Back to the topics list

3d ichida chiziqlar va tekisliklar

3D-dagi chiziqlar va tekisliklar: vektorlar bilan oddiy qo'llanma

Uch o'lchamdagi (3D) chiziqlar va tekisliklar bo'yicha darsimizga xush kelibsiz. Kundalik dunyomizda biz atrofimizdagi tekis yo'llar va tekis yuzalarni ko'ramiz. Chiziqlar yo'llar, yo'llar yoki hatto qalamning chekkasi sifatida ko'rinishi mumkin. Samolyotlar stol, taxta yoki qog'oz varag'ining yuzasiga o'xshaydi. Ushbu darsda biz chiziqlar va tekisliklar nima ekanligini bilib olamiz va ularni tushuntirish uchun vektorlar g'oyasidan foydalanamiz. Ushbu darsdagi til oddiy va kundalik misollar bilan to'la, shuning uchun siz bu g'oyalar siz bilgan dunyoga qanday mos kelishini ko'rishingiz mumkin.

Chiziq nima?

Chiziq - bu ikki qarama-qarshi yo'nalishda tugamaydigan yo'l. Tasavvur qiling-a, siz ko'rgan narsangizdan tashqariga chiqadigan uzoq yo'l. Bu yo'l to'xtamaydi; har ikki yo'nalishda ham abadiy davom etadi. Matematikada biz chiziqni faqat bitta o'lchovga ega deb hisoblaymiz - uzunlik. Uning qalinligi yoki kengligi yo'q.

Qog'ozga qalam yoki bo'r bilan chiziq chizganingizda, siz juda uzun chiziqning kichik qismini chizasiz. Chizmangizning boshlang'ich nuqtasi va tugash nuqtasi bo'lsa ham, chiziqning haqiqiy g'oyasi shundaki, u hech qachon tugamaydi.

Samolyot nima?

Samolyot ikki o'lchamda abadiy cho'zilgan tekis sirtdir. Juda katta, tekis taxta yoki mukammal qog'ozning sirtini tasavvur qiling. Haqiqiy qog'ozning qirralari bo'lsa ham, matematikada biz samolyotni chegarasi yo'q deb hisoblaymiz. Uning uzunligi va kengligi cheksiz, ammo qalinligi yo'q.

Kundalik hayotdagi samolyotlarga zamin, devorlar va stollar misol bo'ladi. Kub yoki quti chizilgan rasmga qaraganingizda, shaklning har bir tomoni tekislikdir, chunki u tekis sirtdir. Samolyot g'oyasi atrofimizdagi ko'p narsalarni, masalan, yo'l yoki dala yuzasini tushunishimizga yordam beradi.

Vektorlar nima?

Vektor o'qga o'xshaydi. O'q ikkita muhim ma'lumotni ko'rsatadi: u ko'rsatadigan yo'nalish va uning uzunligi. Matematikada vektorlar harakat va pozitsiyani tasvirlashga yordam beradi. Ular foydalidir, chunki ular bizga yo'nalishlar haqida juda aniq gapirish imkonini beradi.

Misol uchun, siz eshikka ishora qilayotganingizni tasavvur qiling. Barmog'ingiz vektor kabi ishlaydi. Bu siz qaysi yo'ldan borishni xohlayotganingizni va qanchalik uzoqqa harakat qilishingiz kerakligini ko'rsatadi. Vektorlar chiziqlar va tekisliklarni chizishda yordam beradi, chunki ular bizga bir nuqtadan ikkinchisiga yo'nalishni ko'rsatadi.

Chiziqni tasvirlash uchun vektorlardan foydalanish

Oddiy tenglamaga ega vektorlar yordamida chiziqni tasvirlashimiz mumkin. Tenglama bir nuqtadan qanday boshlash va ma'lum bir yo'nalishda harakat qilish kerakligini aytadi. 3D chiziq uchun standart tenglama:

Chiziq tenglamasi: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

Ushbu tenglamada:

• \(\vec{a}\) : chiziqdagi ma'lum nuqta. Buni boshlang'ich nuqtasi sifatida o'ylab ko'ring.
• \(\vec{d}\) : - yo'nalish vektori. Bu chiziq qaysi tomonga ketishini ko'rsatadi.
• \(t\) : o'zgaruvchan raqam. Chiziq bo'ylab harakatlanish \(t\) qiymatini o'zgartirishni anglatadi.

Bu tenglama shuni anglatadiki, agar siz \(\vec{a}\) nuqtadan boshlasangiz va \(t\) ni o'zgartirish orqali \(\vec{d}\) yo'nalishini ozroq (yoki ko'p) qo'shsangiz, chiziq bo'ylab harakatlanasiz. Siz \(t\) ni har bir qadam bir xil yo'nalishda bo'lgan qadamlar soni deb o'ylashingiz mumkin.

