ยินดีต้อนรับสู่บทเรียนเรื่องเส้นตรงและระนาบในสามมิติ (3D) ในชีวิตประจำวันของเรา เรามองเห็นเส้นทางตรงและพื้นผิวเรียบรอบตัวเรา เส้นอาจมองได้ว่าเป็นถนน ทางเดิน หรือแม้แต่ขอบดินสอ ระนาบก็คล้ายกับพื้นผิวของโต๊ะ กระดาน หรือแผ่นกระดาษ ในบทเรียนนี้ เราจะเรียนรู้ว่าเส้นตรงและระนาบคืออะไร และเราจะใช้แนวคิดของเวกเตอร์เพื่อช่วยอธิบายสิ่งเหล่านี้ ภาษาในบทเรียนนี้เรียบง่ายและเต็มไปด้วยตัวอย่างในชีวิตประจำวัน ดังนั้น คุณจึงเห็นว่าแนวคิดเหล่านี้เข้ากับโลกที่คุณรู้จักได้อย่างไร
เส้นตรงคือเส้นทางที่ทอดยาวไปในสองทิศทางตรงข้ามกันโดยไม่มีจุดสิ้นสุด ลองนึกภาพถนนยาวที่ทอดยาวออกไปไกลเกินกว่าที่คุณจะเห็น ถนนนี้ไม่หยุดนิ่ง แต่ทอดยาวไปตลอดกาลในทั้งสองทิศทาง ในทางคณิตศาสตร์ เราคิดว่าเส้นตรงมีมิติเดียว คือ ความยาว ไม่มีความหนาหรือความกว้าง
เมื่อคุณวาดเส้นบนกระดาษด้วยดินสอหรือชอล์ก คุณกำลังวาดส่วนเล็กๆ ของเส้นยาวๆ แม้ว่าภาพวาดของคุณจะมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด แต่แนวคิดที่แท้จริงของเส้นคือเส้นไม่มีวันสิ้นสุด
ระนาบคือพื้นผิวเรียบที่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในสองมิติ ลองจินตนาการถึงพื้นผิวของกระดานแบนขนาดใหญ่หรือกระดาษแผ่นเดียวที่สมบูรณ์แบบ แม้ว่ากระดาษจริงจะมีขอบ แต่ในทางคณิตศาสตร์ เราคิดว่าระนาบไม่มีขอบเขต ระนาบมีความยาวและความกว้างไม่จำกัดแต่ไม่มีความหนา
ตัวอย่างของระนาบในชีวิตประจำวัน ได้แก่ พื้น ผนัง และโต๊ะ เมื่อคุณดูภาพวาดลูกบาศก์หรือกล่อง แต่ละด้านของรูปทรงนั้นคือระนาบเนื่องจากเป็นพื้นผิวเรียบ แนวคิดเรื่องระนาบช่วยให้เราเข้าใจสิ่งต่างๆ มากมายรอบตัวเรา เช่น พื้นผิวของถนนหรือทุ่งนา
เวกเตอร์นั้นเปรียบเสมือนลูกศร ลูกศรจะแสดงข้อมูลสำคัญสองส่วน ได้แก่ ทิศทางที่ลูกศรชี้และความยาว ในทางคณิตศาสตร์ เวกเตอร์ช่วยให้เราอธิบายการเคลื่อนที่และตำแหน่งได้ เวกเตอร์มีประโยชน์เพราะช่วยให้เราสามารถพูดถึงทิศทางได้อย่างชัดเจน
ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าคุณกำลังชี้ไปที่ประตู นิ้วของคุณทำหน้าที่เหมือนเวกเตอร์ ซึ่งแสดงทิศทางที่คุณต้องการไปและระยะทางที่คุณอาจต้องเคลื่อนที่ เวกเตอร์มีประโยชน์ในการวาดเส้นและระนาบ เพราะแสดงทิศทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง
เราสามารถอธิบายเส้นตรงโดยใช้เวกเตอร์ด้วยสมการง่ายๆ สมการนี้จะบอกเราว่าต้องเริ่มต้นที่จุดหนึ่งและเคลื่อนที่ไปในทิศทางใด สมการมาตรฐานสำหรับเส้นตรงในสามมิติคือ:
สมการเส้นตรง: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)
ในสมการนี้:
สมการนี้หมายความว่าหากคุณเริ่มต้นที่จุด \(\vec{a}\) และเพิ่มทิศทาง \(\vec{d}\) เล็กน้อย (หรือมาก) โดยเปลี่ยน \(t\) คุณจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นนั้น คุณสามารถคิดถึง \(t\) เป็นจำนวนก้าวที่คุณก้าวไป โดยที่แต่ละก้าวจะอยู่ในทิศทางเดียวกัน
ลองใช้ตัวอย่างเพื่อดูว่าสมการเส้นตรงทำงานอย่างไร พิจารณาสมการ:
สมการ: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)
ซึ่งหมายความว่าจุดเริ่มต้นคือ \((1, 2, 3)\) และเวกเตอร์ทิศทางคือ \((2, 0, 1)\) เพื่อหาจุดบนเส้นตรง เราเลือกค่าสำหรับ \(t\) และแทนค่าดังกล่าวลงในสมการ
วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน:
