Энэ хичээл нь координатын геометрийн орчуулгын санааг танилцуулж байна. Орчуулга гэдэг нь цэг эсвэл дүрсийг хэмжээ, хэлбэр, чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр тороор нэг газраас нөгөөд шилжүүлэх арга юм. Энэхүү чухал ойлголтыг ойлгоход тань туслахын тулд бид энгийн хэллэг, ойлгомжтой жишээг ашиглах болно.
Орчуулга нь ширээн дээр байгаа зүйлийг гулсуулахтай адил юм. Та тоглоомон машинтай гэж төсөөлөөд үз дээ. Түүнийг түлхэхэд машин нэг цэгээс нөгөө цэг рүү эргэж, хөмрөхгүйгээр хөдөлдөг. Орчуулгад дүрсний хэсэг бүр ижил чиглэлд ижил зайд хөдөлдөг. Энэ нь хэлбэр нь яг ижил хэвээр байгаа боловч шинэ байршилд гарч ирнэ гэсэн үг юм.
Координатын геометрийн хувьд бид цэгүүдийг тор ашиглан судалдаг. Тор нь х тэнхлэг (хэвтээ) ба у тэнхлэг (босоо) гэсэн хоёр чухал шугамтай. Торон дээрх цэг бүр х-координат ба у-координаттай. Бид цэгийг орчуулахдаа эдгээр тоонуудыг урьдчилан таамаглахуйц байдлаар өөрчилдөг.
Орчуулга нь орчуулгын вектор гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашигладаг. Энэ вектор нь цэг эсвэл дүрсийг хэр их хөдөлгөхийг хэлж өгдөг. Орчуулгын вектор нь хэвтээ ба босоо гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Бид үүнийг \( (h, k) \) гэж бичнэ.
\( h \) тоо нь баруун тийш (хэрэв \( h \) эерэг бол) эсвэл зүүн тийш (хэрэв \( h \) сөрөг байвал) хэр хол явахыг хэлж өгдөг. \( k \) тоо нь хэр хол дээш (хэрэв \( k \) эерэг бол) эсвэл доош (хэрэв \( k \) сөрөг байвал) хэр хол явахыг хэлж өгдөг. Жишээлбэл, \( (3, -2) \) вектор нь 3 нэгжийг баруун тийш, 2 нэгжийг доошлуулах гэсэн үг юм.
Та цэгийг орчуулахдаа тухайн цэгийн координат дээр орчуулгын векторыг нэмнэ. Хэрэв цэгийг \( (x, y) \) гэж бичиж, орчуулгын вектор нь \( (h, k) \) байвал шинэ цэг нь:
\( (x + h, \, y + k) \)
Жишээлбэл, хэрэв танд \( (2, 3) \) цэг байгаа бөгөөд үүнийг \( (1, 2) \) вектороор орчуулбал шинэ цэг нь:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Энэхүү энгийн дүрмийг координатын сүлжээн дэх орчуулга бүрт ашигладаг.
Та график цаасан дээрх орчуулгыг харж болно. Сүлжээ нь хөдөлгөөнийг харахад туслах хэвтээ ба босоо шугамтай. Дүрсийг орчуулах үед дүрсний цэг бүр ижил хөрвүүлэх вектороор хөдөлдөг. Энэ нь бүхэл бүтэн хэлбэр нь өмнөх шигээ, яг л торны өөр хэсэгт харагдах болно гэсэн үг юм.
Нэг булан нь \( (1, 1) \) , бусад булан нь \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) болон \( (2, 1) \) жижиг дөрвөлжин гэж төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв та энэ квадратыг \( (3, -1) \) вектороор орчуулбал х-координат дээр 3-ыг нэмж, у-координатаас 1-ийг хасснаар булан бүр хөдөлнө. Жишээлбэл, \( (1, 1) \) булан нь \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) руу шилждэг.
Үйл явц хэрхэн явагдаж байгааг харахын тулд нэг цэгийг орчуулъя. \( (2, 3) \) цэгийг авч үзье. Бид энэ цэгийг орчуулгын вектор ашиглан орчуулахыг хүсч байна \( (4, 5) \) . Эдгээр энгийн алхмуудыг дагана уу:
Алхам 1: Анхны цэгийг тодорхойл: \( (2, 3) \) .
Алхам 2: Орчуулгын векторыг тодорхойл: \( (4, 5) \) .
Алхам 3: Хэвтээ утгуудыг нэмнэ үү: \( 2 + 4 = 6 \) .
Алхам 4: Босоо утгуудыг нэмнэ үү: \( 3 + 5 = 8 \) .
Алхам 5: Шинэ цэгийг бичнэ үү: \( (6, 8) \) .
