Primer lesson: đường thẳng và mặt phẳng trong 3d

Đường thẳng và mặt phẳng trong 3D: Hướng dẫn đơn giản với vectơ

Chào mừng đến với bài học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều (3D). Trong thế giới hàng ngày, chúng ta thấy những đường thẳng và bề mặt phẳng xung quanh mình. Đường thẳng có thể được coi là đường đi, lối đi hoặc thậm chí là cạnh của một cây bút chì. Mặt phẳng tương tự như bề mặt của một cái bàn, một tấm ván hoặc một tờ giấy. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu đường thẳng và mặt phẳng là gì và chúng ta sẽ sử dụng ý tưởng về vectơ để giúp giải thích chúng. Ngôn ngữ trong bài học này đơn giản và đầy những ví dụ hàng ngày, vì vậy bạn có thể thấy những ý tưởng này phù hợp với thế giới mà bạn biết như thế nào.

Đường thẳng là gì?

Đường thẳng là một đường đi kéo dài theo hai hướng ngược nhau không có điểm kết thúc. Hãy tưởng tượng một con đường dài vượt ra ngoài tầm nhìn của bạn. Con đường này không dừng lại; nó kéo dài mãi mãi theo cả hai hướng. Trong toán học, chúng ta nghĩ về một đường thẳng chỉ có một chiều – chiều dài. Nó không có độ dày hoặc chiều rộng.

Khi bạn vẽ một đường thẳng trên một tờ giấy bằng bút chì hoặc phấn, bạn đang vẽ một phần nhỏ của một đường thẳng rất dài. Mặc dù bản vẽ của bạn có điểm bắt đầu và điểm kết thúc, ý tưởng thực sự của một đường thẳng là nó không bao giờ thực sự kết thúc.

Máy bay là gì?

Mặt phẳng là một bề mặt phẳng kéo dài mãi mãi theo hai chiều. Hãy tưởng tượng bề mặt của một tấm ván phẳng rất lớn hoặc một tờ giấy hoàn hảo. Mặc dù một tờ giấy thực sự có các cạnh, trong toán học, chúng ta nghĩ rằng mặt phẳng không có ranh giới. Nó vô hạn về chiều dài và chiều rộng nhưng không có độ dày.

Ví dụ về mặt phẳng trong cuộc sống hàng ngày là sàn nhà, tường và bàn. Khi bạn nhìn vào bản vẽ hình khối hoặc hộp, mỗi mặt của hình là một mặt phẳng vì nó là một bề mặt phẳng. Ý tưởng về mặt phẳng giúp chúng ta hiểu được nhiều thứ xung quanh mình, chẳng hạn như bề mặt của một con đường hoặc một cánh đồng.

Vectơ là gì?

Một vectơ giống như một mũi tên. Mũi tên cho thấy hai thông tin quan trọng: hướng mà nó chỉ và độ dài của nó. Trong toán học, vectơ giúp chúng ta mô tả chuyển động và vị trí. Chúng hữu ích vì chúng cung cấp cho chúng ta cách để nói về hướng rất rõ ràng.

Ví dụ, hãy tưởng tượng bạn đang chỉ vào cửa. Ngón tay của bạn hoạt động như một vectơ. Nó cho biết bạn muốn đi theo hướng nào và bạn có thể phải di chuyển bao xa. Các vectơ hữu ích trong việc vẽ các đường thẳng và mặt phẳng vì chúng cho chúng ta biết hướng từ điểm này đến điểm khác.

Sử dụng vectơ để mô tả một đường thẳng

Chúng ta có thể mô tả một đường thẳng bằng vectơ với một phương trình đơn giản. Phương trình cho chúng ta biết cách bắt đầu tại một điểm và di chuyển theo một hướng cụ thể. Phương trình chuẩn cho một đường thẳng trong 3D là:

Phương trình đường thẳng: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\)

Trong phương trình này:

\(\vec{a}\) : là một điểm đã biết trên đường thẳng. Hãy nghĩ về nó như là điểm bắt đầu.
\(\vec{d}\) : là vectơ chỉ hướng. Nó cho biết đường thẳng đi theo hướng nào.
\(t\) : là một số thay đổi. Di chuyển dọc theo đường có nghĩa là thay đổi giá trị của \(t\) .

Phương trình này có nghĩa là nếu bạn bắt đầu tại điểm \(\vec{a}\) và thêm một chút (hoặc nhiều) hướng \(\vec{d}\) bằng cách thay đổi \(t\) , bạn di chuyển dọc theo đường thẳng. Bạn có thể nghĩ \(t\) là số bước bạn thực hiện, trong đó mỗi bước đều theo cùng một hướng.

