भागहरूमा प्रयोग गरिन्छन्। वास्तुकार र इन्जिनियरहरूले भवनहरू र पुलहरू डिजाइन गर्दा तिनीहरूलाई प्रयोग गर्छन्। उदाहरणका लागि, घरको भुइँ एक विमान हो, र छानाको बीम वा किनाराहरू रेखाहरूको रूपमा देख्न सकिन्छ। खेल मैदान निर्माण गर्दा, डिजाइनरहरूले सुरक्षित र खुला क्षेत्रहरू सिर्जना गर्न समतल सतहहरू (प्लेनहरू) को विचार प्रयोग गर्छन्, र तिनीहरूले स्लाइड र मार्गहरूको दिशा योजना गर्न रेखाहरू प्रयोग गर्छन्।
कम्प्युटर ग्राफिक्समा, रेखाहरू र विमानहरूले भिडियो गेमहरू र चलचित्रहरूको लागि विस्तृत 3D मोडेलहरू सिर्जना गर्न मद्दत गर्छन्। भेक्टरहरूले कम्प्युटरहरूलाई दिशा र स्थितिहरू बुझ्न सजिलो बनाउँछन्। नेभिगेसनमा पनि, नक्साले सडक र मार्गहरू देखाउन रेखाहरू प्रयोग गर्दछ, र समतल सतहहरूले सही उडान मार्गहरू र निर्माण योजनाहरू डिजाइन गर्न मद्दत गर्दछ।
खेलकुदमा, तपाईंले यी विचारहरू हरेक दिन देख्न सक्नुहुन्छ। मैदान वा कोर्ट एउटा समतल हो, र बलको प्रक्षेपण प्रायः सीधा रेखा पछ्याउँछ। जब तपाईं बल फ्याँक्नुहुन्छ, तपाईं यसको बाटोलाई रेखाको रूपमा कल्पना गर्न सक्नुहुन्छ। यी उदाहरणहरू अवलोकन गर्नाले तपाईंलाई प्रकृति र प्रविधिमा धेरै चीजहरूको गणित कसरी एक भाग हो भनेर बुझ्न मद्दत गर्न सक्छ।
भेक्टरहरू धेरै उपयोगी हुन्छन् किनभने तिनीहरूले दिशा र गति देखाउँछन्। जब तपाईं कुनै विशेष दिशामा हिंड्नुहुन्छ, तपाईंले आफ्नो पाइलाहरूलाई भेक्टरलाई पछ्याउने रूपमा सोच्न सक्नुहुन्छ। हाम्रो पाठमा, भेक्टरहरूले हामीलाई रेखाहरू र समतलहरू दुवैलाई स्पष्ट तरिकाले वर्णन गर्न मद्दत गर्छन्। तिनीहरूले हामीलाई कहाँबाट सुरु गर्ने, कहाँ जाने र कसरी सर्ने भनेर बताउँछन्।
उदाहरणका लागि, यदि कुनै कार सिधा बाटोमा चल्छ भने, हामी यसको चाललाई प्रतिनिधित्व गर्न भेक्टर प्रयोग गर्न सक्छौं। कारको दिशा भेक्टरद्वारा दिइएको हुन्छ, र भेक्टरको लम्बाइले कार कति छिटो वा कति टाढा सर्छ भनेर देखाउन सक्छ। यो विचार सरल तरिकाले गति बुझ्नको लागि धेरै उपयोगी छ।
रेखा समीकरण \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) हामीलाई रेखासँगैको चाल वर्णन गर्न एक बलियो उपकरण दिन्छ। आउनुहोस् हामी यसको भागहरूलाई फेरि एक पटक हेरौं:
कल्पना गर्नुहोस् कि कागजको टुक्रामा थोप्ला भएको रेखा कोर्नुहोस्। तपाईं रेखाको सुरुवात चिन्ह लगाउन सक्नुहुन्छ र त्यसपछि रेखा कसरी जारी रहन्छ भनेर संकेत गर्न साना तीरहरू प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ। तपाईंले तीरहरूलाई चरणबद्ध रूपमा पछ्याउँदै जाँदा, तपाईंले कुनै पनि क्षणमा तपाईं कहाँ हुनुहुन्छ भनेर देखाउने बाटो सिर्जना गर्नुहुन्छ।