Тиймээс орчуулгын дараа \( (2, 3) \) цэг нь \( (6, 8) \) болно.
Одоо гурвалжинг орчуулъя. Гурвалжин нь \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) болон \( (5, 2) \) гэсэн гурван оройтой байна гэж бодъё. Бид орчуулгын векторыг ашигладаг \( (2, -1) \) . Та үүнийг хэрхэн хийх вэ:
Алхам 1: Эхний оройн хувьд \( (1, 2) \) :
Шинэ орой = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Алхам 2: Хоёрдахь оройн хувьд \( (3, 4) \) :
Шинэ орой = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Алхам 3: Гурав дахь оройн хувьд \( (5, 2) \) :
Шинэ орой = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Гурвалжны шинэ орой нь \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) болон \( (7, 1) \) байна.
Тэгш өнцөгтийг хэрхэн орчуулахыг харцгаая. Танд \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) болон \( (4, 0) \) цэгүүдтэй тэгш өнцөгт байна гэж бодъё. Бид энэ тэгш өнцөгтийг \( (3, 2) \) векторыг ашиглан орчуулахыг хүсч байна. Эдгээр алхмуудыг дагана уу:
Алхам 1: Булангийн хувьд \( (0, 0) \) :
Шинэ булан = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Алхам 2: Булангийн хувьд \( (0, 3) \) :
Шинэ булан = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Алхам 3: Булангийн хувьд \( (4, 3) \) :
Шинэ булан = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Алхам 4: Булангийн хувьд \( (4, 0) \) :
Шинэ булан = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Тэгш өнцөгт нь \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) болон \( (7, 2) \) цэгүүдэд шинэ булан руу шилжинэ.
Орчуулга нь зөвхөн математикийн бодлого биш юм. Бид тэднийг өдөр тутмын амьдралдаа хардаг. Тавилгыг өрөөний нэг талаас нөгөө тал руу шилжүүлж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Тавилга нь яг адилхан хэвээр байгаа боловч байрлалаа өөрчилдөг. Энэ бол бодит амьдрал дээрх орчуулга юм.
Өөр нэг жишээ бол тоглоомын талбайн гулсуур юм. Та гулгахдаа дээрээс доошоо шулуун шугамаар хөдөлдөг. Та эргэн тойрон эргэхгүй, эргүүлэхгүй; Та зүгээр л нэг газраас нөгөөд шилжих нь геометрийн орчуулгатай адил юм.
Компьютерийн тоглоом, хөдөлгөөнт дүрст дүрүүд болон объектууд байнга хөдөлж байдаг. Аливаа зүйлийг хэлбэр дүрсийг нь өөрчлөхгүйгээр хөдөлгөх хөдөлгөөн бүр нь орчуулга юм. Энэ нь компьютерт бүх зүйл эмх цэгцтэй хөдөлж буй хөдөлгөөнт дүрсүүдийг харуулахад тусалдаг.
Орчуулга нь ажиллахад хялбар болгодог тусгай шинж чанартай байдаг:
Эргүүлэхгүй: Объект эргэхгүй, чиглэлээ өөрчлөхгүй. Энэ нь зүгээр л шинэ газар руу гулсдаг.
Тусгалгүй: Объектыг эргүүлээгүй. Энэ нь зөвхөн өөр байршилд хэвээр үлддэг.
Хэмжээ өөрчлөгдөөгүй: Объект томордоггүй, багасдаггүй. Түүний хэмжээ, хэлбэр нь өмнөх шигээ хэвээр байна.
Эдгээр шинж чанарууд нь орчуулга нь хатуу хөдөлгөөний нэг төрөл болохыг харуулж байна. Хатуу хөдөлгөөн нь хэлбэрийг өөрчлөхгүй бөгөөд зөвхөн байрлал нь өөрчлөгддөг.
Координатын хавтгай нь х тэнхлэг ба у тэнхлэгээс бүрдэнэ. Цэг бүр өөрийн х-координат ба у-координатаар байрлана. Бид орчуулга хийхдээ вектор утгыг нэмж эдгээр координатуудыг өөрчилдөг.
Жишээлбэл, цэг нь \( (x, y) \) дээр байвал бид орчуулгын векторыг \( (h, k) \) ашиглавал шинэ цэг нь \( (x+h, y+k) \) болно. Энэ дүрэм нь нэг цэг эсвэл гурвалжин, тэгш өнцөгт гэх мэт бүхэл бүтэн дүрсийг хөдөлгөж байгаа эсэхээс үл хамааран хамаарна.
Тодорхой сүлжээ нь орчуулгыг дүрслэн харуулахад тусална. Торон дээрх цэгийг зурж, дараа нь векторыг нэмж, шинэ цэгийг зур. Энэ нь тухайн цэг хэр хол, ямар чиглэлд шилжсэнийг танд харуулах болно.
