यस पाठले निर्देशांक ज्यामितिमा अनुवादको विचार प्रस्तुत गर्दछ। अनुवाद भनेको आकार, आकार, वा अभिमुखीकरण परिवर्तन नगरी ग्रिडमा एक ठाउँबाट अर्को ठाउँमा बिन्दु वा आकार सार्नको लागि एक तरिका हो। यो महत्त्वपूर्ण अवधारणा बुझ्न मद्दत गर्न हामी सरल भाषा र स्पष्ट उदाहरणहरू प्रयोग गर्नेछौं।
अनुवाद भनेको टेबलमा कुनै वस्तु स्लाइड गर्नु जस्तै हो। कल्पना गर्नुहोस् तपाईंसँग एउटा खेलौना कार छ। जब तपाईं यसलाई धकेल्नुहुन्छ, कार एक बिन्दुबाट अर्को बिन्दुमा घुम्ने वा पल्टाउने बिना सर्छ। अनुवादमा, आकारको प्रत्येक भाग एउटै दिशामा उस्तै दूरीमा सर्छ। यसको अर्थ आकार ठ्याक्कै उस्तै रहन्छ तर नयाँ स्थानमा देखा पर्दछ।
निर्देशांक ज्यामितिमा, हामी ग्रिड प्रयोग गरेर बिन्दुहरूको अध्ययन गर्छौं। ग्रिडमा दुई महत्त्वपूर्ण रेखाहरू हुन्छन्: x-अक्ष (तेर्सो) र y-अक्ष (ठाडो)। ग्रिडमा प्रत्येक बिन्दुमा x-निर्देशांक र y-निर्देशांक हुन्छ। जब हामी बिन्दु अनुवाद गर्छौं, हामी यी संख्याहरूलाई अनुमानित तरिकाले परिवर्तन गर्छौं।
अनुवादमा अनुवाद भेक्टर भनिने कुरा प्रयोग गरिन्छ। यो भेक्टरले तपाईंलाई बिन्दु वा आकार कति सार्नुपर्ने भनेर बताउँछ। अनुवाद भेक्टरमा दुई भाग हुन्छन्: तेर्सो भाग र ठाडो भाग। हामी यसलाई \( (h, k) \) को रूपमा लेख्छौं।
संख्या \( h \) ले हामीलाई कति टाढा दायाँ (यदि \( h \) धनात्मक छ) वा बायाँ (यदि \( h \) ऋणात्मक छ) सर्ने भनेर बताउँछ। संख्या \( k \) हामीलाई कति टाढा माथि (यदि \( k \) धनात्मक छ) वा तल (यदि \( k \) ऋणात्मक छ) सर्ने भनेर बताउँछ। उदाहरणका लागि, भेक्टर \( (3, -2) \) अर्थ ३ एकाइ दायाँ र २ एकाइ तल सार्नु हो।
जब तपाईं कुनै बिन्दु अनुवाद गर्नुहुन्छ, तपाईंले बिन्दुको निर्देशांकहरूमा अनुवाद भेक्टर थप्नुहुन्छ। यदि कुनै बिन्दु \( (x, y) \) को रूपमा लेखिएको छ र अनुवाद भेक्टर \( (h, k) \) छ भने, नयाँ बिन्दु हुनेछ:
\( (x + h, \, y + k) \)
उदाहरणका लागि, यदि तपाईंसँग एउटा बिन्दु \( (2, 3) \) छ र तपाईंले यसलाई भेक्टर \( (1, 2) \) सँग अनुवाद गर्नुभयो भने, नयाँ बिन्दु यो हुनेछ:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
यो सरल नियम निर्देशांक ग्रिडमा प्रत्येक अनुवादको लागि प्रयोग गरिन्छ।
तपाईंले ग्राफ पेपरमा अनुवादहरू देख्न सक्नुहुन्छ। ग्रिडमा तेर्सो र ठाडो रेखाहरू हुन्छन् जसले तपाईंलाई चाल हेर्न मद्दत गर्दछ। जब आकार अनुवाद गरिन्छ, आकारको प्रत्येक बिन्दु एउटै अनुवाद भेक्टरद्वारा सर्छ। यसको मतलब सम्पूर्ण आकार उही रूपमा रहन्छ र पहिले जस्तै देखिन्छ, केवल ग्रिडको फरक भागमा।
एउटा कुना \( (1, 1) \) मा र अर्को कुना \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) , र \( (2, 1) \) मा भएको सानो वर्गको कल्पना गर्नुहोस्। यदि तपाईंले यो वर्गलाई भेक्टर \( (3, -1) \) सँग अनुवाद गर्नुभयो भने, प्रत्येक कुना x-निर्देशनमा 3 थपेर र y-निर्देशनबाट 1 घटाएर सर्छ। उदाहरणका लागि, कुना \( (1, 1) \) \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) मा सर्छ।
प्रक्रियालाई कार्यमा हेर्नको लागि एउटा बिन्दु अनुवाद गरौं। बिन्दु \( (2, 3) \) विचार गर्नुहोस्। हामी यो बिन्दुलाई अनुवाद भेक्टर \( (4, 5) \) प्रयोग गरेर अनुवाद गर्न चाहन्छौं। यी सरल चरणहरू पालना गर्नुहोस्:
चरण १: मूल बिन्दु पहिचान गर्नुहोस्: \( (2, 3) \) ।
चरण २: अनुवाद भेक्टर पहिचान गर्नुहोस्: \( (4, 5) \) ।
चरण ३: तेर्सो मानहरू थप्नुहोस्: \( 2 + 4 = 6 \) ।
चरण ४: ठाडो मानहरू थप्नुहोस्: \( 3 + 5 = 8 \) ।
चरण ५: नयाँ बुँदा लेख्नुहोस्: \( (6, 8) \) ।
यसरी, अनुवाद पछि, बिन्दु \( (2, 3) \) \( (6, 8) \) बन्छ।
