Cette leçon présente le concept de translation en géométrie coordonnée. Une translation permet de déplacer un point ou une forme d'un point à un autre sur une grille sans modifier sa taille, sa forme ou son orientation. Nous utiliserons un langage simple et des exemples clairs pour vous aider à comprendre ce concept important.
Une translation est comparable au déplacement d'un objet sur une table. Imaginez une petite voiture. Lorsque vous la poussez, elle se déplace d'un point à un autre sans tourner ni se renverser. Lors d'une translation, chaque partie d'une forme se déplace de la même distance dans la même direction. Cela signifie que la forme reste exactement la même, mais apparaît à un nouvel emplacement.
En géométrie coordonnée, nous étudions les points à l'aide d'une grille. Cette grille comporte deux axes importants : l'axe des x (horizontal) et l'axe des y (vertical). Chaque point de la grille possède une coordonnée x et une coordonnée y. La translation d'un point modifie ces valeurs de manière prévisible.
Une translation utilise un vecteur de translation . Ce vecteur indique l'amplitude du déplacement d'un point ou d'une forme. Un vecteur de translation est composé de deux parties : horizontale et verticale. On l'écrit \( (h, k) \) .
Le nombre \( h \) nous indique jusqu'où se déplacer vers la droite (si \( h \) est positif) ou vers la gauche (si \( h \) est négatif). Le nombre \( k \) nous indique jusqu'où se déplacer vers le haut (si \( k \) est positif) ou vers le bas (si \( k \) est négatif). Par exemple, le vecteur \( (3, -2) \) signifie se déplacer de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas.
Lors de la translation d'un point, le vecteur de translation est ajouté à ses coordonnées. Si un point s'écrit \( (x, y) \) et que le vecteur de translation est \( (h, k) \) , le nouveau point sera :
\( (x + h, \, y + k) \)
Par exemple, si vous avez un point \( (2, 3) \) et que vous le translatez avec le vecteur \( (1, 2) \) , le nouveau point sera :
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Cette règle simple est utilisée pour chaque translation dans la grille de coordonnées.
Vous pouvez observer les translations sur du papier millimétré. Une grille comporte des lignes horizontales et verticales qui permettent de visualiser le mouvement. Lorsqu'une forme est translate, chaque point de la forme se déplace selon le même vecteur de translation. Cela signifie que la forme entière conserve sa forme et son aspect initial, mais dans une partie différente de la grille.
Imaginez un petit carré avec un coin à \( (1, 1) \) , et les autres coins à \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) , et \( (2, 1) \) . Si vous translatez ce carré avec le vecteur \( (3, -1) \) , chaque coin se déplace en ajoutant 3 à la coordonnée x et en soustrayant 1 à la coordonnée y. Par exemple, le coin \( (1, 1) \) se déplace à \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Pour observer le processus, transposons un point unique. Prenons le point \( (2, 3) \) . Nous souhaitons le transposer à l'aide du vecteur de translation \( (4, 5) \) . Suivez ces étapes simples :
Étape 1 : Identifiez le point d'origine : \( (2, 3) \) .
Étape 2 : Identifiez le vecteur de translation : \( (4, 5) \) .
Étape 3 : Additionnez les valeurs horizontales : \( 2 + 4 = 6 \) .
Étape 4 : Additionnez les valeurs verticales : \( 3 + 5 = 8 \) .
Étape 5 : Écrivez le nouveau point : \( (6, 8) \) .
Ainsi, après la translation, le point \( (2, 3) \) devient \( (6, 8) \) .
Maintenant, translateons un triangle. Supposons que le triangle possède trois sommets à \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) et \( (5, 2) \) . Nous utilisons le vecteur de translation \( (2, -1) \) . Voici comment procéder :
Étape 1 : Pour le premier sommet \( (1, 2) \) :
Nouveau sommet = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Étape 2 : Pour le deuxième sommet \( (3, 4) \) :
Nouveau sommet = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Étape 3 : Pour le troisième sommet \( (5, 2) \) :
Nouveau sommet = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Les nouveaux sommets du triangle sont \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) et \( (7, 1) \) .
Voyons comment translater un rectangle. Supposons que vous ayez un rectangle dont les angles sont \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) et \( (4, 0) \) . Nous souhaitons translater ce rectangle à l'aide du vecteur \( (3, 2) \) . Suivez ces étapes :
Étape 1 : Pour le coin \( (0, 0) \) :
Nouveau coin = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Étape 2 : Pour le coin \( (0, 3) \) :
Nouveau coin = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Étape 3 : Pour le coin \( (4, 3) \) :
Nouveau coin = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Étape 4 : Pour le coin \( (4, 0) \) :
Nouveau coin = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Le rectangle se déplace vers de nouveaux coins à \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) et \( (7, 2) \) .