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าเมื่อเปลี่ยนค่าของ \(t\) คุณสามารถเลื่อนไปตามเส้นและค้นหาจุดใดก็ได้บนเส้นนั้นได้
เราสามารถอธิบายระนาบได้โดยใช้เวกเตอร์ วิธีทั่วไปวิธีหนึ่งในการเขียนสมการของระนาบคือการใช้จุดบนระนาบและเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ ระนาบจะอธิบายได้ดังนี้
สมการระนาบ: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)
ในสมการนี้:
ผลคูณจุด \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) ที่เป็นศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์จากจุด \(\vec{a}\) ไปยังจุดใดๆ \(\vec{r}\) บนระนาบจะตั้งฉากกับ \(\vec{n}\) นี่คือแนวคิดสำคัญที่บอกเราว่าจุดหนึ่งอยู่บนระนาบพอดี
สมมติว่าเราต้องการตรวจสอบว่าจุด \((3, 1, 2)\) อยู่บนระนาบที่กำหนดโดยสมการนี้หรือไม่:
สมการระนาบ: \(2x + y - z = 3\)
ในการดำเนินการนี้ เราสามารถแทน \(x = 3\) , \(y = 1\) และ \(z = 2\) ลงในสมการและดูว่าได้ผลหรือไม่
วิธีแก้ปัญหาทีละขั้นตอน:
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการแทนจุดลงในสมการสามารถบอกเราได้ว่าจุดนั้นอยู่บนระนาบหรือไม่
บางครั้ง เราทราบจุดสามจุดที่อยู่บนระนาบ และเราต้องการหาสมการของระนาบ ลองใช้จุดสามจุดด้านล่างนี้:
หากต้องการหาสมการของระนาบ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
นี่คือสมการของระนาบที่ผ่านจุด \(A\) , \(B\) และ \(C\) สังเกตว่าเราใช้เวกเตอร์เพื่อหาเวกเตอร์ปกติซึ่งช่วยกำหนดระนาบได้อย่างไร
เส้นและระนาบไม่ได้เป็นแค่แนวคิดในหนังสือเท่านั้น แต่ยังถูกนำมาใช้ในชีวิตประจำวันของเราด้วย สถาปนิกและวิศวกรใช้สิ่งเหล่านี้ในการออกแบบอาคารและสะพาน ตัวอย่างเช่น พื้นของบ้านเป็นระนาบ และคานหรือขอบหลังคาสามารถมองได้ว่าเป็นเส้น เมื่อสร้างสนามเด็กเล่น นักออกแบบจะใช้แนวคิดของพื้นผิวเรียบ (ระนาบ) เพื่อสร้างพื้นที่ปลอดภัยและเปิดโล่ง และใช้เส้นในการวางแผนทิศทางของทางลาดและทางเดิน
ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ เส้นและเครื่องบินช่วยสร้างแบบจำลอง 3 มิติแบบละเอียดสำหรับวิดีโอเกมและภาพยนตร์ เวกเตอร์ทำให้คอมพิวเตอร์เข้าใจทิศทางและตำแหน่งได้ง่ายขึ้น แม้แต่ในการนำทาง แผนที่ยังใช้เส้นเพื่อแสดงถนนและเส้นทาง และพื้นผิวเรียบช่วยในการออกแบบเส้นทางการบินและแผนผังอาคารที่แม่นยำ
ในกีฬา คุณคงเห็นแนวคิดเหล่านี้ได้ทุกวัน สนามหรือคอร์ทเป็นระนาบ และวิถีของลูกบอลมักจะเป็นเส้นตรง เมื่อคุณขว้างลูกบอล คุณสามารถจินตนาการว่าเส้นทางของลูกบอลเป็นเส้นตรง การดูตัวอย่างเหล่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจว่าคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของสิ่งต่างๆ มากมายในธรรมชาติและเทคโนโลยีได้อย่างไร
เวกเตอร์มีประโยชน์มากเพราะแสดงทิศทางและความเร็ว เมื่อคุณเดินไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง คุณสามารถนึกถึงก้าวของคุณเหมือนกับการเดินตามเวกเตอร์ ในบทเรียนของเรา เวกเตอร์ช่วยให้เราอธิบายทั้งเส้นตรงและระนาบได้อย่างชัดเจน เวกเตอร์บอกเราว่าควรเริ่มต้นที่ไหน ไปที่ไหน และจะเคลื่อนไหวอย่างไร
