Ova lekcija uvodi ideju translacija u koordinatnoj geometriji. Translacija je način pomicanja točke ili oblika s jednog mjesta na drugo na mreži bez promjene njegove veličine, oblika ili orijentacije. Koristit ćemo jednostavan jezik i jasne primjere kako bismo vam pomogli da shvatite ovaj važan koncept.
Prijevod je kao pomicanje predmeta po stolu. Zamislite da imate autić. Kada ga gurnete, autić se pomiče s jedne točke na drugu bez okretanja ili prevrtanja. U prijevodima, svaki dio oblika pomiče se za istu udaljenost u istom smjeru. To znači da oblik ostaje potpuno isti, ali se pojavljuje na novoj lokaciji.
U koordinatnoj geometriji proučavamo točke pomoću mreže. Mreža ima dvije važne linije: x-os (horizontalnu) i y-os (vertikalnu). Svaka točka na mreži ima x-koordinatu i y-koordinatu. Kada translatiramo točku, mijenjamo te brojeve na predvidljiv način.
Translacija koristi nešto što se zove vektor translacije . Ovaj vektor vam govori koliko treba pomaknuti točku ili oblik. Vektor translacije ima dva dijela: horizontalni dio i vertikalni dio. Zapisujemo ga kao \( (h, k) \) .
Broj \( h \) nam govori koliko se trebamo pomaknuti udesno (ako je \( h \) pozitivan) ili ulijevo (ako je h negativan). Broj \( k \) nam govori koliko se trebamo pomaknuti gore (ako je \( h \) pozitivan \( k \) ili dolje (ako je \( k \) negativan). Na primjer, vektor \( (3, -2) \) znači pomaknuti se 3 jedinice udesno i 2 jedinice dolje.
Kada translirate točku, koordinatama točke dodajete vektor translacije. Ako je točka zapisana kao \( (x, y) \) i vektor translacije je \( (h, k) \) , tada će nova točka biti:
\( (x + h, \, y + k) \)
Na primjer, ako imate točku \( (2, 3) \) i translirate je vektorom \( (1, 2) \) , nova točka će biti:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Ovo jednostavno pravilo se koristi za svaku translaciju u koordinatnoj mreži.
Translacije možete vidjeti na milimetarskom papiru. Mreža ima horizontalne i vertikalne linije koje vam pomažu da vidite kretanje. Kada se oblik translira, svaka točka oblika pomiče se za isti vektor translacije. To znači da cijeli oblik ostaje u istom obliku i izgleda točno kao i prije, samo u drugom dijelu mreže.
Zamislite mali kvadrat s jednim kutom u \( (1, 1) \) , a ostalim kutovima u \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) i \( (2, 1) \) . Ako translirate ovaj kvadrat vektorom \( (3, -1) \) , svaki kut se pomiče dodavanjem 3 x-koordinati i oduzimanjem 1 od y-koordinate. Na primjer, kut \( (1, 1) \) se pomiče u \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Translirajmo jednu točku kako bismo vidjeli proces u akciji. Razmotrimo točku \( (2, 3) \) . Želimo translirati ovu točku pomoću vektora translacije \( (4, 5) \) . Slijedite ove jednostavne korake:
Korak 1: Odredite početnu točku: \( (2, 3) \) .
Korak 2: Odredite vektor translacije: \( (4, 5) \) .
Korak 3: Zbrojite horizontalne vrijednosti: \( 2 + 4 = 6 \) .
Korak 4: Zbrojite vertikalne vrijednosti: \( 3 + 5 = 8 \) .
Korak 5: Zapišite novu točku: \( (6, 8) \) .
Dakle, nakon translacije, točka \( (2, 3) \) postaje \( (6, 8) \) .
Sada, translirajmo trokut. Pretpostavimo da trokut ima tri vrha u \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) i \( (5, 2) \) . Koristimo vektor translacije \( (2, -1) \) . Evo kako to radite:
Korak 1: Za prvi vrh \( (1, 2) \) :
Novi vrh = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Korak 2: Za drugi vrh \( (3, 4) \) :
Novi vrh = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Korak 3: Za treći vrh \( (5, 2) \) :
Novi vrh = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Novi vrhovi trokuta su \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) i \( (7, 1) \) .
