Back to the topics list

лінії та площини в 3d

Лінії та площини у 3D: простий посібник з векторами

Ласкаво просимо до нашого уроку про лінії та площини у трьох вимірах (3D). У нашому повсякденному світі ми бачимо навколо себе прямі шляхи та плоскі поверхні. Лінії можна розглядати як дороги, стежки або навіть край олівця. Площини схожі на поверхню столу, дошки або аркуша паперу. У цьому уроці ми дізнаємося, що таке лінії та площини, і використаємо ідею векторів, щоб пояснити їх. Мова в цьому уроці проста та сповнена повсякденних прикладів, тому ви можете побачити, як ці ідеї вписуються у світ, який ви знаєте.

Що таке лінія?

Лінія — це шлях, що простягається у двох протилежних напрямках без кінця. Уявіть собі довгу дорогу, яка виходить за межі того, що ви можете бачити. Ця дорога не закінчується; вона тягнеться вічно в обох напрямках. У математиці ми уявляємо лінію як таку, що має лише один вимір — довжину. Вона не має ні товщини, ні ширини.

Коли ви малюєте лінію на аркуші паперу олівцем або крейдою, ви малюєте невелику частину дуже довгої лінії. Навіть якщо ваш малюнок має початкову та кінцеву точки, справжня ідея лінії полягає в тому, що вона ніколи насправді не закінчується.

Що таке літак?

Площина — це плоска поверхня, яка простягається нескінченно у двох вимірах. Уявіть собі поверхню дуже великої, плоскої дошки або ідеального аркуша паперу. Хоча справжній аркуш паперу має краї, в математиці ми уявляємо площину як таку, що не має меж. Вона нескінченна за довжиною та шириною, але не має товщини.

Прикладами площин у повсякденному житті є підлоги, стіни та столи. Коли ви дивитеся на малюнок куба або коробки, кожна грань фігури є площиною, оскільки це плоска поверхня. Ідея площини допомагає нам зрозуміти багато речей навколо нас, таких як поверхня дороги чи поля.

Що таке вектори?

Вектор схожий на стрілку. Стрілка показує дві важливі частини інформації: напрямок, у якому вона вказує, та її довжину. У математиці вектори допомагають нам описувати рух і положення. Вони корисні, оскільки дають нам можливість дуже чітко говорити про напрямки.

Наприклад, уявіть, що ви вказуєте на двері. Ваш палець діє як вектор. Він показує, куди ви хочете піти і як далеко вам, можливо, доведеться рухатися. Вектори корисні для малювання ліній і площин, оскільки вони показують нам напрямок від однієї точки до іншої.

Використання векторів для опису лінії

Ми можемо описати лінію за допомогою векторів за допомогою простого рівняння. Рівняння вказує нам, як почати з однієї точки та рухатися в певному напрямку. Стандартне рівняння для лінії в 3D має вигляд:

Рівняння прямої: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

У цьому рівнянні:

• \(\vec{a}\) : — це відома точка на прямій. Уявіть її як початкову точку.
• \(\vec{d}\) : це вектор напрямку. Він показує, в якому напрямку йде лінія.
• \(t\) : це число, яке змінюється. Переміщення вздовж лінії означає зміну значення \(t\) .

Це рівняння означає, що якщо ви почнете з точки \(\vec{a}\) і додасте трохи (або багато) напрямку \(\vec{d}\) , змінюючи \(t\) , ви рухатиметесь вздовж лінії. Ви можете уявити \(t\) як кількість кроків, які ви робите, де кожен крок здійснюється в одному напрямку.

Приклад 1: Пошук точки на прямій

Давайте розглянемо на прикладі, як працює рівняння лінії. Розглянемо рівняння:

Рівняння: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)

Це означає, що початкова точка — \((1, 2, 3)\) , а вектор напрямку — \((2, 0, 1)\) . Щоб знайти точку на прямій, ми вибираємо значення для \(t\) і підставляємо його в рівняння.

Покрокове рішення:

1. Виберіть значення для \(t\) . Нехай \(t = 2\) .
2. Помножте вектор напрямку на 2:
   \(2 \times (2, 0, 1) = (4, 0, 2)\)
3. Додайте цей результат до початкової точки:
   \((1, 2, 3) + (4, 0, 2) = (5, 2, 5)\)
4. Точка \((5, 2, 5)\) знаходиться на прямій, коли \(t = 2\) .

Цей приклад показує, як, змінюючи значення \(t\) , можна рухатися вздовж лінії та знаходити будь-яку точку на ній.