Заримдаа та нэг газар дүрсийг хараад дараа нь өөр газар харж болно. Та анхны байрлал дахь цэгийн координатыг шинэ байрлал дахь цэгтэй харьцуулах замаар орчуулгын векторыг тодорхойлж болно.
Жишээлбэл, хэрэв цэг \( (2, 5) \) -аас \( (7, 8) \) руу шилжвэл орчуулгын векторыг дараах байдлаар тодорхойлно.
х-координатыг хасна: \( 7 - 2 = 5 \) .
y-координатыг хасна: \( 8 - 5 = 3 \) .
Энд орчуулгын вектор нь \( (5, 3) \) байна.
Сүлжээ ашиглах нь орчуулгыг хэрхэн ажиллаж байгааг харах тустай арга юм. Торон дээр ажиллахдаа анхны цэг болон шинэ цэгийг хоёуланг нь тэмдэглэж болно. Энэхүү харааны тусламж нь цэгийг хэр их хөдөлгөснийг ойлгоход хялбар болгодог.
Математикийн олон асуудалд график цаас эсвэл дижитал сүлжээ ашигладаг. Та гараар зурж байгаа эсвэл компьютерийн програм ашиглаж байгаа эсэхээс үл хамааран орчуулга нь дүрсний хэсэг бүрийг ижил хэмжээгээр хөдөлгөдөг гэдгийг үргэлж санаарай.
Та тортой дасгал хийхдээ геометрийн илүү төвөгтэй хөдөлгөөнүүдийг дараа нь ойлгох бат бөх суурийг бий болгодог.
Орчуулгатай холбоотой асуудлыг шийдэхийн тулд дараах тодорхой алхмуудыг дагана уу:
Алхам 1: Асуудлыг анхааралтай уншиж, юу орчуулагдаж байгааг тодорхойл.
Алхам 2: Цэг эсвэл орой бүрийн анхны координатыг бич.
Алхам 3: Асуудалд өгөгдсөн орчуулгын векторыг тодорхойл.
Алхам 4: Х координат бүрт векторын хэвтээ бүрэлдэхүүнийг нэмнэ.
Алхам 5: y координат бүрт векторын босоо бүрэлдэхүүн хэсгийг нэмнэ.
Алхам 6: Орчуулсан цэгүүдийг төлөөлөх шинэ координатуудыг бич.
Энэхүү алхам алхмаар арга нь орчуулгын аливаа асуудалд тустай бөгөөд тэдгээрийг хялбар бөгөөд зөв шийдвэрлэхэд тусална.
Орчуулга нь бодит ертөнцийн олон нөхцөл байдалд хэрэглэгддэг. Энд хэдэн жишээ байна:
Компьютерийн график ба анимэйшн: Видео тоглоом, хүүхэлдэйн кинонд дүрүүд болон объектуудыг орчуулга ашиглан дэлгэцээр хөдөлгөдөг. Үзэгдэл өөрчлөгдөхөд тэдний байрлал байнга шинэчлэгддэг.
Робот техник: Роботууд ихэвчлэн нэг цэгээс нөгөөд шилжих шаардлагатай болдог. Орчуулгыг ашигласнаар роботууд объект авах эсвэл орон зайг чиглүүлэхийн тулд гар, дугуйгаа хэр хол, аль чиглэлд хөдөлгөхийг тооцоолдог.
Архитектур ба дизайн: Барилга байгууламжийг төлөвлөх эсвэл хэв маягийг бий болгохдоо архитекторууд болон дизайнерууд элементүүдийг давтахын тулд орчуулгыг ашигладаг. Энэ нь хэв маяг нь ажлынхаа туршид нийцтэй, пропорциональ хэвээр байхыг баталгаажуулдаг.
Өдөр тутмын хөдөлгөөн: Номыг ширээн дээгүүр гулсуулж үзэхэд та бодит орчуулгыг хийж байна гэсэн үг. Номыг хэлбэр дүрсээ өөрчлөхгүйгээр зүгээр л нэг газраас нөгөөд шилжүүлдэг.
Эдгээр бүх жишээ нь орчуулга нь олон салбарт практик, ашигтай гэдгийг харуулж байна. Тэд объектын бүрэн бүтэн байдлыг хадгалахын зэрэгцээ түүний байрлалыг өөрчлөхөд тусалдаг.
Энэ хичээлээр бид цэвэр орчуулгад анхаарлаа хандуулсан ч орчуулгыг заримдаа бусад хөдөлгөөнтэй хослуулж болно гэдгийг мэдэх нь чухал юм. Зарим асуудалд та эргэлт эсвэл тусгалыг харж болно. Гэсэн хэдий ч цэвэр орчуулгад зөвхөн хөдөлгөөн байдаг; эргүүлэх, эргүүлэх, хэмжээг өөрчлөх зүйл байхгүй.
