Оваа лекција ја воведува идејата за транслации во координатната геометрија. Транслацијата е начин да се помести точка или облик од едно место на друго на мрежа без да се промени нејзината големина, облик или ориентација. Ќе користиме едноставен јазик и јасни примери за да ви помогнеме да го разберете овој важен концепт.
Преводот е како лизгање предмет на маса. Замислете дека имате играчка кола. Кога ја туркате, колата се движи од една до друга точка без да се сврти или преврти. Во преводот, секој дел од фигурата се движи на исто растојание во иста насока. Ова значи дека фигурата останува потполно иста, но се појавува на нова локација.
Во координатната геометрија, точките ги проучуваме користејќи мрежа. Мрежата има две важни линии: x-оската (хоризонтална) и y-оската (вертикална). Секоја точка на мрежата има x-координата и y-координата. Кога преместуваме точка, ги менуваме овие броеви на предвидлив начин.
Транслацијата користи нешто што се нарекува вектор на транслација . Овој вектор ви кажува колку да се помести точка или облик. Векторот на транслација има два дела: хоризонталниот дел и вертикалниот дел. Го запишуваме како \( (h, k) \) .
Бројот \( h \) ни кажува колку далеку да се движиме надесно (ако \( h \) е позитивно) или налево (ако \( h \) е негативно). Бројот \( k \) ни кажува колку далеку да се движиме нагоре (ако \( k \) е позитивно) или надолу (ако \( k \) е негативно). На пример, векторот \( (3, -2) \) значи движење 3 единици надесно и 2 единици надолу.
Кога поместувате точка, го додавате векторот на транслација на координатите на точката. Ако точката е запишана како \( (x, y) \) и векторот на транслација е \( (h, k) \) , тогаш новата точка ќе биде:
\( (x + h, \, y + k) \)
На пример, ако имате точка \( (2, 3) \) и ја преведете со векторот \( (1, 2) \) , новата точка ќе биде:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Ова едноставно правило се користи за секоја транслација во координатната мрежа.
Можете да видите транслации на милиметарска хартија. Мрежата има хоризонтални и вертикални линии што ви помагаат да го видите движењето. Кога обликот е преместен, секоја точка од обликот се движи по истиот вектор на транслација. Ова значи дека целиот облик останува во иста форма и изгледа точно како што изгледал претходно, само во различен дел од мрежата.
Замислете мал квадрат со еден агол на \( (1, 1) \) , а другите агли на \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) и \( (2, 1) \) . Ако го преведете овој квадрат со векторот \( (3, -1) \) , секој агол се поместува со додавање 3 на x-координатата и одземање 1 од y-координатата. На пример, аголот \( (1, 1) \) се поместува на \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Да преведеме една точка за да го видиме процесот во акција. Да ја разгледаме точката \( (2, 3) \) . Сакаме да ја преведеме оваа точка користејќи го векторот за транслација \( (4, 5) \) . Следете ги овие едноставни чекори:
Чекор 1: Идентификувајте ја оригиналната точка: \( (2, 3) \) .
Чекор 2: Идентификувајте го векторот на транслација: \( (4, 5) \) .
Чекор 3: Додадете ги хоризонталните вредности: \( 2 + 4 = 6 \) .
Чекор 4: Додадете ги вертикалните вредности: \( 3 + 5 = 8 \) .
Чекор 5: Напишете ја новата точка: \( (6, 8) \) .
Така, по транслацијата, точката \( (2, 3) \) станува \( (6, 8) \) .
Сега, да транслираме триаголник. Да претпоставиме дека триаголникот има три темиња на \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) и \( (5, 2) \) . Го користиме векторот за транслација \( (2, -1) \) . Еве како го правите тоа:
Чекор 1: За првото теме \( (1, 2) \) :
Нов теме = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Чекор 2: За второто теме \( (3, 4) \) :
Нов теме = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Чекор 3: За третото теме \( (5, 2) \) :
Нов теме = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Новите темиња на триаголникот се \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) и \( (7, 1) \) .