1-misol: Chiziqdagi nuqtani topish

Chiziq tenglamasi qanday ishlashini ko'rish uchun misol keltiramiz. Tenglamani ko'rib chiqing:

Tenglama: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)

Bu shuni anglatadiki, boshlang'ich nuqtasi \((1, 2, 3)\) va yo'nalish vektori \((2, 0, 1)\) . Chiziqdagi nuqtani topish uchun \(t\) qiymatini tanlaymiz va uni tenglamaga almashtiramiz.

Bosqichma-bosqich yechim:

1. \(t\) uchun qiymat tanlang. \(t = 2\) bo'lsin.
2. Yo'nalish vektorini 2 ga ko'paytiring:
   \(2 \times (2, 0, 1) = (4, 0, 2)\)
3. Ushbu natijani boshlang'ich nuqtasiga qo'shing:
   \((1, 2, 3) + (4, 0, 2) = (5, 2, 5)\)
4. \((5, 2, 5)\) nuqta \(t = 2\) bo'lganda chiziqda joylashgan.

Ushbu misol \(t\) qiymatini o'zgartirib, chiziq bo'ylab harakatlanishingiz va uning istalgan nuqtasini qanday topishingiz mumkinligini ko'rsatadi.

Samolyotni tasvirlash uchun vektorlardan foydalanish

Samolyotni vektorlar yordamida ham tasvirlashimiz mumkin. Tekislik tenglamasini yozishning keng tarqalgan usullaridan biri tekislikdagi nuqta va unga perpendikulyar (to'g'ri burchak ostida) vektordan foydalanadi. Samolyot quyidagicha tavsiflanadi:

Tekislik tenglamasi: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)

Ushbu tenglamada:

• \(\vec{n}\) : normal vektor. U to'g'ridan-to'g'ri samolyotdan ko'rinadi.
• \(\vec{a}\) : tekislikdagi nuqta.
• \(\vec{r}\) tekislikdagi istalgan nuqtani ifodalaydi.

\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) nolga teng boʻlishi, \(\vec{a}\) nuqtadan tekislikning istalgan \(\vec{r}\) nuqtasigacha boʻlgan vektor \(\vec{n}\) ga perpendikulyar ekanligini bildiradi. Bu nuqta tekislikda ekanligini ko'rsatadigan asosiy fikrdir.

2-misol: Nuqtaning tekislikda yotganligini tekshirish

Faraz qilaylik \((3, 1, 2)\) nuqta ushbu tenglama bilan berilgan tekislikda ekanligini tekshirmoqchimiz:

Tekislik tenglamasi: \(2x + y - z = 3\)

Buning uchun tenglamaga \(x = 3\) , \(y = 1\) va \(z = 2\) oʻrniga qoʻyib, uning ishlayotganligini koʻrishimiz mumkin.

Bosqichma-bosqich yechim:

1. Tenglamadagi qiymatlarni almashtiring:
   \(2(3) + 1 - 2\)
2. Ko'paytirishni hisoblang:
   \(6 + 1 - 2\)
3. Raqamlarni qo'shish va ayirish:
   \(6 + 1 = 7\) va keyin \(7 - 2 = 5\)
4. \(5\) \(3\) ga teng bo'lmagani uchun \((3, 1, 2)\) nuqta tekislikda yotmaydi.

Ushbu misol nuqtani tenglamaga almashtirish orqali nuqta tekislikda yoki yo'qligini qanday aniqlash mumkinligini ko'rsatadi.

3-misol: Uch nuqtadan tekislik tenglamasini topish

Ba'zan biz tekislikda yotadigan uchta nuqtani bilamiz va biz tekislikning tenglamasini topmoqchimiz. Keling, quyidagi uchta nuqtadan foydalanamiz:

• \(A = (1, 0, 0)\)
• \(B = (0, 1, 0)\)
• \(C = (0, 0, 1)\)

Samolyot tenglamasini topish uchun quyidagi amallarni bajaring:

1. Tekislikdagi ikkita vektorni toping:
   • \(\vec{AB}\) \(\vec{A}\) dan \(\vec{B}\) ayirish orqali hisoblang:
     \(\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)\)
   • \(\vec{AC}\) \(\vec{A}\) dan \(\vec{C}\) ayirish orqali hisoblang:
     \(\vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\)
2. \(\vec \(\vec{n}\) \(\vec{AB}\) \(\vec{AC}\) normal vektorini toping:
   • Oʻzaro hosila \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\) beradi:
     \(\vec{n} = (1, 1, 1)\)
3. Tekislik tenglamasini yozish uchun oddiy vektor va nuqtalardan birini (masalan, A nuqtasi) ishlating:
   • Tenglamani quyidagicha yozing:
     \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
   • Tenglamani soddalashtiring:
     \(x - 1 + y + z = 0\) uni quyidagicha tartibga solish mumkin:
     \(x + y + z = 1\)

Bu \(A\) , \(B\) va \(C\) nuqtalaridan oʻtuvchi tekislikning tenglamasi. Samolyotni aniqlashga yordam beradigan oddiy vektorni topish uchun vektorlardan qanday foydalanganimizga e'tibor bering.