Використання векторів для опису площини

Ми також можемо описати площину за допомогою векторів. Один поширений спосіб запису рівняння площини використовує точку на площині та вектор, перпендикулярний (під прямим кутом) до неї. Площина описується так:

Рівняння площини: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)

У цьому рівнянні:

• \(\vec{n}\) : — вектор нормалі. Він спрямований прямо назовні з площини.
• \(\vec{a}\) : це точка на площині.
• \(\vec{r}\) представляє будь-яку точку на площині.

Те, що скалярний добуток \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) дорівнює нулю, означає, що вектор з точки \(\vec{a}\) до будь-якої точки \(\vec{r}\) на площині перпендикулярний до \(\vec{n}\) . Це ключова ідея, яка говорить нам, що точка лежить точно на площині.

Приклад 2: Перевірка того, чи точка лежить на площині

Припустимо, що ми хочемо перевірити, чи знаходиться точка \((3, 1, 2)\) на площині, заданій цим рівнянням:

Рівняння площини: \(2x + y - z = 3\)

Щоб зробити це, ми можемо підставляти \(x = 3\) , \(y = 1\) та \(z = 2\) у рівняння та перевіряти, чи працює воно.

Покрокове рішення:

1. Підставте значення в рівняння:
   \(2(3) + 1 - 2\)
2. Обчисліть множення:
   \(6 + 1 - 2\)
3. Додайте та відніміть числа:
   \(6 + 1 = 7\) , а потім \(7 - 2 = 5\)
4. Оскільки \(5\) не дорівнює \(3\) , точка \((3, 1, 2)\) не лежить на площині.

Цей приклад показує, як підстановка точки в рівняння може визначити, чи знаходиться точка на площині, чи ні.

Приклад 3: Знаходження рівняння площини за трьома точками

Іноді нам відомі три точки, що лежать на площині, і ми хочемо знайти рівняння цієї площини. Скористаємося наведеними нижче трьома точками:

• \(A = (1, 0, 0)\)
• \(B = (0, 1, 0)\)
• \(C = (0, 0, 1)\)

Щоб знайти рівняння площини, виконайте такі дії:

1. Знайдіть два вектори на площині:
   • Обчисліть \(\vec{AB}\) , віднявши \(\vec{A}\) від \(\vec{B}\) :
     \(\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)\)
   • Обчисліть \(\vec{AC}\) , віднявши \(\vec{A}\) від \(\vec{C}\) :
     \(\vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\)
2. Знайдіть вектор нормалі \(\vec{n}\) , взявши векторний добуток \(\vec{AB}\) та \(\vec{AC}\) :
   • Векторний добуток \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\) дає:
     \(\vec{n} = (1, 1, 1)\)
3. Використовуючи вектор нормалі та одну з точок (наприклад, точку A), запишіть рівняння площини:
   • Запишіть рівняння так:
     \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
   • Спростимо рівняння:
     \(x - 1 + y + z = 0\) що можна переформулювати таким чином:
     \(x + y + z = 1\)

Це рівняння площини, яка проходить через точки \(A\) , \(B\) та \(C\) . Зверніть увагу, як ми використовували вектори для знаходження вектора нормалі, який допоміг визначити площину.

Реальні застосування

Лінії та площини – це не просто ідеї з книги; вони використовуються в багатьох аспектах нашого повсякденного життя. Архітектори та інженери використовують їх під час проектування будівель та мостів. Наприклад, підлога будинку – це площина, а балки або краї даху можна розглядати як лінії. Під час будівництва дитячого майданчика дизайнери використовують ідею плоских поверхонь (площин) для створення безпечних та відкритих зон, а також лінії для планування напрямку гірок та доріжок.

У комп'ютерній графіці лінії та площини допомагають створювати детальні 3D-моделі для відеоігор та фільмів. Вектори полегшують комп'ютерам розуміння напрямків та положень. Навіть у навігації карти використовують лінії для відображення доріг та маршрутів, а плоскі поверхні допомагають у проектуванні точних траєкторій польоту та планів будівництва.

У спорті ви можете бачити ці ідеї щодня. Поле або корт – це площина, а траєкторія м'яча часто йде по прямій лінії. Коли ви кидаєте м'яч, ви можете уявити його шлях як лінію. Спостереження за цими прикладами може допомогти вам зрозуміти, як математика є частиною багатьох речей у природі та техніці.

Розуміння напрямків за допомогою векторів

Вектори дуже корисні, оскільки вони показують напрямок і швидкість. Коли ви йдете в певному напрямку, ви можете уявляти свої кроки як рух за вектором. У нашому уроці вектори допомагають нам чітко описувати як прямі, так і площини. Вони підказують нам, з чого почати, куди йти і як рухатися.