Да видиме како да преведеме правоаголник. Да претпоставиме дека имате правоаголник со агли на \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) и \( (4, 0) \) . Сакаме да го преведеме овој правоаголник користејќи го векторот \( (3, 2) \) . Следете ги овие чекори:
Чекор 1: За аголот \( (0, 0) \) :
Нов агол = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Чекор 2: За аголот \( (0, 3) \) :
Нов агол = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Чекор 3: За аголот \( (4, 3) \) :
Нов агол = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Чекор 4: За аголот \( (4, 0) \) :
Нов агол = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Правоаголникот се поместува во нови агли кај \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) и \( (7, 2) \) .
Преводите не се само за математички проблеми. Ги гледаме во секојдневниот живот. Замислете да преместите парче мебел од едната страна на собата на другата. Мебелот останува потполно ист, но ја менува својата локација. Ова е превод од реалниот живот.
Друг пример е лизгалка на игралиште. Кога лизгате, се движите по права линија од горе до долу. Не се вртите ниту превртувате; едноставно се движите од едно место на друго, слично како превод во геометријата.
Во компјутерските игри и анимациите, ликовите и објектите постојано се движат. Секое движење што го поместува објектот без да ја промени неговата форма е транслација. Ова му помага на компјутерот да прикажува мазни анимации каде што сè се движи на уреден начин.
Преводите имаат посебни својства што го олеснуваат работењето со нив:
Без ротација: Предметот не се врти ниту ја менува својата насока. Само се лизга на ново место.
Без рефлексија: Предметот не е превртен. Тој останува на ист начин, само на различна локација.
Нема промена во големината: Предметот не станува ниту поголем ниту помал. Неговата големина и облик остануваат точно како порано.
Овие својства покажуваат дека транслации се еден вид на круто движење . Цврстите движења ја одржуваат формата непроменета и се менува само нејзината положба.
Координатната рамнина е составена од x-оската и y-оската. Секоја точка е лоцирана според нејзината x-координата и y-координата. Кога извршуваме транслација, ги менуваме овие координати со додавање на векторски вредности.
На пример, ако точката е во \( (x, y) \) и користиме вектор на транслација \( (h, k) \) , новата точка станува \( (x+h, y+k) \) . Истото правило важи без разлика дали поместувате една точка или цела форма како триаголник или правоаголник.
Јасна мрежа ви помага да ги визуелизирате транслации. Нацртајте ја точката на мрежата, потоа додадете го векторот и исцртајте ја новата точка. Ова ќе ви покаже точно колку далеку и во која насока се поместила точката.
Понекогаш, може да видите облик на едно место, а потоа да го видите на друго место. Можете да го одредите векторот на транслација со споредување на координатите на точка во оригиналната положба со точка во новата положба.
На пример, ако точката се помести од \( (2, 5) \) во \( (7, 8) \) , векторот на транслација се определува со:
Одземете ги x-координатите: \( 7 - 2 = 5 \) .
Одземете ги y-координатите: \( 8 - 5 = 3 \) .
Векторот на транслација овде е \( (5, 3) \) .
Користењето мрежа е корисен начин да се видат транслации во акција. Кога работите на мрежа, можете да ја означите и оригиналната точка и новата точка. Ова визуелно помагало го олеснува разбирањето колку се поместила точката.
Многу математички задачи користат милиметарска хартија или дигитални мрежи. Без разлика дали цртате рачно или користите компјутерска програма, секогаш запомнете дека преводот го поместува секој дел од обликот за иста количина.
Кога вежбате со мрежи, градите силна основа за разбирање на посложените движења во геометријата подоцна.
За да решите проблеми поврзани со преводи, следете ги овие јасни чекори:
Чекор 1: Внимателно прочитајте го проблемот и идентификувајте што се преведува.
Чекор 2: Запишете ги оригиналните координати на секоја точка или теме.
Чекор 3: Идентификувајте го векторот на транслација даден во проблемот.
Чекор 4: Додадете ја хоризонталната компонента на векторот на секоја x-координата.
Чекор 5: Додадете ја вертикалната компонента на векторот на секоја y-координата.
Чекор 6: Напишете ги новите координати, кои ги претставуваат преведените точки.
Овој чекор-по-чекор метод работи за секаков проблем со преводот и ви помага лесно и правилно да го решите.
Преводите се користат во многу ситуации од реалниот свет. Еве неколку примери:
Компјутерска графика и анимација: Во видео игрите и цртаните филмови, ликовите и објектите се движат низ екранот со помош на преводи. Нивните позиции се ажурираат континуирано како што се менуваат сцените.
