يُقدّم هذا الدرس مفهوم الانتقالات في الهندسة الإحداثية. الانتقال هو طريقة لنقل نقطة أو شكل من مكان إلى آخر على شبكة دون تغيير حجمه أو شكله أو اتجاهه. سنستخدم لغة بسيطة وأمثلة واضحة لمساعدتك على فهم هذا المفهوم المهم.
الترجمة أشبه بتحريك جسم على طاولة. تخيّل أن لديك سيارة لعبة. عند دفعها، تتحرك السيارة من نقطة إلى أخرى دون أن تنقلب. في الترجمة، يتحرك كل جزء من الشكل مسافة واحدة في الاتجاه نفسه. هذا يعني أن الشكل يبقى كما هو تمامًا ولكنه يظهر في مكان جديد.
في هندسة الإحداثيات، ندرس النقاط باستخدام شبكة. تحتوي الشبكة على خطين مهمين: المحور السيني (الأفقي) والمحور الصادي (الرأسي). لكل نقطة على الشبكة إحداثي س وإحداثي صادي. عند نقل نقطة، نغير هذه الأرقام بشكل متوقع.
تستخدم عملية الترجمة ما يُسمى متجه الترجمة . يُخبرك هذا المتجه بمدى تحريك نقطة أو شكل. يتكون متجه الترجمة من جزأين: الجزء الأفقي والجزء الرأسي. نكتبه كالتالي: \( (h, k) \) .
الرقم \( h \) يُخبرنا بمدى التحرك يمينًا (إذا \( h \) سالبًا). والرقم \( k \) يُخبرنا بمدى التحرك لأعلى (إذا \( k \) \( h \) ) أو لأسفل (إذا \( k \) سالبًا). على سبيل المثال، المتجه \( (3, -2) \) يعني التحرك 3 وحدات يمينًا ووحدتين لأسفل.
عند نقل نقطة، يُضاف متجه النقل إلى إحداثياتها. إذا كُتبت النقطة على النحو \( (x, y) \) ومتجه النقل هو \( (h, k) \) ، فستكون النقطة الجديدة:
\( (x + h, \, y + k) \)
على سبيل المثال، إذا كان لديك نقطة \( (2, 3) \) وقمت بترجمتها باستخدام المتجه \( (1, 2) \) ، ستكون النقطة الجديدة:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
يتم استخدام هذه القاعدة البسيطة لكل ترجمة في شبكة الإحداثيات.
يمكنك رؤية الترجمات على ورق الرسم البياني. تحتوي الشبكة على خطوط أفقية ورأسية تُساعدك على رؤية الحركة. عند ترجمة شكل، تتحرك كل نقطة منه بنفس متجه الترجمة. هذا يعني أن الشكل بأكمله يبقى على حاله ويبدو تمامًا كما كان من قبل، ولكن في جزء مختلف من الشبكة.
تخيل مربعًا صغيرًا إحدى زواياه عند \( (1, 1) \) وزواياه الأخرى عند \( (1, 2) \) \( (2, 2) \) و \( (2, 1) \) . إذا حوّلت هذا المربع باستخدام المتجه \( (3, -1) \) يتحرك كل زاوية بإضافة 3 إلى إحداثي x وطرح 1 من إحداثي y. على سبيل المثال، تتحرك الزاوية \( (1, 1) \) إلى \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
لنترجم نقطة واحدة لنرى العملية عمليًا. لنأخذ النقطة \( (2, 3) \) . نريد ترجمتها باستخدام متجه الترجمة \( (4, 5) \) . اتبع الخطوات البسيطة التالية:
الخطوة 1: تحديد النقطة الأصلية: \( (2, 3) \) .
الخطوة 2: تحديد متجه الترجمة: \( (4, 5) \) .
الخطوة 3: أضف القيم الأفقية: \( 2 + 4 = 6 \) .
الخطوة 4: أضف القيم الرأسية: \( 3 + 5 = 8 \) .
الخطوة 5: اكتب النقطة الجديدة: \( (6, 8) \) .
