این درس ایده انتقال در هندسه مختصات را معرفی می‌کند. انتقال روشی برای جابجایی یک نقطه یا شکل از یک مکان به مکان دیگر روی یک شبکه بدون تغییر اندازه، شکل یا جهت آن است. ما از زبان ساده و مثال‌های واضح برای کمک به شما در درک این مفهوم مهم استفاده خواهیم کرد.
انتقال مانند لغزاندن یک جسم روی میز است. تصور کنید که یک ماشین اسباب‌بازی دارید. وقتی آن را هل می‌دهید، ماشین بدون چرخیدن یا واژگون شدن از یک نقطه به نقطه دیگر حرکت می‌کند. در انتقال، هر قسمت از یک شکل، مسافت یکسانی را در یک جهت حرکت می‌دهد. این بدان معناست که شکل دقیقاً یکسان باقی می‌ماند اما در مکان جدیدی ظاهر می‌شود.
در هندسه مختصات، نقاط را با استفاده از یک شبکه مطالعه می‌کنیم. این شبکه دو خط مهم دارد: محور x (افقی) و محور y (عمودی). هر نقطه روی شبکه دارای یک مختصات x و یک مختصات y است. وقتی یک نقطه را جابجا می‌کنیم، این اعداد را به روشی قابل پیش‌بینی تغییر می‌دهیم.
یک انتقال از چیزی به نام بردار انتقال استفاده می‌کند. این بردار به شما می‌گوید که یک نقطه یا شکل را چقدر باید حرکت دهید. یک بردار انتقال دو بخش دارد: بخش افقی و بخش عمودی. ما آن را به صورت \( (h, k) \) می‌نویسیم.
عدد \( h \) به ما می‌گوید که چقدر به سمت راست (اگر \( h \) مثبت باشد) یا چپ (اگر \( h \) منفی باشد) حرکت کنیم. عدد \( k \) به ما می‌گوید که چقدر به سمت بالا (اگر \( k \) مثبت باشد) یا پایین (اگر \( k \) منفی باشد) حرکت کنیم. برای مثال، بردار \( (3, -2) \) به معنی حرکت 3 واحد به سمت راست و 2 واحد به سمت پایین است.
وقتی یک نقطه را منتقل می‌کنید، بردار انتقال را به مختصات نقطه اضافه می‌کنید. اگر نقطه‌ای به صورت \( (x, y) \) نوشته شود و بردار انتقال \( (h, k) \) باشد، نقطه جدید به صورت زیر خواهد بود:
\( (x + h, \, y + k) \)
برای مثال، اگر نقطه‌ای \( (2, 3) \) داشته باشید و آن را با بردار \( (1, 2) \) جابجا کنید، نقطه جدید به صورت زیر خواهد بود:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
این قانون ساده برای هر انتقال در شبکه مختصات استفاده می‌شود.
شما می‌توانید انتقال‌ها را روی کاغذ شطرنجی ببینید. یک شبکه دارای خطوط افقی و عمودی است که به شما کمک می‌کند حرکت را ببینید. وقتی یک شکل انتقال می‌یابد، هر نقطه از شکل با بردار انتقال یکسانی حرکت می‌کند. این بدان معناست که کل شکل به همان شکل باقی می‌ماند و دقیقاً مانند قبل به نظر می‌رسد، فقط در قسمت دیگری از شبکه.
یک مربع کوچک را تصور کنید که یک گوشه آن در \( (1, 1) \) و گوشه‌های دیگر آن در \( (1, 2) \) ، \( (2, 2) \) و \( (2, 1) \) . اگر این مربع را با بردار \( (3, -1) \) جابجا کنید، هر گوشه با اضافه کردن ۳ به مختصات x و کم کردن ۱ از مختصات y حرکت می‌کند. به عنوان مثال، گوشه \( (1, 1) \) به \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) حرکت می‌کند.
بیایید یک نقطه واحد را منتقل کنیم تا فرآیند را در عمل ببینیم. نقطه \( (2, 3) \) را در نظر بگیرید. ما می‌خواهیم این نقطه را با استفاده از بردار انتقال \( (4, 5) \) منتقل کنیم. این مراحل ساده را دنبال کنید:
مرحله 1: نقطه اصلی را مشخص کنید: \( (2, 3) \) .
مرحله ۲: بردار انتقال را شناسایی کنید: \( (4, 5) \) .
مرحله ۳: مقادیر افقی را جمع کنید: \( 2 + 4 = 6 \) .
مرحله ۴: مقادیر عمودی را جمع کنید: \( 3 + 5 = 8 \) .
مرحله ۵: نقطه جدید را بنویسید: \( (6, 8) \) .