Цэвэр орчуулгад анхаарлаа хандуулснаар та үндсэн хөдөлгөөний талаар хатуу ойлголтыг бий болгож чадна. Дараа нь та сурлагадаа ахих тусам орчуулгыг бусад төрлийн хувиргалттай хослуулж сурах болно.
Цаасан дээр зүрх эсвэл од гэх мэт жижиг дүрс зурах талаар бодож үзээрэй. Одоо цаасны өөр хэсэгт дүрсийг гулсуулна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дүрсийг бүрдүүлэгч цэг бүр нэг чиглэлд ижил зайд хөдөлдөг. Энэ үйлдэл нь координатын геометр дэх дүрсийг хөрвүүлэхтэй адил юм.
Өдөр тутмын амьдралдаа нэг байрлалаас нөгөө байрлалд өөрчлөгдөөгүй хөдөлж буй объектуудыг хараад та орчуулгын үйлдлийг гэрчлэх болно. Энэхүү энгийн санаа нь координатын сүлжээнд дүрс хэрхэн ажилладагийг ойлгох гол хэсэг юм.
Орчуулгын талаархи гол санааг товч тоймлон хүргэе:
Тодорхойлолт: Орчуулга нь хэмжээ, хэлбэр, чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр цэг эсвэл дүрсийг хөдөлгөдөг.
Орчуулгын вектор: \( (h, k) \) вектор нь хэр хол, ямар чиглэлд шилжихийг хэлж өгнө. \( h \) тоо нь объектыг хэвтээ чиглэлд, \( k \) босоо чиглэлд хөдөлдөг.
Томъёо: \( (x, y) \) цэгийг орчуулахын тулд шинэ цэгийг авахын тулд векторыг нэмнэ: \( (x+h, \, y+k) \) .
Тогтвортой байдал: Орчуулга хийх үед дүрсний цэг бүр ижил хэмжээгээр хөдөлдөг.
Бодит хэрэглээ: Компьютер график, роботоос эхлээд ном гулсуулах гэх мэт өдөр тутмын үйлдлүүд хүртэл орчуулга нь нийтлэг хөдөлгөөн юм.
Орчуулгатай ажиллахдаа эдгээр зүйлийг санаарай. Эдгээр нь зөвхөн геометр төдийгүй математикийн бусад олон програмуудыг ойлгоход тусална.
Энэ хичээлээр бид координатын геометрийн орчуулгын талаар олж мэдсэн. Бид эдгээр гол санааг судалсан:
Орчуулга нь хэмжээ, хэлбэр, чиглэлийг өөрчлөхгүйгээр цэг эсвэл дүрсийг хөдөлгөдөг.
\( (h, k) \) хэлбэрээр бичигдсэн орчуулгын вектор нь хэвтээ болон босоо чиглэлд хөдөлгөөнийг харуулж байна.
Орчуулгын томъёо нь энгийн: \( (x,y) \) цэг нь орчуулсны дараа \( (x+h, y+k) \) болно.
Орчуулга хийх үед дүрсний бүх цэгүүд ижилхэн хөдөлж, объектыг бүрэн бүтэн байлгана.
Орчуулга нь компьютер график, робот техник, дизайн гэх мэт бодит ертөнцийн олон хэрэглээнд хэрэг болдог.
Орчуулгын дадлага хийж, янз бүрийн бодлогын алхмуудыг хэрэгжүүлснээр та координатын геометрийг ашиглахдаа илүү итгэлтэй болно. Орчуулга нь тухайн объектын байрлалыг өөрчилдөг бөгөөд бусад бүх зүйлийг ижилхэн байлгадаг гэдгийг санаарай.
Энэ хичээл танд орчуулгын тухай танилцуулга өгсөн. Эдгээр санаануудын тусламжтайгаар та объектууд сүлжээнд хэрхэн хөдөлж, харилцан үйлчлэх талаар илүү ихийг судлах боломжтой. Эдгээр алхмуудыг дадлагажуул, тэгвэл удахгүй та орчуулгатай ажиллах нь энгийн бөгөөд тааламжтай болохыг олж мэдэх болно.
Геометрийн талаар болон бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийг ойлгоход тусалдаг олон арга замуудын талаар илүү ихийг олж мэдээрэй. Таныг үргэлжлүүлэн суралцах үед эдгээр ойлголтууд нь эргэлт, эргэцүүлэл, илүү төвөгтэй хувиргалт гэх мэт бусад сэдвүүдэд барилгын материал болно.