Роботика: Роботите честопати треба да се движат од една до друга точка. Со користење на поместувања, роботите пресметуваат колку далеку и во која насока да ги движат своите раце или тркала за да соберат предмети или да се движат во простор.
Архитектура и дизајн: При дизајнирање згради или креирање шаблони, архитектите и дизајнерите користат преводи за повторување на елементите. Ова осигурува дека шаблоните остануваат конзистентни и пропорционални во текот на нивната работа.
Секојдневни движења: Кога лизгате книга преку маса, вршите превод од реалниот живот. Книгата едноставно се преместува од една локација на друга без да се менува нејзината форма или големина.
Сите овие примери покажуваат дека преведувањата се практични и корисни во многу области. Тие помагаат да се одржи интегритетот на објектот, а истовремено едноставно се менува неговата позиција.
Иако во оваа лекција се фокусиравме на чисти преводи, важно е да се знае дека преводите понекогаш може да се комбинираат со други движења. Во некои проблеми, може да видите и ротации или рефлексии. Сепак, во чистиот превод, има само движење; нема вртење, превртување или промена на големината.
Со фокусирање на чисти преводи, можете да изградите солидно разбирање на основниот тек. Подоцна, како што напредувате во вашите студии, ќе научите како да комбинирате преводи со други видови трансформации.
Замислете цртање мала форма, како срце или ѕвезда, на парче хартија. Сега, замислете како ја лизгате формата на различен дел од хартијата. Секоја точка што ја сочинува формата се движи на исто растојание во иста насока. Ова дејство е слично на преведување на формата во координатната геометрија.
Кога во вашиот секојдневен живот гледате предмети кои се поместуваат од една позиција во друга без да се менуваат, вие сте сведоци на транслации во акција. Оваа едноставна идеја е клучен дел од разбирањето како се однесуваат облиците на координатна мрежа.
Еве еден брз преглед на клучните точки за преводите:
Дефиниција: Транслацијата поместува точка или облик без да ја промени нејзината големина, облик или ориентација.
Вектор на транслација: Векторот \( (h, k) \) ви кажува колку далеку и во која насока да се движите. Бројот \( h \) го поместува објектот хоризонтално, а \( k \) го поместува вертикално.
Формула: За да се премести точка \( (x, y) \) , се додава векторот за да се добие новата точка: \( (x+h, \, y+k) \) .
Доследност: Секоја точка во обликот се поместува за иста количина кога се применува транслација.
Употреба во реалниот свет: Од компјутерска графика и роботика до секојдневни дејства како лизгање книга, преводите се вообичаен вид движење.
Имајте ги овие точки на ум кога работите со преводи. Тие ќе ви помогнат да ја разберете не само геометријата, туку и многу други примени надвор од математиката.
Во оваа лекција, научивме за транслации во координатната геометрија. Ги истраживме овие централни идеи:
Транслацијата поместува точка или облик без да ја менува нејзината големина, облик или ориентација.
Векторот на транслација, запишан како \( (h, k) \) , го покажува движењето хоризонтално и вертикално.
Формулата за транслација е едноставна: точката \( (x,y) \) станува \( (x+h, y+k) \) по транслацијата.
Сите точки во обликот се движат подеднакво кога се применува транслација, одржувајќи го објектот недопрен.
Преводите се корисни во многу апликации од реалниот свет, како што се компјутерска графика, роботика и дизајн.
Со вежбање на транслации и примена на чекорите во различни проблеми, ќе станете посигурни во користењето на координатната геометрија. Запомнете дека транслацијата едноставно ја менува позицијата на објектот, додека сè друго во врска со него останува исто.
Оваа лекција ви даде вовед во преводите. Со овие идеи, можете да истражите повеќе за тоа како објектите се движат и комуницираат на мрежа. Вежбајте ги овие чекори и наскоро ќе откриете дека работењето со преводи е едноставно и пријатно.
Уживајте во откривањето повеќе за геометријата и многуте начини на кои таа ни помага да го разбереме светот околу нас. Додека продолжувате да учите, овие концепти ќе послужат како градежни блокови за други теми како што се ротации, рефлексии и посложени трансформации.