Ví dụ 1: Tìm một điểm trên một đường thẳng

Chúng ta hãy sử dụng một ví dụ để xem phương trình đường thẳng hoạt động như thế nào. Hãy xem xét phương trình:

Phương trình: \(\vec{r} = (1, 2, 3) + t(2, 0, 1)\)

Điều này có nghĩa là điểm bắt đầu là \((1, 2, 3)\) và vectơ chỉ hướng là \((2, 0, 1)\) . Để tìm một điểm trên đường thẳng, chúng ta chọn một giá trị cho \(t\) và thay thế nó vào phương trình.

Giải pháp từng bước:

Chọn một giá trị cho \(t\) . Giả sử \(t = 2\) .
Nhân vectơ chỉ hướng với 2:
\(2 \times (2, 0, 1) = (4, 0, 2)\)
Thêm kết quả này vào điểm bắt đầu:
\((1, 2, 3) + (4, 0, 2) = (5, 2, 5)\)
Điểm \((5, 2, 5)\) nằm trên đường thẳng khi \(t = 2\) .

Ví dụ này cho thấy cách bạn di chuyển dọc theo đường thẳng và có thể tìm thấy bất kỳ điểm nào trên đó bằng cách thay đổi giá trị của \(t\) .

Sử dụng vectơ để mô tả một mặt phẳng

Chúng ta cũng có thể mô tả một mặt phẳng bằng cách sử dụng vectơ. Một cách phổ biến để viết phương trình của một mặt phẳng là sử dụng một điểm trên mặt phẳng và một vectơ vuông góc (vuông góc) với nó. Mặt phẳng được mô tả bằng:

Phương trình mặt phẳng: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\)

Trong phương trình này:

\(\vec{n}\) : là vectơ pháp tuyến. Nó hướng thẳng ra ngoài từ mặt phẳng.
\(\vec{a}\) : là một điểm trên mặt phẳng.
\(\vec{r}\) biểu diễn bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng.

Tích vô hướng \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a})\) bằng không có nghĩa là vectơ từ điểm \(\vec{a}\) đến bất kỳ điểm nào \(\vec{r}\) trên mặt phẳng vuông góc với \(\vec{n}\) . Đây là ý tưởng chính cho chúng ta biết một điểm nằm chính xác trên mặt phẳng.

Ví dụ 2: Kiểm tra xem một điểm có nằm trên một mặt phẳng không

Giả sử chúng ta muốn kiểm tra xem điểm \((3, 1, 2)\) có nằm trên mặt phẳng cho bởi phương trình này hay không:

Phương trình mặt phẳng: \(2x + y - z = 3\)

Để thực hiện điều này, chúng ta có thể thay \(x = 3\) , \(y = 1\) và \(z = 2\) vào phương trình và xem nó có hoạt động không.

Giải pháp từng bước:

Thay các giá trị vào phương trình:
\(2(3) + 1 - 2\)
Tính phép nhân:
\(6 + 1 - 2\)
Cộng và trừ các số:
\(6 + 1 = 7\) và sau đó \(7 - 2 = 5\)
Vì \(5\) không bằng \(3\) nên điểm \((3, 1, 2)\) không nằm trên mặt phẳng.

Ví dụ này cho thấy cách thay thế điểm vào phương trình có thể cho chúng ta biết điểm đó có nằm trên mặt phẳng hay không.

Ví dụ 3: Tìm phương trình mặt phẳng từ ba điểm

Đôi khi, chúng ta biết ba điểm nằm trên một mặt phẳng và chúng ta muốn tìm phương trình của mặt phẳng đó. Hãy sử dụng ba điểm dưới đây:

\(A = (1, 0, 0)\)
\(B = (0, 1, 0)\)
\(C = (0, 0, 1)\)

Để tìm phương trình của máy bay, hãy làm theo các bước sau:

Tìm hai vectơ trên mặt phẳng:
- Tính \(\vec{AB}\) bằng cách trừ \(\vec{A}\) khỏi \(\vec{B}\) :
  \(\vec{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0)\)
- Tính \(\vec{AC}\) bằng cách trừ \(\vec{A}\) khỏi \(\vec{C}\) :
  \(\vec{AC} = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)\)
Tìm vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) bằng cách lấy tích có hướng của \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) :
- Tích có hướng \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\) cho kết quả:
  \(\vec{n} = (1, 1, 1)\)
Sử dụng vectơ pháp tuyến và một trong các điểm (ví dụ: điểm A) để viết phương trình mặt phẳng:
- Viết phương trình dưới dạng:
  \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0\)
- Rút gọn phương trình:
  \(x - 1 + y + z = 0\) có thể sắp xếp lại thành:
  \(x + y + z = 1\)

Đây là phương trình của mặt phẳng đi qua các điểm \(A\) , \(B\) và \(C\) . Lưu ý cách chúng ta sử dụng vectơ để tìm vectơ pháp tuyến giúp xác định mặt phẳng.