Les traductions ne se limitent pas aux problèmes mathématiques. Nous les observons au quotidien. Imaginez déplacer un meuble d'un côté à l'autre d'une pièce. Le meuble reste exactement le même, mais change de place. Il s'agit d'une traduction concrète.
Un autre exemple est celui d'un toboggan dans une aire de jeux. Lorsque vous glissez, vous vous déplacez en ligne droite du haut vers le bas. Vous ne tournez pas sur vous-même ni ne vous retournez ; vous vous déplacez simplement d'un endroit à un autre, un peu comme une translation en géométrie.
Dans les jeux vidéo et les animations, les personnages et les objets sont en mouvement constant. Chaque mouvement qui déplace un objet sans en modifier la forme est une translation. Cela permet à l'ordinateur de produire des animations fluides où tout se déplace de manière ordonnée.
Les traductions ont des propriétés spéciales qui les rendent faciles à utiliser :
Aucune rotation : l'objet ne tourne pas et ne change pas de direction. Il glisse simplement vers un nouvel emplacement.
Pas de réflexion : l'objet n'est pas retourné. Il reste inchangé, mais à un endroit différent.
Aucun changement de taille : l'objet ne s'agrandit ni ne rétrécit. Sa taille et sa forme restent identiques.
Ces propriétés montrent que les translations sont un type de mouvement rigide . Les mouvements rigides maintiennent la forme inchangée, seule la position étant modifiée.
Le plan de coordonnées est composé des axes x et y. Chaque point est localisé par ses coordonnées x et y. Lors d'une translation, ces coordonnées sont modifiées en additionnant les valeurs vectorielles.
Par exemple, si un point est à \( (x, y) \) et que nous utilisons un vecteur de translation \( (h, k) \) , le nouveau point devient \( (x+h, y+k) \) . Cette même règle s'applique que vous déplaciez un seul point ou une forme entière comme un triangle ou un rectangle.
Une grille claire vous aide à visualiser les translations. Dessinez le point sur la grille, puis ajoutez le vecteur et tracez le nouveau point. Cela vous montrera précisément la distance et la direction du déplacement du point.
Il arrive parfois qu'une forme soit visible à un endroit, puis à un autre. Vous pouvez déterminer le vecteur de translation en comparant les coordonnées d'un point à sa position initiale avec celles d'un point à sa nouvelle position.
Par exemple, si un point se déplace de \( (2, 5) \) à \( (7, 8) \) , le vecteur de translation est déterminé par :
Soustrayez les coordonnées x : \( 7 - 2 = 5 \) .
Soustrayez les coordonnées y : \( 8 - 5 = 3 \) .
Le vecteur de translation ici est \( (5, 3) \) .
L'utilisation d'une grille est un moyen utile de visualiser les traductions en action. Lorsque vous travaillez sur une grille, vous pouvez marquer à la fois le point d'origine et le nouveau point. Cette aide visuelle permet de mieux comprendre le déplacement d'un point.
De nombreux problèmes mathématiques utilisent du papier millimétré ou des grilles numériques. Que vous dessiniez à la main ou à l'aide d'un logiciel, n'oubliez jamais qu'une translation déplace chaque partie d'une forme de la même valeur.
Lorsque vous pratiquez avec des grilles, vous construisez une base solide pour comprendre des mouvements plus complexes en géométrie plus tard.
Pour résoudre les problèmes impliquant des traductions, suivez ces étapes claires :
Étape 1 : Lisez attentivement le problème et identifiez ce qui est traduit.
Étape 2 : Notez les coordonnées d’origine de chaque point ou sommet.
Étape 3 : Identifiez le vecteur de traduction fourni dans le problème.
Étape 4 : ajoutez la composante horizontale du vecteur à chaque coordonnée x.
Étape 5 : Ajoutez la composante verticale du vecteur à chaque coordonnée y.
Étape 6 : Écrivez les nouvelles coordonnées, qui représentent les points traduits.
Cette méthode étape par étape fonctionne pour tout problème de traduction et vous aide à les résoudre facilement et correctement.
Les traductions sont utilisées dans de nombreuses situations concrètes. En voici quelques exemples :
Infographie et animation : Dans les jeux vidéo et les dessins animés, les personnages et les objets se déplacent à l'écran grâce à des translations. Leurs positions sont mises à jour en permanence au gré des changements de scène.