Наприклад, якщо автомобіль рухається по прямій дорозі, ми можемо використовувати вектор для зображення його руху. Напрямок руху автомобіля задається вектором, а довжина вектора може показувати, як швидко або як далеко рухається автомобіль. Ця ідея дуже корисна для розуміння руху простим способом.

Більше про рівняння прямої

Рівняння лінії \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) дає нам потужний інструмент для опису руху вздовж лінії. Давайте ще раз розглянемо його частини:

• \(\vec{a}\) : Початкова точка лінії, з якої ми починаємо нашу подорож.
• \(\vec{d}\) : Напрямок лінії, подібний до стрілки, що показує, куди рухатися.
• \(t\) : Число, що змінюється і показує, наскільки далеко потрібно просунутися вздовж лінії. Зі зміною \(t\) ми просуваємося далі або ближче до початкової точки.

Уявіть, що ви малюєте пунктирну лінію на аркуші паперу. Ви можете позначити початок лінії, а потім використовувати маленькі стрілки, щоб вказати, як вона продовжується. Слідуючи стрілкам крок за кроком, ви створюєте шлях, який точно показує, де ви знаходитесь у будь-який момент.

Більше про рівняння площини

Рівняння площини \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) допомагає нам зрозуміти плоскі поверхні. Простіше кажучи, воно говорить нам, що якщо ми почнемо з точки на площині та рухатимемося до будь-якої іншої точки на площині, цей рух буде перпендикулярним до вектора нормалі \(\vec{n}\) .

• \(\vec{n}\) : Ця стрілка розташована під прямим кутом до площини. Вона показує нам, який напрямок «вгору» відносно площини.
• \(\vec{a}\) : Відома точка на площині, яка допомагає закріпити рівняння.
• \(\vec{r}\) : Будь-яка точка, що лежить на площині.

Ця форма рівняння площини дуже корисна у вищій математиці. Навіть якщо деталі зараз здаються новими, розуміння цієї ідеї допоможе вам побачити, як плоскі поверхні працюють у реальному світі. Озирніться навколо: кожна стіна, підлога та стіл є практичним прикладом площини.

З'єднання ліній та площин з повсякденним життям

Уявіть собі шкільний клас. Підлога — це широка площина, де ви сидите та граєтеся. Дошка — це також площина, яку використовують для письма та малювання. Тепер уявіть собі балки, що тримають дах — їх можна розглядати як лінії, що йдуть у певному напрямку. Коли архітектори проектують клас, вони ретельно продумують, щоб площини були рівними, а лінії — прямими, забезпечуючи безпеку та акуратність усього.

Навіть коли ви малюєте картину, ви можете почати з простих фігур, таких як прямі лінії та плоскі площини. Ці основні ідеї є будівельними блоками складніших зображень. Розуміючи лінії та площини, ви навчитеся бачити структуру в повсякденних об'єктах, таких як вікна, двері та навіть тротуари зовні.

Вектори роблять все це зрозумілішим, оскільки вони показують точний напрямок, у якому щось орієнтовано. Незалежно від того, чи ви граєтеся з будівельними блоками, чи створюєте новий малюнок, знання про вектори, лінії та площини допоможе вам зрозуміти, як частини з'єднуються одна з одною.

Висновок та короткий зміст

У цьому уроці ми вивчали лінії та площини у 3D, використовуючи зрозумілі та прості ідеї з векторами. Ось основні моменти, які ми розглянули:

• Лінія: Одновимірний об'єкт, який простягається нескінченно у двох протилежних напрямках. Він схожий на нескінченну дорогу або намальовану олівцем лінію.
• Площина: плоска поверхня, яка простягається нескінченно у двох вимірах, як-от аркуш паперу чи підлога.
• Вектор: Стрілка, яка показує напрямок і довжину. Вона допомагає нам зрозуміти та описати рухи та положення.
• Рівняння прямої: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) показує, як рухатися вздовж прямої, що починається з точки \(\vec{a}\) у напрямку \(\vec{d}\) .
• Рівняння площини: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) показує, що точка знаходиться на площині, якщо рух від \(\vec{a}\) до цієї точки перпендикулярний до вектора нормалі \(\vec{n}\) .
• Застосування в реальному світі: Архітектори, інженери, художники комп'ютерної графіки та багато інших використовують лінії, площини та вектори для проектування будівель, створення моделей та навігації в просторах.

Пам’ятайте, що прямі, площини та вектори – це не просто ідеї з наших підручників, а інструменти, які допомагають нам розуміти та формувати світ навколо нас. Шукайте їх у своєму класі, вдома і навіть коли граєтесь на вулиці. Насолоджуйтесь відкриттям того, що математика оточує вас!