Ứng dụng trong thế giới thực

Đường thẳng và mặt phẳng không chỉ là những ý tưởng trong sách; chúng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống hàng ngày. Các kiến trúc sư và kỹ sư sử dụng chúng khi thiết kế các tòa nhà và cầu. Ví dụ, sàn nhà là một mặt phẳng, và các dầm hoặc cạnh của mái nhà có thể được coi là các đường thẳng. Khi xây dựng sân chơi, các nhà thiết kế sử dụng ý tưởng về các bề mặt phẳng (mặt phẳng) để tạo ra các khu vực an toàn và mở, và họ sử dụng các đường thẳng để lập kế hoạch hướng của các đường trượt và đường đi.

Trong đồ họa máy tính, các đường thẳng và mặt phẳng giúp tạo ra các mô hình 3D chi tiết cho trò chơi điện tử và phim ảnh. Các vectơ giúp máy tính dễ dàng hiểu hướng và vị trí hơn. Ngay cả trong điều hướng, bản đồ sử dụng các đường thẳng để hiển thị đường và tuyến đường, và các bề mặt phẳng giúp thiết kế đường bay chính xác và kế hoạch xây dựng.

Trong thể thao, bạn có thể thấy những ý tưởng này hàng ngày. Sân hoặc sân đấu là một mặt phẳng, và quỹ đạo của một quả bóng thường theo một đường thẳng. Khi bạn ném một quả bóng, bạn có thể tưởng tượng đường đi của nó như một đường thẳng. Việc quan sát những ví dụ này có thể giúp bạn hiểu toán học là một phần của nhiều thứ trong tự nhiên và công nghệ.

Hiểu về hướng với vectơ

Các vectơ rất hữu ích vì chúng cho biết hướng và tốc độ. Khi bạn đi theo một hướng cụ thể, bạn có thể nghĩ rằng các bước của mình đang đi theo một vectơ. Trong bài học của chúng ta, vectơ giúp chúng ta mô tả cả đường thẳng và mặt phẳng một cách rõ ràng. Chúng cho chúng ta biết bắt đầu từ đâu, đi đâu và di chuyển như thế nào.

Ví dụ, nếu một chiếc xe di chuyển trên một con đường thẳng, chúng ta có thể sử dụng một vectơ để biểu diễn chuyển động của nó. Hướng của chiếc xe được chỉ ra bởi vectơ, và độ dài của vectơ có thể cho biết chiếc xe di chuyển nhanh như thế nào hoặc xa như thế nào. Ý tưởng này rất hữu ích để hiểu chuyển động theo cách đơn giản.

Tìm hiểu thêm về phương trình đường thẳng

Phương trình đường thẳng \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) cung cấp cho chúng ta một công cụ mạnh mẽ để mô tả chuyển động dọc theo một đường thẳng. Chúng ta hãy xem xét các phần của nó một lần nữa:

\(\vec{a}\) : Điểm bắt đầu của đường thẳng nơi chúng ta bắt đầu cuộc hành trình.
\(\vec{d}\) : Hướng của đường thẳng, giống như mũi tên chỉ hướng đi.
\(t\) : Một con số thay đổi cho chúng ta biết phải di chuyển bao xa dọc theo đường thẳng. Khi \(t\) thay đổi, chúng ta di chuyển xa hơn hoặc gần hơn đến điểm bắt đầu.

Hãy tưởng tượng vẽ một đường chấm trên một tờ giấy. Bạn có thể đánh dấu điểm bắt đầu của đường thẳng và sau đó sử dụng các mũi tên nhỏ để chỉ ra cách đường thẳng tiếp tục. Khi bạn làm theo các mũi tên từng bước, bạn sẽ tạo ra một đường dẫn cho thấy chính xác vị trí của bạn tại bất kỳ thời điểm nào.