Haqiqiy dunyo ilovalari

Chiziqlar va tekisliklar faqat kitobdagi g'oyalar emas; ular kundalik hayotimizning ko'p qismlarida qo'llaniladi. Arxitektorlar va muhandislar binolar va ko'priklarni loyihalashda ulardan foydalanadilar. Misol uchun, uyning zamini tekislik bo'lib, tomning nurlari yoki qirralari chiziqlar sifatida ko'rinishi mumkin. O'yin maydonchasini qurishda dizaynerlar xavfsiz va ochiq joylarni yaratish uchun tekis yuzalar (samolyotlar) g'oyasidan foydalanadilar va slaydlar va yo'llarning yo'nalishini rejalashtirish uchun chiziqlardan foydalanadilar.

Kompyuter grafikasida chiziqlar va tekisliklar video o'yinlar va filmlar uchun batafsil 3D modellarni yaratishga yordam beradi. Vektorlar kompyuterlarga yo'nalish va pozitsiyalarni tushunishni osonlashtiradi. Navigatsiyada ham xaritalar yo'llar va marshrutlarni ko'rsatish uchun chiziqlardan foydalanadi va tekis yuzalar aniq parvoz yo'llarini va qurilish rejalarini loyihalashda yordam beradi.

Sportda bu g'oyalarni har kuni ko'rishingiz mumkin. Maydon yoki maydon tekislik bo'lib, to'pning traektoriyasi ko'pincha to'g'ri chiziq bo'ylab boradi. To'pni tashlaganingizda, uning yo'lini chiziq shaklida tasavvur qilishingiz mumkin. Ushbu misollarni kuzatish sizga matematika tabiat va texnologiyadagi ko'p narsalarning bir qismi ekanligini tushunishga yordam beradi.

Vektorlar yordamida yo'nalishlarni tushunish

Vektorlar juda foydali, chunki ular yo'nalish va tezlikni ko'rsatadi. Muayyan yo'nalishda yurganingizda, qadamlaringizni vektorga amal qilish deb o'ylashingiz mumkin. Bizning darsimizda vektorlar ikkala chiziqni ham, tekislikni ham aniq tasvirlashga yordam beradi. Ular bizga qaerdan boshlashni, qayerga borishni va qanday harakat qilishni aytadilar.

Masalan, agar mashina to'g'ri yo'l bo'ylab harakatlansa, uning harakatini tasvirlash uchun vektordan foydalanishimiz mumkin. Avtomobilning yo'nalishi vektor tomonidan beriladi va vektorning uzunligi avtomobil qanchalik tez yoki qanchalik uzoqqa harakat qilishini ko'rsatishi mumkin. Bu fikr harakatni sodda tarzda tushunish uchun juda foydali.

Chiziq tenglamasi haqida batafsil

\(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) chiziq tenglamasi bizga chiziq bo‘ylab harakatni tasvirlash uchun kuchli vosita beradi. Keling, uning qismlarini yana bir bor ko'rib chiqaylik:

• \(\vec{a}\) : Sayohatimizni boshlaydigan chiziqning boshlang'ich nuqtasi.
• \(\vec{d}\) : Chiziq yoʻnalishi, qaysi yoʻlni koʻrsatuvchi oʻq kabi.
• \(t\) : Chiziq boʻylab qancha masofaga harakat qilishimizni bildiruvchi oʻzgaruvchan raqam. \(t\) o'zgarganda, biz boshlang'ich nuqtaga uzoqroq yoki yaqinlashamiz.

Tasavvur qiling-a, qog'oz parchasi bo'ylab nuqta chiziq chizilgan. Siz chiziqning boshini belgilashingiz va keyin chiziq qanday davom etishini ko'rsatish uchun kichik o'qlardan foydalanishingiz mumkin. O'qlarni bosqichma-bosqich kuzatib borganingizda, siz istalgan vaqtda qayerda ekanligingizni ko'rsatadigan yo'lni yaratasiz.