وبالتالي، بعد الترجمة، تصبح النقطة \( (2, 3) \) هي \( (6, 8) \) .
الآن، لنترجم مثلثًا. لنفترض أن للمثلث ثلاثة رؤوس عند \( (1, 2) \) و \( (3, 4) \) و \( (5, 2) \) . نستخدم متجه الترجمة \( (2, -1) \) . إليك الطريقة:
الخطوة 1: بالنسبة للرأس الأول \( (1, 2) \) :
الرأس الجديد = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
الخطوة 2: بالنسبة للرأس الثاني \( (3, 4) \) :
الرأس الجديد = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
الخطوة 3: بالنسبة للرأس الثالث \( (5, 2) \) :
الرأس الجديد = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
رؤوس المثلث الجديدة هي \( (3, 1) \) و \( (5, 3) \) و \( (7, 1) \) .
لنرَ كيفية تحويل مستطيل. لنفترض أن لديك مستطيلًا بزوايا عند \( (0, 0) \) و \( (0, 3) \) و \( (4, 3) \) و \( (4, 0) \) . نريد تحويل هذا المستطيل باستخدام المتجه \( (3, 2) \) . اتبع الخطوات التالية:
الخطوة 1: بالنسبة للزاوية \( (0, 0) \) :
الزاوية الجديدة = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
الخطوة 2: بالنسبة للزاوية \( (0, 3) \) :
الزاوية الجديدة = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
الخطوة 3: بالنسبة للزاوية \( (4, 3) \) :
الزاوية الجديدة = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
الخطوة 4: بالنسبة للزاوية \( (4, 0) \) :
الزاوية الجديدة = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
ينتقل المستطيل إلى زوايا جديدة عند \( (3, 2) \) و \( (3, 5) \) و \( (7, 5) \) و \( (7, 2) \) .
الترجمات ليست مخصصة لمسائل الرياضيات فحسب، بل نراها في حياتنا اليومية. تخيل نقل قطعة أثاث من جانب غرفة إلى آخر. يبقى الأثاث كما هو تمامًا، لكن يتغير موقعه. هذه ترجمة واقعية.
مثال آخر هو زحليقة في ملعب. عندما تنزلق، تتحرك في خط مستقيم من الأعلى إلى الأسفل. لا تدور أو تنقلب؛ بل تتحرك ببساطة من مكان إلى آخر، تمامًا مثل الانتقال في الهندسة.
في ألعاب الكمبيوتر والرسوم المتحركة، تتحرك الشخصيات والأشياء باستمرار. كل حركة تُغيّر شكل الجسم دون تغييره تُعدّ نقلة نوعية. هذا يُساعد الكمبيوتر على عرض رسوم متحركة سلسة، حيث يتحرك كل شيء بشكل منظم.
تتمتع الترجمات بخصائص خاصة تجعل من السهل التعامل معها:
لا دوران: لا يدور الجسم ولا يغير اتجاهه، بل ينزلق إلى مكان جديد.
لا انعكاس: الجسم غير مقلوب، بل يبقى على حاله، ولكن في مكان مختلف.
لا تغيير في الحجم: لا يكبر الجسم ولا يصغر، بل يبقى حجمه وشكله كما كانا.
تُظهر هذه الخصائص أن الانتقالات نوع من الحركة الصلبة . تُحافظ الحركات الصلبة على ثبات الشكل، ولا يتغير إلا موضعه.
يتكون المستوى الإحداثي من المحورين السيني والصادي. تُحدَّد كل نقطة بواسطة إحداثياتها السينية والصادية. عند إجراء عملية نقل، نغيّر هذه الإحداثيات بإضافة قيم المتجه.
على سبيل المثال، إذا كانت نقطة عند \( (x, y) \) واستخدمنا متجه ترجمة \( (h, k) \) ، تصبح النقطة الجديدة \( (x+h, y+k) \) . تنطبق هذه القاعدة نفسها سواء كنت تُحرّك نقطة واحدة أو شكلًا كاملًا مثل مثلث أو مستطيل.