Tìm hiểu thêm về phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) giúp chúng ta hiểu về bề mặt phẳng. Nói một cách đơn giản hơn, nó cho chúng ta biết rằng nếu chúng ta bắt đầu tại một điểm trên mặt phẳng và di chuyển đến bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng, chuyển động đó vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) .

\(\vec{n}\) : Mũi tên này vuông góc với mặt phẳng. Nó cho chúng ta biết hướng nào "lên" từ mặt phẳng.
\(\vec{a}\) : Một điểm đã biết trên mặt phẳng giúp neo phương trình.
\(\vec{r}\) : Bất kỳ điểm nào nằm trên mặt phẳng.

Dạng phương trình mặt phẳng này rất hữu ích trong toán học cao cấp. Ngay cả khi các chi tiết có vẻ mới mẻ, việc hiểu ý tưởng này sẽ giúp bạn thấy được cách các bề mặt phẳng hoạt động trong thế giới thực. Hãy nhìn xung quanh: mọi bức tường, sàn nhà và bàn đều là ví dụ thực tế về mặt phẳng.

Kết nối các đường thẳng và mặt phẳng với cuộc sống hàng ngày

Hãy xem xét một lớp học ở trường. Sàn nhà là một mặt phẳng rộng nơi bạn ngồi và chơi. Bảng đen cũng là một mặt phẳng, dùng để viết và vẽ. Bây giờ hãy tưởng tượng những thanh dầm giữ mái nhà – chúng có thể được xem như những đường chạy theo một hướng cụ thể. Khi các kiến trúc sư thiết kế một lớp học, họ suy nghĩ cẩn thận về việc đảm bảo các mặt phẳng phẳng và các đường thẳng, đảm bảo mọi thứ đều an toàn và gọn gàng.

Ngay cả khi bạn đang vẽ một bức tranh, bạn có thể bắt đầu với những hình dạng đơn giản như đường thẳng và các vùng phẳng. Những ý tưởng cơ bản này là những khối xây dựng của những bức tranh phức tạp hơn. Bằng cách hiểu các đường thẳng và mặt phẳng, bạn học cách nhìn thấy cấu trúc trong các vật thể hàng ngày như cửa sổ, cửa ra vào và thậm chí cả vỉa hè bên ngoài.

Các vectơ làm cho tất cả những điều này rõ ràng hơn vì chúng cho thấy hướng chính xác mà một thứ gì đó được định hướng. Cho dù bạn đang chơi với các khối xây dựng hay thiết kế một bức tranh mới, việc biết về các vectơ, đường thẳng và mặt phẳng giúp bạn hiểu cách các bộ phận kết nối với nhau.

Kết luận và Tóm tắt

Trong bài học này, chúng ta đã học về các đường thẳng và mặt phẳng trong 3D bằng các ý tưởng rõ ràng và đơn giản với các vectơ. Sau đây là những điểm chính mà chúng ta đã đề cập:

Đường thẳng: Một vật thể một chiều kéo dài mãi mãi theo hai hướng ngược nhau. Nó giống như một con đường không bao giờ kết thúc hoặc một đường bút chì được vẽ.
Mặt phẳng: Một bề mặt phẳng kéo dài vô tận theo hai chiều, giống như một tờ giấy hoặc sàn nhà.
Vector: Một mũi tên chỉ hướng và độ dài. Nó giúp chúng ta hiểu và mô tả chuyển động và vị trí.
Phương trình đường thẳng: \(\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}\) cho thấy cách di chuyển dọc theo một đường thẳng bắt đầu từ điểm \(\vec{a}\) theo hướng \(\vec{d}\) .
Phương trình mặt phẳng: \(\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0\) cho chúng ta biết rằng một điểm nằm trên mặt phẳng nếu chuyển động từ \(\vec{a}\) đến điểm đó vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) .
Ứng dụng trong thế giới thực: Kiến trúc sư, kỹ sư, họa sĩ đồ họa máy tính và nhiều người khác sử dụng các đường thẳng, mặt phẳng và vectơ để thiết kế tòa nhà, tạo mô hình và điều hướng không gian.

Hãy nhớ rằng các đường thẳng, mặt phẳng và vectơ không chỉ là những ý tưởng trong sách của chúng tôi—chúng là những công cụ giúp chúng ta hiểu và định hình thế giới xung quanh. Hãy tìm chúng trong lớp học, ở nhà và thậm chí khi bạn đang chơi ngoài trời. Hãy tận hưởng việc khám phá toán học ở khắp mọi nơi xung quanh bạn!

đường thẳng và mặt phẳng trong 3d