Pogledajmo kako translirati pravokutnik. Pretpostavimo da imate pravokutnik s kutovima u \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) i \( (4, 0) \) . Želimo translirati ovaj pravokutnik pomoću vektora \( (3, 2) \) . Slijedite ove korake:
Korak 1: Za kut \( (0, 0) \) :
Novi kut = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Korak 2: Za kut \( (0, 3) \) :
Novi kut = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Korak 3: Za kut \( (4, 3) \) :
Novi kut = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Korak 4: Za kut \( (4, 0) \) :
Novi kut = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Pravokutnik se pomiče u nove kutove u \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) i \( (7, 2) \) .
Prijevodi nisu samo za matematičke probleme. Viđamo ih u svakodnevnom životu. Zamislite da premještate komad namještaja s jedne strane sobe na drugu. Namještaj ostaje potpuno isti, ali mijenja svoju lokaciju. Ovo je prijevod iz stvarnog života.
Drugi primjer je tobogan na igralištu. Kada se klizate, krećete se ravno od vrha prema dnu. Ne vrtite se niti prevrćete; jednostavno se krećete s jednog mjesta na drugo, slično kao translacija u geometriji.
U računalnim igrama i animacijama, likovi i objekti se stalno kreću. Svaki pokret koji pomiče objekt bez promjene njegovog oblika je translacija. To pomaže računalu da prikazuje glatke animacije gdje se sve kreće na uredan način.
Prijevodi imaju posebna svojstva koja olakšavaju rad s njima:
Bez rotacije: Objekt se ne okreće niti mijenja smjer. Samo se pomiče na novo mjesto.
Bez refleksije: Objekt se ne preokreće. Ostaje na istom mjestu, samo na drugom mjestu.
Nema promjene veličine: Objekt se ne povećava niti smanjuje. Njegova veličina i oblik ostaju točno kao i prije.
Ova svojstva pokazuju da su translacije vrsta krutog gibanja . Kruto gibanje održava oblik nepromijenjenim, mijenja se samo njegov položaj.
Koordinatna ravnina sastoji se od x-osi i y-osi. Svaka točka je locirana svojom x-koordinatom i y-koordinatom. Kada izvodimo translaciju, mijenjamo te koordinate zbrajanjem vektorskih vrijednosti.
Na primjer, ako se točka nalazi u \( (x, y) \) i koristimo vektor translacije \( (h, k) \) , nova točka postaje \( (x+h, y+k) \) . Isto pravilo vrijedi bez obzira pomičete li jednu točku ili cijeli oblik poput trokuta ili pravokutnika.
Jasna mreža pomaže vam u vizualizaciji translacija. Nacrtajte točku na mreži, zatim dodajte vektor i ucrtajte novu točku. To će vam točno pokazati koliko se i u kojem smjeru točka pomaknula.
Ponekad možete vidjeti oblik na jednom mjestu, a zatim ga vidjeti na drugom mjestu. Vektor translacije možete odrediti usporedbom koordinata točke u izvornom položaju s točkom u novom položaju.
Na primjer, ako se točka pomiče iz \( (2, 5) \) u \( (7, 8) \) , vektor translacije određen je sa:
Oduzmite x-koordinate: \( 7 - 2 = 5 \) .
Oduzmite y-koordinate: \( 8 - 5 = 3 \) .
Vektor translacije ovdje je \( (5, 3) \) .
Korištenje mreže koristan je način za praćenje prijevoda u akciji. Kada radite na mreži, možete označiti i izvornu i novu točku. Ovo vizualno pomagalo olakšava razumijevanje koliko se točka pomaknula.
Mnogi matematički problemi koriste milimetarski papir ili digitalne mreže. Bez obzira crtate li ručno ili koristite računalni program, uvijek imajte na umu da translacija pomiče svaki dio oblika za isti iznos.
Kada vježbate s mrežama, gradite snažnu osnovu za kasnije razumijevanje složenijih geometrijskih pokreta.
Za rješavanje problema s prijevodima slijedite ove jasne korake:
Korak 1: Pažljivo pročitajte problem i odredite što se prevodi.
Korak 2: Zapišite izvorne koordinate svake točke ili vrha.
Korak 3: Odredite vektor translacije naveden u problemu.
Korak 4: Svakoj x-koordinati dodajte horizontalnu komponentu vektora.
Korak 5: Svakoj y-koordinati dodajte vertikalnu komponentu vektora.
Korak 6: Zapišite nove koordinate koje predstavljaju translirane točke.
Ova metoda korak po korak funkcionira za bilo koji problem s prijevodom i pomaže vam da ga lako i ispravno riješite.
Prijevodi se koriste u mnogim stvarnim situacijama. Evo nekoliko primjera:
Računalna grafika i animacija: U videoigrama i crtićima, likovi i objekti se pomiču po ekranu pomoću translacija. Njihovi se položaji kontinuirano ažuriraju kako se scene mijenjaju.