Robotique : Les robots doivent souvent se déplacer d'un point à un autre. Grâce aux translations, ils calculent la distance et la direction dans lesquelles leurs bras ou leurs roues doivent se déplacer pour ramasser des objets ou se déplacer dans un espace.
Architecture et design : Lors de la conception de bâtiments ou de motifs, les architectes et les designers utilisent des translations pour répéter les éléments. Cela garantit la cohérence et la proportionnalité des motifs tout au long de leur travail.
Mouvements quotidiens : Lorsque vous faites glisser un livre sur une table, vous effectuez une traduction réelle. Le livre est simplement déplacé d'un endroit à un autre sans modifier sa forme ni sa taille.
Tous ces exemples montrent que les traductions sont pratiques et utiles dans de nombreux domaines. Elles permettent de préserver l'intégrité de l'objet tout en modifiant simplement sa position.
Bien que nous ayons mis l'accent sur les translations pures dans cette leçon, il est important de savoir que les translations peuvent parfois être combinées à d'autres mouvements. Dans certains exercices, vous pourrez également observer des rotations ou des réflexions. Cependant, dans une translation pure, il n'y a que du mouvement ; il n'y a ni rotation, ni retournement, ni redimensionnement.
En vous concentrant sur les translations pures, vous pourrez acquérir une solide compréhension du mouvement de base. Plus tard, à mesure que vous progresserez dans vos études, vous apprendrez à combiner les translations avec d'autres types de transformations.
Imaginez dessiner une petite forme, comme un cœur ou une étoile, sur une feuille de papier. Imaginez maintenant que vous faites glisser la forme vers un autre endroit de la feuille. Chaque point qui la compose se déplace de la même distance dans la même direction. Cette action est similaire à la translation de la forme en géométrie coordonnée.
Lorsque vous voyez des objets de votre quotidien se déplacer d'une position à une autre sans changement, vous êtes témoin de translations en action. Cette idée simple est essentielle pour comprendre le comportement des formes sur une grille de coordonnées.
Voici un bref aperçu des points clés concernant les traductions :
Définition : Une translation déplace un point ou une forme sans modifier sa taille, sa forme ou son orientation.
Vecteur de translation : Le vecteur \( (h, k) \) indique la distance et la direction du déplacement. Le nombre \( h \) déplace l'objet horizontalement et \( k \) le déplace verticalement.
Formule : Pour translater un point \( (x, y) \) , ajoutez le vecteur pour obtenir le nouveau point : \( (x+h, \, y+k) \) .
Cohérence : chaque point d'une forme se déplace de la même quantité lorsqu'une translation est appliquée.
Utilisations dans le monde réel : de l'infographie et de la robotique aux actions quotidiennes comme faire glisser un livre, les traductions sont un type de mouvement courant.
Gardez ces points à l'esprit lorsque vous travaillez avec des traductions. Ils vous aideront à comprendre non seulement la géométrie, mais aussi de nombreuses applications extra-mathématiques.
Dans cette leçon, nous avons étudié les translations en géométrie coordonnée. Nous avons exploré les idées centrales suivantes :
Une translation déplace un point ou une forme sans modifier sa taille, sa forme ou son orientation.
Le vecteur de translation, écrit \( (h, k) \) , montre le mouvement horizontalement et verticalement.
La formule de translation est simple : un point \( (x,y) \) devient \( (x+h, y+k) \) après translation.
Tous les points d'une forme se déplacent de manière égale lorsqu'une translation est appliquée, gardant l'objet intact.
Les traductions sont utiles dans de nombreuses applications du monde réel telles que l’infographie, la robotique et la conception.
En pratiquant les translations et en appliquant les étapes de divers problèmes, vous gagnerez en confiance dans l'utilisation de la géométrie coordonnée. N'oubliez pas qu'une translation modifie simplement la position d'un objet tout en conservant le reste inchangé.
Cette leçon vous a présenté les translations. Grâce à ces idées, vous pourrez explorer plus en détail le déplacement et l'interaction des objets sur une grille. Entraînez-vous à suivre ces étapes et vous découvrirez rapidement que travailler avec des translations est à la fois simple et agréable.
Découvrez la géométrie et ses nombreuses façons de comprendre le monde qui nous entoure. Au fil de votre apprentissage, ces concepts serviront de base à d'autres sujets comme les rotations, les réflexions et les transformations plus complexes.