بنابراین، پس از انتقال، نقطه \( (2, 3) \) به \( (6, 8) \) تبدیل می‌شود.
حالا، بیایید یک مثلث را جابجا کنیم. فرض کنید مثلث دارای سه رأس در \( (1, 2) \) ، \( (3, 4) \) و \( (5, 2) \) . ما از بردار جابجائی \( (2, -1) \) استفاده می‌کنیم. نحوه انجام این کار به این صورت است:
مرحله ۱: برای اولین رأس \( (1, 2) \) :
رأس جدید = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
مرحله ۲: برای رأس دوم \( (3, 4) \) :
رأس جدید = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
مرحله ۳: برای رأس سوم \( (5, 2) \) :
رأس جدید = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
رئوس جدید مثلث عبارتند از \( (3, 1) \) ، \( (5, 3) \) و \( (7, 1) \) .
بیایید ببینیم چگونه یک مستطیل را جابجا کنیم. فرض کنید مستطیلی با گوشه‌هایی در \( (0, 0) \) ، \( (0, 3) \) ، \( (4, 3) \) و \( (4, 0) \) . ما می‌خواهیم این مستطیل را با استفاده از بردار \( (3, 2) \) جابجا کنیم. این مراحل را دنبال کنید:
مرحله ۱: برای گوشه \( (0, 0) \) :
گوشه جدید = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
مرحله ۲: برای گوشه \( (0, 3) \) :
گوشه جدید = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
مرحله ۳: برای گوشه \( (4, 3) \) :
گوشه جدید = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
مرحله ۴: برای گوشه \( (4, 0) \) :
گوشه جدید = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
مستطیل به گوشه‌های جدید در \( (3, 2) \) ، \( (3, 5) \) ، \( (7, 5) \) و \( (7, 2) \) حرکت می‌کند.
ترجمه‌ها فقط برای مسائل ریاضی نیستند. ما آنها را در زندگی روزمره خود می‌بینیم. تصور کنید که یک قطعه مبلمان را از یک طرف اتاق به طرف دیگر منتقل می‌کنید. مبلمان دقیقاً همانطور که هست باقی می‌ماند اما مکان آن تغییر می‌کند. این یک ترجمه در زندگی واقعی است.
مثال دیگر، سرسره در زمین بازی است. وقتی سر می‌خورید، در یک خط مستقیم از بالا به پایین حرکت می‌کنید. شما نمی‌چرخید یا واژگون نمی‌شوید؛ شما به سادگی از یک مکان به مکان دیگر حرکت می‌کنید، دقیقاً مانند انتقال در هندسه.
در بازی‌های کامپیوتری و انیمیشن‌ها، شخصیت‌ها و اشیاء دائماً در حال حرکت هستند. هر حرکتی که یک شیء را بدون تغییر شکل آن جابجا کند، یک انتقال است. این به کامپیوتر کمک می‌کند تا انیمیشن‌های روان را نشان دهد که در آن همه چیز به طور منظم حرکت می‌کند.
ترجمه‌ها ویژگی‌های خاصی دارند که کار با آنها را آسان می‌کند:
بدون چرخش: جسم نمی‌چرخد یا جهت خود را تغییر نمی‌دهد. فقط به مکان جدیدی می‌لغزد.
بدون بازتاب: جسم برگردانده نمی‌شود. به همان شکل باقی می‌ماند، فقط در مکان دیگری قرار می‌گیرد.
بدون تغییر در اندازه: جسم بزرگتر یا کوچکتر نمی‌شود. اندازه و شکل آن دقیقاً مانند قبل باقی می‌ماند.
این ویژگی‌ها نشان می‌دهند که انتقال‌ها نوعی حرکت صلب هستند. حرکات صلب، شکل را بدون تغییر نگه می‌دارند و فقط موقعیت آن تغییر می‌کند.
صفحه مختصات از محور x و محور y تشکیل شده است. هر نقطه توسط مختصات x و y خود مکان‌یابی می‌شود. هنگام انجام انتقال، این مختصات را با جمع مقادیر بردار تغییر می‌دهیم.
برای مثال، اگر یک نقطه در \( (x, y) \) باشد و ما از یک بردار انتقال \( (h, k) \) استفاده کنیم، نقطه جدید به \( (x+h, y+k) \) تبدیل می‌شود. همین قانون چه در حال حرکت یک نقطه واحد باشید و چه کل یک شکل مانند مثلث یا مستطیل، اعمال می‌شود.