تساعدك الشبكة الواضحة على تصوّر الترجمات. ارسم النقطة على الشبكة، ثم أضف المتجه، وارسم النقطة الجديدة. سيوضح لك هذا بدقة المسافة والاتجاه الذي تحركت فيه النقطة.
أحيانًا، قد ترى شكلًا في مكان ما ثم تراه في مكان آخر. يمكنك تحديد متجه الترجمة بمقارنة إحداثيات نقطة في الموضع الأصلي مع نقطة في الموضع الجديد.
على سبيل المثال، إذا تحركت نقطة من \( (2, 5) \) إلى \( (7, 8) \) ، يتم تحديد متجه الترجمة بواسطة:
اطرح إحداثيات x: \( 7 - 2 = 5 \) .
اطرح إحداثيات y: \( 8 - 5 = 3 \) .
متجه الترجمة هنا هو \( (5, 3) \) .
يُعد استخدام الشبكة طريقة مفيدة لمشاهدة الترجمات أثناء العمل. عند العمل على الشبكة، يمكنك تحديد كلٍّ من النقطة الأصلية والنقطة الجديدة. تُسهّل هذه المساعدة البصرية فهم مدى تحرك النقطة.
تستخدم العديد من مسائل الرياضيات ورق الرسم البياني أو الشبكات الرقمية. سواءً كنت ترسم يدويًا أو باستخدام برنامج حاسوبي، تذكر دائمًا أن الحركة تُحرّك كل جزء من الشكل بنفس المقدار.
عندما تتدرب على الشبكات، فإنك تبني أساسًا قويًا لفهم الحركات الأكثر تعقيدًا في الهندسة لاحقًا.
لحل المشكلات المتعلقة بالترجمة، اتبع الخطوات الواضحة التالية:
الخطوة 1: اقرأ المشكلة بعناية وحدد ما يتم ترجمته.
الخطوة 2: اكتب الإحداثيات الأصلية لكل نقطة أو رأس.
الخطوة 3: تحديد متجه الترجمة المقدم في المشكلة.
الخطوة 4: أضف المكون الأفقي للمتجه إلى كل إحداثي x.
الخطوة 5: أضف المكون الرأسي للمتجه إلى كل إحداثي y.
الخطوة 6: اكتب الإحداثيات الجديدة، التي تمثل النقاط المترجمة.
هذه الطريقة خطوة بخطوة تعمل على حل أي مشكلة في الترجمة وتساعدك على حلها بسهولة وبشكل صحيح.
تُستخدم الترجمات في العديد من المواقف الواقعية. إليك بعض الأمثلة:
الرسوم المتحركة والرسوم الحاسوبية: في ألعاب الفيديو والرسوم المتحركة، تُنقل الشخصيات والأشياء عبر الشاشة باستخدام الترجمة. وتُحدَّث مواقعها باستمرار مع تغير المشاهد.
الروبوتات: غالبًا ما تحتاج الروبوتات إلى الانتقال من نقطة إلى أخرى. باستخدام عمليات النقل، تحسب الروبوتات المسافة والاتجاه اللازمين لتحريك أذرعها أو عجلاتها لالتقاط الأشياء أو التنقل في مكان ما.
الهندسة المعمارية والتصميم: عند تصميم المباني أو إنشاء الأنماط، يستخدم المهندسون المعماريون والمصممون الترجمات لتكرار العناصر. هذا يضمن اتساق الأنماط وتناسقها طوال عملهم.
الحركات اليومية: عندما تُمرر كتابًا على طاولة، فأنت تُجري عملية نقل حقيقية. يُنقل الكتاب ببساطة من مكان إلى آخر دون تغيير شكله أو حجمه.
تُظهر كل هذه الأمثلة أن الترجمات عملية ومفيدة في مجالات عديدة، فهي تُساعد على الحفاظ على سلامة الكائن مع تغيير موقعه ببساطة.
مع أننا ركزنا في هذا الدرس على الترجمات الصرفة، من المهم معرفة أنه يمكن أحيانًا دمج الترجمات مع حركات أخرى. في بعض المسائل، قد تلاحظ أيضًا دورانًا أو انعكاسًا. مع ذلك، في الترجمة الصرفة، لا يوجد سوى حركة؛ لا يوجد دوران أو انقلاب أو تغيير حجم.