ตัวอย่างเช่น หากรถวิ่งไปตามถนนตรง เราสามารถใช้เวกเตอร์เพื่อแสดงการเคลื่อนที่ของรถได้ ทิศทางของรถจะกำหนดโดยเวกเตอร์ และความยาวของเวกเตอร์สามารถแสดงให้เห็นว่ารถวิ่งเร็วแค่ไหนหรือไกลแค่ไหน แนวคิดนี้มีประโยชน์มากในการทำความเข้าใจการเคลื่อนที่ในรูปแบบที่เรียบง่าย
สมการเส้นตรง \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) เป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการอธิบายการเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรง มาดูส่วนต่างๆ ของสมการเส้นตรงอีกครั้ง:
ลองนึกภาพว่าคุณกำลังวาดเส้นประบนกระดาษ คุณสามารถทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของเส้น จากนั้นใช้ลูกศรเล็กๆ เพื่อระบุว่าเส้นจะยาวไปทางไหน เมื่อคุณเดินตามลูกศรไปทีละขั้นตอน คุณก็จะสร้างเส้นทางที่แสดงตำแหน่งที่คุณอยู่ได้อย่างชัดเจน
สมการระนาบ \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) ช่วยให้เราเข้าใจพื้นผิวเรียบได้ กล่าวอย่างง่ายๆ ก็คือ สมการนี้บอกเราว่า หากเราเริ่มต้นที่จุดหนึ่งบนระนาบแล้วเคลื่อนที่ไปยังจุดอื่นบนระนาบ การเคลื่อนที่ดังกล่าวจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ \(\vec{n}\)
รูปแบบสมการระนาบนี้มีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ขั้นสูง แม้ว่ารายละเอียดจะดูใหม่ แต่การทำความเข้าใจแนวคิดนี้จะช่วยให้คุณเห็นว่าพื้นผิวเรียบทำงานอย่างไรในโลกแห่งความเป็นจริง มองไปรอบๆ: ผนัง พื้น และโต๊ะทุกแห่งล้วนเป็นตัวอย่างเชิงปฏิบัติของระนาบ
ลองนึกถึงห้องเรียนในโรงเรียน พื้นเป็นระนาบกว้างที่คุณสามารถนั่งเล่นได้ กระดานดำก็เป็นระนาบที่ใช้เขียนหนังสือและวาดรูป ลองนึกถึงคานที่ยึดหลังคาไว้ คานเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นเส้นตรงที่วิ่งไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง เมื่อสถาปนิกออกแบบห้องเรียน พวกเขาคิดอย่างรอบคอบเกี่ยวกับการทำให้แน่ใจว่าระนาบนั้นเรียบและเส้นตรง เพื่อให้แน่ใจว่าทุกอย่างปลอดภัยและเรียบร้อย
แม้ว่าคุณจะกำลังวาดภาพ คุณอาจเริ่มต้นด้วยรูปทรงง่ายๆ เช่น เส้นตรงและพื้นที่ราบ แนวคิดพื้นฐานเหล่านี้เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของภาพที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เมื่อคุณเข้าใจเส้นและระนาบแล้ว คุณจะเรียนรู้ที่จะมองเห็นโครงสร้างในวัตถุในชีวิตประจำวัน เช่น หน้าต่าง ประตู และแม้แต่ทางเท้าภายนอก
เวกเตอร์ทำให้ทุกอย่างชัดเจนขึ้นเนื่องจากเวกเตอร์แสดงทิศทางที่แน่นอนที่บางสิ่งบางอย่างวางอยู่ ไม่ว่าคุณจะกำลังเล่นกับบล็อกตัวต่อหรือกำลังออกแบบภาพใหม่ การเรียนรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ เส้น และระนาบจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าส่วนต่างๆ เชื่อมต่อกันอย่างไร
ในบทเรียนนี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบในสามมิติโดยใช้แนวคิดที่ชัดเจนและเรียบง่ายด้วยเวกเตอร์ ต่อไปนี้คือประเด็นหลักที่เราได้กล่าวถึง:
อย่าลืมว่าเส้นตรง ระนาบ และเวกเตอร์ไม่ได้เป็นแค่แนวคิดในหนังสือของเราเท่านั้น แต่ยังเป็นเครื่องมือที่ช่วยให้เราเข้าใจและกำหนดรูปร่างของโลกที่อยู่รอบตัวเราได้อีกด้วย ลองมองหาสิ่งเหล่านี้ในห้องเรียน ที่บ้าน และแม้กระทั่งตอนที่คุณเล่นข้างนอกบ้าน เพลิดเพลินไปกับการค้นพบว่าคณิตศาสตร์อยู่รอบตัวคุณอย่างไร!