یک شبکه‌ی واضح به شما کمک می‌کند تا انتقال‌ها را تجسم کنید. نقطه را روی شبکه رسم کنید، سپس بردار را اضافه کنید و نقطه‌ی جدید را رسم کنید. این کار دقیقاً به شما نشان می‌دهد که نقطه چقدر و در چه جهتی حرکت کرده است.
گاهی اوقات، ممکن است شکلی را در یک مکان ببینید و سپس همان شکل را در جای دیگری نیز ببینید. می‌توانید بردار انتقال را با مقایسه مختصات یک نقطه در موقعیت اولیه با نقطه‌ای در موقعیت جدید، محاسبه کنید.
برای مثال، اگر یک نقطه از \( (2, 5) \) به \( (7, 8) \) حرکت کند، بردار انتقال به صورت زیر تعیین می‌شود:
مختصات x را از هم کم کنید: \( 7 - 2 = 5 \) .
مختصات y را از هم کم کنید: \( 8 - 5 = 3 \) .
بردار انتقال در اینجا \( (5, 3) \) است.
استفاده از شبکه روشی مفید برای مشاهده‌ی جابجایی‌ها در عمل است. وقتی روی یک شبکه کار می‌کنید، می‌توانید هم نقطه‌ی اصلی و هم نقطه‌ی جدید را علامت‌گذاری کنید. این ابزار بصری، درک میزان جابجایی یک نقطه را آسان‌تر می‌کند.
بسیاری از مسائل ریاضی از کاغذ شطرنجی یا شبکه‌های دیجیتال استفاده می‌کنند. چه با دست رسم کنید و چه از یک برنامه کامپیوتری استفاده کنید، همیشه به یاد داشته باشید که یک انتقال، هر قسمت از یک شکل را به یک اندازه جابجا می‌کند.
وقتی با شبکه‌ها تمرین می‌کنید، پایه محکمی برای درک حرکات پیچیده‌تر در هندسه در آینده ایجاد می‌کنید.
برای حل مشکلات مربوط به ترجمه، این مراحل واضح را دنبال کنید:
مرحله ۱: صورت مسئله را با دقت بخوانید و مشخص کنید که چه چیزی ترجمه می‌شود.
مرحله ۲: مختصات اولیه هر نقطه یا رأس را بنویسید.
مرحله ۳: بردار انتقال ارائه شده در مسئله را شناسایی کنید.
مرحله ۴: مولفه افقی بردار را به هر مختصات x اضافه کنید.
مرحله ۵: مولفه عمودی بردار را به هر مختصات y اضافه کنید.
مرحله ۶: مختصات جدید را بنویسید که نشان‌دهنده نقاط منتقل شده هستند.
این روش گام به گام برای هر مشکل ترجمه‌ای کار می‌کند و به شما کمک می‌کند تا آنها را به راحتی و به درستی حل کنید.
ترجمه‌ها در بسیاری از موقعیت‌های دنیای واقعی استفاده می‌شوند. در اینجا چند مثال آورده شده است:
گرافیک و انیمیشن کامپیوتری: در بازی‌های ویدیویی و کارتون‌ها، شخصیت‌ها و اشیاء با استفاده از ترجمه‌ها در صفحه نمایش حرکت داده می‌شوند. موقعیت آنها با تغییر صحنه‌ها به طور مداوم به‌روزرسانی می‌شود.
رباتیک: ربات‌ها اغلب نیاز دارند از یک نقطه به نقطه دیگر حرکت کنند. با استفاده از انتقال، ربات‌ها محاسبه می‌کنند که برای برداشتن اشیاء یا پیمایش در یک فضا، بازوها یا چرخ‌های خود را تا چه حد و در کدام جهت حرکت دهند.
معماری و طراحی: معماران و طراحان هنگام طراحی ساختمان‌ها یا ایجاد الگوها، از انتقال‌ها برای تکرار عناصر استفاده می‌کنند. این امر تضمین می‌کند که الگوها در طول کارشان سازگار و متناسب باقی بمانند.
حرکات روزمره: وقتی کتابی را روی میز می‌لغزانید، در واقع یک ترجمه واقعی انجام می‌دهید. کتاب به سادگی از یک مکان به مکان دیگر منتقل می‌شود، بدون اینکه شکل یا اندازه آن تغییر کند.
همه این مثال‌ها نشان می‌دهند که انتقال‌ها در بسیاری از زمینه‌ها کاربردی و مفید هستند. آنها به حفظ یکپارچگی شیء کمک می‌کنند در حالی که به سادگی موقعیت آن را تغییر می‌دهند.