समतल समीकरण \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) हामीलाई समतल सतहहरू बुझ्न मद्दत गर्छ। सरल शब्दमा भन्नुपर्दा, यसले हामीलाई बताउँछ कि यदि हामी समतलको कुनै बिन्दुबाट सुरु गर्छौं र समतलको कुनै अन्य बिन्दुमा जान्छौं भने, त्यो चाल सामान्य भेक्टर \(\vec{n}\) मा लम्ब हुन्छ।
समतल समीकरणको यो रूप उच्च गणितमा धेरै उपयोगी छ। विवरणहरू अहिले नयाँ लागे पनि, यो विचार बुझ्नाले तपाईंलाई वास्तविक संसारमा समतल सतहहरू कसरी काम गर्छन् भनेर हेर्न मद्दत गर्नेछ। वरिपरि हेर्नुहोस्: प्रत्येक भित्ता, भुइँ र टेबल समतलको व्यावहारिक उदाहरण हो।
एउटा स्कूलको कक्षाकोठालाई विचार गर्नुहोस्। भुइँ एउटा चौडा समतल हो जहाँ तपाईं बसेर खेल्नुहुन्छ। ब्ल्याकबोर्ड पनि एउटा समतल हो, जुन लेख्न र चित्र बनाउन प्रयोग गरिन्छ। अब छानालाई समात्ने बीमहरूको कल्पना गर्नुहोस् - यी एक विशेष दिशामा दौडिरहेका रेखाहरूको रूपमा देख्न सकिन्छ। जब वास्तुकारहरूले कक्षाकोठा डिजाइन गर्छन्, तिनीहरूले सबै कुरा सुरक्षित र सफा छ भनी सुनिश्चित गर्दै, समतलहरू समतल छन् र रेखाहरू सीधा छन् भनी सुनिश्चित गर्ने बारे सावधानीपूर्वक सोच्छन्।
जब तपाईं चित्र कोर्दै हुनुहुन्छ, तपाईं सिधा रेखाहरू र समतल क्षेत्रहरू जस्ता साधारण आकारहरूबाट सुरु गर्न सक्नुहुन्छ। यी आधारभूत विचारहरू अझ जटिल चित्रहरूको निर्माण ब्लक हुन्। रेखाहरू र समतलहरू बुझेर, तपाईंले झ्यालहरू, ढोकाहरू, र बाहिरको फुटपाथ जस्ता दैनिक वस्तुहरूमा संरचना हेर्न सिक्नुहुन्छ।
भेक्टरहरूले यो सबै कुरा स्पष्ट पार्छन् किनभने तिनीहरूले कुनै चीज कुन दिशामा उन्मुख छ भनेर सही दिशा देखाउँछन्। तपाईं भवन ब्लकहरूसँग खेल्दै हुनुहुन्छ वा नयाँ तस्वीर डिजाइन गर्दै हुनुहुन्छ, भेक्टर, रेखा र प्लेनहरू बारे जान्दा तपाईंलाई भागहरू कसरी एकअर्कासँग जोडिन्छन् भनेर बुझ्न मद्दत गर्दछ।
यस पाठमा, हामीले भेक्टरहरूको साथ स्पष्ट र सरल विचारहरू प्रयोग गरेर 3D मा रेखाहरू र समतलहरूको बारेमा सिक्यौं। हामीले समेटेका मुख्य बुँदाहरू यहाँ छन्:
याद राख्नुहोस् कि रेखा, समतल र भेक्टरहरू हाम्रा किताबहरूमा भएका विचारहरू मात्र होइनन् - तिनीहरू हाम्रो वरपरको संसारलाई बुझ्न र आकार दिन मद्दत गर्ने उपकरणहरू हुन्। आफ्नो कक्षाकोठामा, घरमा, र बाहिर खेलिरहेको बेला पनि तिनीहरूलाई खोज्नुहोस्। तपाईंको वरिपरि गणित कसरी छ भनेर पत्ता लगाउन आनन्द लिनुहोस्!