Tekislik tenglamasi haqida ko'proq

\(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) tekislik tenglamasi tekis yuzalarni tushunishga yordam beradi. Oddiyroq so'zlar bilan aytganda, agar biz tekislikning biror nuqtasidan boshlanib, tekislikning istalgan boshqa nuqtasiga o'tsak, bu harakat normal vektorga perpendikulyar \(\vec{n}\) ekanligini aytadi.

• \(\vec{n}\) : Bu oʻq tekislikka toʻgʻri burchak ostida joylashgan. Bu bizga samolyotdan qaysi yo'l "yuqoriga" ekanligini aytadi.
• \(\vec{a}\) : Tenglamani aniqlashga yordam beruvchi tekislikdagi ma'lum nuqta.
• \(\vec{r}\) : Tekislikda joylashgan har qanday nuqta.

Tekis tenglamaning bu shakli oliy matematikada juda foydali. Tafsilotlar hozir yangi bo'lib ko'rinsa ham, bu fikrni tushunish sizga tekis yuzalar haqiqiy dunyoda qanday ishlashini ko'rishga yordam beradi. Atrofga qarang: har bir devor, zamin va stol samolyotning amaliy namunasidir.

Chiziqlar va samolyotlarni kundalik hayot bilan bog'lash

Maktab sinfini ko'rib chiqing. Zamin - siz o'tirgan va o'ynagan keng tekislik. Doska ham tekislik bo'lib, yozish va chizish uchun ishlatiladi. Endi tomni ushlab turadigan nurlarni tasavvur qiling - bu ma'lum bir yo'nalishda ishlaydigan chiziqlar sifatida ko'rinishi mumkin. Arxitektorlar sinf xonasini loyihalashtirganda, samolyotlar tekis va chiziqlar to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish, hamma narsa xavfsiz va ozoda bo'lishini ta'minlash haqida yaxshilab o'ylashadi.

Hatto rasm chizayotganingizda ham, siz tekis chiziqlar va tekis joylar kabi oddiy shakllardan boshlashingiz mumkin. Ushbu asosiy g'oyalar yanada murakkab rasmlarning qurilish bloklari. Chiziqlar va tekisliklarni tushunib, siz derazalar, eshiklar va hatto tashqaridagi yo'laklar kabi kundalik narsalardagi strukturani ko'rishni o'rganasiz.

Vektorlar bularning barchasini aniqroq qiladi, chunki ular biror narsa yo'naltirilganligini aniq ko'rsatadi. Qurilish bloklari bilan o'ynayapsizmi yoki yangi rasm yaratyapsizmi, vektorlar, chiziqlar va tekisliklar haqida bilish qismlarning bir-biri bilan qanday bog'lanishini tushunishga yordam beradi.

Xulosa va xulosa

Ushbu darsda biz vektorlar bilan aniq va oddiy g'oyalardan foydalangan holda 3D formatidagi chiziqlar va tekisliklar haqida bilib oldik. Mana biz ko'rib chiqqan asosiy fikrlar:

• Chiziq: Ikki qarama-qarshi yo'nalishda abadiy cho'zilgan bir o'lchovli ob'ekt. Bu tugamaydigan yo'l yoki chizilgan qalam chizig'iga o'xshaydi.
• Samolyot: Bir parcha qog'oz yoki pol kabi ikki o'lchovda abadiy davom etadigan tekis sirt.
• Vektor: yo'nalish va uzunlikni ko'rsatadigan o'q. Bu bizga harakatlar va pozitsiyalarni tushunishga va tasvirlashga yordam beradi.
• Chiziq tenglamasi: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) \(\vec{a}\) \(\vec{d}\) chiziq bo‘ylab harakatlanishni ko‘rsatadi.
• Tekislik tenglamasi: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) agar \(\vec{a}\) dan shu nuqtagacha boʻlgan harakat \(\vec{n}\) normal vektoriga perpendikulyar boʻlsa, nuqta tekislikda ekanligini bildiradi.
• Haqiqiy dunyo ilovalari: Arxitektorlar, muhandislar, kompyuter grafikasi rassomlari va boshqalar binolarni loyihalash, modellarni yaratish va bo'shliqlarni kezish uchun chiziqlar, samolyotlar va vektorlardan foydalanadilar.

Esda tutingki, chiziqlar, tekisliklar va vektorlar bizning kitoblarimizdagi g'oyalar emas, balki ular atrofimizdagi dunyoni tushunish va shakllantirishga yordam beradigan vositalardir. Ularni sinfda, uyda va hatto tashqarida o'ynaganingizda ham qidiring. Atrofingizdagi matematikani bilishdan zavqlaning!