اگرچه در این درس بر انتقال‌های محض تمرکز کرده‌ایم، اما مهم است بدانید که انتقال‌ها گاهی اوقات می‌توانند با سایر حرکات ترکیب شوند. در برخی از مسائل، ممکن است چرخش‌ها یا بازتاب‌ها را نیز ببینید. با این حال، در یک انتقال محض، فقط حرکت وجود دارد؛ هیچ چرخش، وارونه شدن یا تغییر اندازه‌ای وجود ندارد.
با تمرکز بر تبدیل‌های محض، می‌توانید درک کاملی از حرکت اساسی ایجاد کنید. بعداً، با پیشرفت در مطالعات خود، یاد خواهید گرفت که چگونه تبدیل‌ها را با انواع دیگر تبدیل‌ها ترکیب کنید.
رسم یک شکل کوچک، مانند قلب یا ستاره، را روی یک تکه کاغذ در نظر بگیرید. حالا تصور کنید که شکل را به قسمت دیگری از کاغذ می‌لغزانید. هر نقطه‌ای که شکل را تشکیل می‌دهد، مسافت یکسانی را در جهت یکسانی حرکت می‌کند. این عمل مشابه انتقال شکل در هندسه مختصات است.
وقتی در زندگی روزمره خود اشیایی را می‌بینید که بدون تغییر از یک موقعیت به موقعیت دیگر منتقل می‌شوند، در واقع شاهد انتقال در عمل هستید. این ایده ساده بخش کلیدی درک چگونگی رفتار اشکال در یک شبکه مختصات است.
در اینجا مروری سریع بر نکات کلیدی در مورد ترجمه‌ها داریم:
تعریف: انتقال، یک نقطه یا شکل را بدون تغییر اندازه، شکل یا جهت آن جابجا می‌کند.
بردار انتقال: بردار \( (h, k) \) به شما می‌گوید که تا چه اندازه و در چه جهتی باید حرکت کنید. عدد \( h \) جسم را به صورت افقی و \( k \) آن را به صورت عمودی حرکت می‌دهد.
فرمول: برای انتقال یک نقطه \( (x, y) \) ، بردار را برای بدست آوردن نقطه جدید اضافه کنید: \( (x+h, \, y+k) \) .
ثبات: هر نقطه در یک شکل هنگام اعمال انتقال، به یک اندازه حرکت می‌کند.
کاربردهای دنیای واقعی: از گرافیک کامپیوتری و رباتیک گرفته تا کارهای روزمره مانند سر دادن کتاب، حرکت‌های انتقالی نوعی حرکت رایج هستند.
هنگام کار با ترجمه‌ها این نکات را در نظر داشته باشید. آنها به شما کمک می‌کنند نه تنها هندسه، بلکه بسیاری از کاربردهای خارج از ریاضیات را نیز درک کنید.
در این درس، ما در مورد انتقال در هندسه مختصات آموختیم. ما این ایده‌های اصلی را بررسی کردیم:
یک انتقال، یک نقطه یا شکل را بدون تغییر اندازه، شکل یا جهت آن جابجا می‌کند.
بردار انتقال، که به صورت \( (h, k) \) نوشته می‌شود، حرکت را به صورت افقی و عمودی نشان می‌دهد.
فرمول انتقال ساده است: یک نقطه \( (x,y) \) پس از انتقال به \( (x+h, y+k) \) تبدیل می‌شود.
تمام نقاط یک شکل هنگام اعمال انتقال به طور مساوی حرکت می‌کنند و جسم را دست نخورده نگه می‌دارند.
ترجمه‌ها در بسیاری از کاربردهای دنیای واقعی مانند گرافیک کامپیوتری، رباتیک و طراحی مفید هستند.
با تمرین انتقال‌ها و به‌کارگیری مراحل در مسائل مختلف، در استفاده از هندسه مختصات اعتماد به نفس بیشتری پیدا خواهید کرد. به یاد داشته باشید که انتقال صرفاً موقعیت یک جسم را تغییر می‌دهد در حالی که سایر موارد مربوط به آن ثابت می‌ماند.
این درس مقدمه‌ای بر انتقال‌ها به شما ارائه داد. با این ایده‌ها، می‌توانید در مورد نحوه حرکت و تعامل اشیاء روی یک شبکه بیشتر کاوش کنید. این مراحل را تمرین کنید و به زودی متوجه خواهید شد که کار با انتقال‌ها هم ساده و هم لذت‌بخش است.
از کشف بیشتر در مورد هندسه و روش‌های مختلفی که به ما در درک جهان اطرافمان کمک می‌کند، لذت ببرید. با ادامه یادگیری، این مفاهیم به عنوان بلوک‌های سازنده برای مباحث دیگر مانند چرخش‌ها، بازتاب‌ها و تبدیل‌های پیچیده‌تر عمل خواهند کرد.