بالتركيز على الترجمات الصرفة، يمكنك بناء فهم متين للحركة الأساسية. لاحقًا، ومع تقدمك في دراستك، ستتعلم كيفية دمج الترجمات مع أنواع أخرى من التحويلات.
تخيل رسم شكل صغير، كقلب أو نجمة، على ورقة. الآن، تخيل تحريك الشكل إلى جزء مختلف من الورقة. تتحرك كل نقطة من نقاط الشكل بنفس المسافة وفي نفس الاتجاه. هذا الإجراء مشابه لنقل الشكل في الهندسة الإحداثية.
عندما ترى أشياءً في حياتك اليومية تتحرك من موضع إلى آخر دون تغيير، فأنت تشهد انتقالاتٍ فعلية. هذه الفكرة البسيطة جزءٌ أساسيٌّ من فهم سلوك الأشكال على شبكة الإحداثيات.
فيما يلي مراجعة سريعة للنقاط الرئيسية حول الترجمات:
التعريف: الترجمة هي تحريك نقطة أو شكل دون تغيير حجمه أو شكله أو اتجاهه.
متجه الترجمة: يُشير المتجه \( (h, k) \) إلى المسافة والاتجاه المطلوبين للتحرك. يُحرك الرقم \( h \) الجسم أفقيًا، بينما يُحركه \( k \) رأسيًا.
الصيغة: لنقل نقطة \( (x, y) \) ، أضف المتجه للحصول على النقطة الجديدة: \( (x+h, \, y+k) \) .
التناسق: تتحرك كل نقطة في الشكل بنفس المقدار عند تطبيق الترجمة.
الاستخدامات في العالم الحقيقي: من رسومات الكمبيوتر والروبوتات إلى الإجراءات اليومية مثل تحريك كتاب، تعد الترجمات نوعًا شائعًا من الحركة.
ضع هذه النقاط في اعتبارك عند العمل على الترجمات. فهي ستساعدك على فهم ليس فقط الهندسة، بل أيضًا العديد من التطبيقات خارج الرياضيات.
في هذا الدرس، تعلمنا عن الترجمات في الهندسة الإحداثية. استكشفنا الأفكار الرئيسية التالية:
تقوم الترجمة بتحريك نقطة أو شكل دون تغيير حجمه أو شكله أو اتجاهه.
يظهر متجه الترجمة، المكتوب على هيئة \( (h, k) \) ، الحركة أفقيًا ورأسيًا.
صيغة الترجمة بسيطة: النقطة \( (x,y) \) تصبح \( (x+h, y+k) \) بعد الترجمة.
تتحرك جميع النقاط في الشكل بشكل متساوٍ عند تطبيق الترجمة، مما يبقي الكائن سليمًا.
تُعد الترجمات مفيدة في العديد من التطبيقات في العالم الحقيقي مثل رسومات الكمبيوتر، والروبوتات، والتصميم.
من خلال ممارسة التحويلات وتطبيق الخطوات في مسائل متنوعة، ستزداد ثقتك في استخدام هندسة الإحداثيات. تذكر أن التحويل ببساطة يُغيّر موضع الجسم مع الحفاظ على ثبات كل شيء آخر حوله.
قدّم لك هذا الدرس مقدمةً عن الترجمات. بهذه الأفكار، يمكنك استكشاف المزيد حول كيفية حركة الأجسام وتفاعلها على الشبكة. تدرب على هذه الخطوات، وسرعان ما ستجد أن العمل مع الترجمات بسيط وممتع في آنٍ واحد.
استمتع باكتشاف المزيد عن الهندسة والطرق العديدة التي تساعدنا على فهم العالم من حولنا. مع استمرارك في التعلم، ستُشكل هذه المفاهيم أساسًا لمواضيع أخرى مثل الدوران والانعكاس والتحويلات الأكثر تعقيدًا.