Robotika: Roboti se često moraju kretati s jedne točke na drugu. Korištenjem translacija, roboti izračunavaju koliko daleko i u kojem smjeru pomicati ruke ili kotače kako bi podigli predmete ili se kretali prostorom.
Arhitektura i dizajn: Prilikom projektiranja zgrada ili stvaranja uzoraka, arhitekti i dizajneri koriste prijevode za ponavljanje elemenata. To osigurava da uzorci ostanu dosljedni i proporcionalni tijekom cijelog njihovog rada.
Svakodnevni pokreti: Kada gurnete knjigu preko stola, izvodite stvarni prijevod. Knjiga se jednostavno premješta s jednog mjesta na drugo bez promjene oblika ili veličine.
Svi ovi primjeri pokazuju da su prijevodi praktični i korisni u mnogim područjima. Pomažu u održavanju integriteta objekta dok jednostavno mijenjaju njegov položaj.
Iako smo se u ovoj lekciji usredotočili na čiste translacije, važno je znati da se translacije ponekad mogu kombinirati s drugim pokretima. U nekim problemima možete vidjeti i rotacije ili refleksije. Međutim, kod čiste translacije postoji samo kretanje; nema okretanja, zrcanja ili promjene veličine.
Fokusiranjem na čiste prijevode možete izgraditi čvrsto razumijevanje osnovnog pokreta. Kasnije, kako napredujete u svom studiju, naučit ćete kako kombinirati prijevode s drugim vrstama transformacija.
Zamislite crtanje malog oblika, poput srca ili zvijezde, na komadu papira. Sada zamislite da pomičete oblik na drugi dio papira. Svaka točka koja čini oblik pomiče se za istu udaljenost u istom smjeru. Ova radnja je slična prevođenju oblika u koordinatnoj geometriji.
Kada u svakodnevnom životu vidite predmete koji se pomiču s jednog položaja na drugi bez promjene, svjedočite premještanju u akciji. Ova jednostavna ideja ključni je dio razumijevanja kako se oblici ponašaju na koordinatnoj mreži.
Evo kratkog pregleda ključnih točaka o prijevodima:
Definicija: Translacija pomiče točku ili oblik bez promjene njihove veličine, oblika ili orijentacije.
Vektor translacije: Vektor \( (h, k) \) govori koliko daleko i u kojem smjeru se treba pomaknuti. Broj \( h \) pomiče objekt vodoravno, a \( k \) okomito.
Formula: Za pomicanje točke \( (x, y) \) , dodajte vektor da biste dobili novu točku: \( (x+h, \, y+k) \) .
Konzistentnost: Svaka točka u obliku pomiče se za isti iznos kada se primijeni translacija.
Primjena u stvarnom svijetu: Od računalne grafike i robotike do svakodnevnih radnji poput pomicanja knjige, translacije su uobičajena vrsta kretanja.
Imajte ove točke na umu kada radite s prijevodima. Pomoći će vam da razumijete ne samo geometriju već i mnoge primjene izvan matematike.
U ovoj lekciji učili smo o translacijama u koordinatnoj geometriji. Istražili smo ove središnje ideje:
Translacija pomiče točku ili oblik bez promjene njihove veličine, oblika ili orijentacije.
Vektor translacije, napisan kao \( (h, k) \) , prikazuje horizontalno i vertikalno kretanje.
Formula za translaciju je jednostavna: točka \( (x,y) \) postaje \( (x+h, y+k) \) nakon translacije.
Sve točke u obliku pomiču se jednako kada se primijeni translacija, držeći objekt netaknutim.
Prijevodi su korisni u mnogim stvarnim primjenama kao što su računalna grafika, robotika i dizajn.
Vježbanjem translacija i primjenom koraka u raznim problemima, postat ćete sigurniji u korištenju koordinatne geometrije. Zapamtite da translacija jednostavno mijenja položaj objekta, a sve ostalo na njemu ostaje isto.
Ova lekcija vam je dala uvod u prijevode. S ovim idejama možete istražiti više o tome kako se objekti kreću i međusobno djeluju na mreži. Vježbajte ove korake i uskoro ćete otkriti da je rad s prijevodima jednostavan i ugodan.
Uživajte otkrivajući više o geometriji i mnogim načinima na koje nam ona pomaže razumjeti svijet oko nas. Kako nastavite učiti, ovi koncepti poslužit će kao gradivni blokovi za druge teme poput rotacija, refleksija i složenijih transformacija.