अब, एउटा त्रिभुज अनुवाद गरौं। मानौं त्रिभुजमा \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) , र \( (5, 2) \) मा तीनवटा शीर्षहरू छन्। हामी अनुवाद भेक्टर \( (2, -1) \) प्रयोग गर्छौं। तपाईंले यो कसरी गर्नुहुन्छ भन्ने कुरा यहाँ छ:
चरण १: पहिलो शीर्षको लागि \( (1, 2) \) :
नयाँ शीर्ष = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \)
चरण २: दोस्रो शीर्षको लागि \( (3, 4) \) :
नयाँ शीर्ष = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) ।
चरण ३: तेस्रो शीर्षको लागि \( (5, 2) \) :
नयाँ शीर्ष = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) ।
त्रिभुजको नयाँ शीर्षहरू \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) , र \( (7, 1) \) हुन्।
आयत कसरी अनुवाद गर्ने हेरौं। मानौं तपाईंसँग \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) , र \( (4, 0) \) मा कुनाहरू भएको आयत छ। हामी यो आयतलाई भेक्टर \( (3, 2) \) प्रयोग गरेर अनुवाद गर्न चाहन्छौं। यी चरणहरू पालना गर्नुहोस्:
चरण १: कुना \( (0, 0) \) को लागि :
नयाँ कुना = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \)
चरण २: कुना \( (0, 3) \) को लागि :
नयाँ कुना = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) ।
चरण ३: कुना \( (4, 3) \) को लागि :
नयाँ कुना = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) ।
चरण ४: कुना \( (4, 0) \) को लागि :
नयाँ कुना = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) ।
आयत \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) , र \( (7, 2) \) मा नयाँ कुनाहरूमा सर्छ।
अनुवादहरू केवल गणित समस्याहरूको लागि मात्र होइनन्। हामी तिनीहरूलाई हाम्रो दैनिक जीवनमा देख्छौं। कल्पना गर्नुहोस् कि एउटा कोठाको एक छेउबाट अर्को छेउमा फर्निचरको टुक्रा सारिएको छ। फर्निचर ठ्याक्कै उस्तै रहन्छ तर यसको स्थान परिवर्तन हुन्छ। यो वास्तविक जीवनको अनुवाद हो।
अर्को उदाहरण खेल मैदानमा भएको स्लाइड हो। जब तपाईं स्लाइड गर्नुहुन्छ, तपाईं माथिबाट तलसम्म सिधा रेखामा सर्नुहुन्छ। तपाईं वरिपरि घुम्नुहुन्न वा पल्टाउनुहुन्न; तपाईं केवल एक ठाउँबाट अर्को ठाउँमा सर्नुहुन्छ, ज्यामितिमा अनुवाद जस्तै।
कम्प्युटर गेम र एनिमेसनमा, पात्रहरू र वस्तुहरू निरन्तर चलिरहन्छन्। आकार परिवर्तन नगरी वस्तुलाई परिवर्तन गर्ने प्रत्येक चाल अनुवाद हो। यसले कम्प्युटरलाई सहज एनिमेसनहरू देखाउन मद्दत गर्दछ जहाँ सबै कुरा व्यवस्थित तरिकाले चल्छ।
अनुवादहरूमा विशेष गुणहरू हुन्छन् जसले तिनीहरूलाई काम गर्न सजिलो बनाउँछ:
कुनै परिक्रमा छैन: वस्तु घुम्दैन वा दिशा परिवर्तन गर्दैन। यो केवल नयाँ ठाउँमा सर्छ।
कुनै परावर्तन छैन: वस्तु पल्टाइएको छैन। यो उस्तै रहन्छ, केवल फरक स्थानमा।
आकारमा कुनै परिवर्तन हुँदैन: वस्तु ठूलो वा सानो हुँदैन। यसको आकार र आकार पहिले जस्तै ठ्याक्कै रहन्छ।
यी गुणहरूले देखाउँछन् कि अनुवादहरू एक प्रकारको कठोर गति हो। कठोर गतिहरूले आकार अपरिवर्तित राख्छन्, र केवल यसको स्थिति परिवर्तन हुन्छ।
निर्देशांक समतल x-अक्ष र y-अक्ष मिलेर बनेको हुन्छ। प्रत्येक बिन्दु यसको x-निर्देशांक र y-निर्देशांक द्वारा अवस्थित हुन्छ। जब हामी अनुवाद गर्छौं, हामी भेक्टर मानहरू थपेर यी निर्देशांकहरू परिवर्तन गर्छौं।
उदाहरणका लागि, यदि कुनै बिन्दु \( (x, y) \) मा छ र हामीले अनुवाद भेक्टर \( (h, k) \) प्रयोग गर्छौं भने, नयाँ बिन्दु \( (x+h, y+k) \) बन्छ। तपाईंले एउटा थोप्ला सार्दै हुनुहुन्छ वा त्रिकोण वा आयत जस्तो सम्पूर्ण आकार सार्दै हुनुहुन्छ भने पनि यही नियम लागू हुन्छ।
स्पष्ट ग्रिडले तपाईंलाई अनुवादहरू कल्पना गर्न मद्दत गर्छ। ग्रिडमा बिन्दु कोर्नुहोस्, त्यसपछि भेक्टर थप्नुहोस्, र नयाँ बिन्दु प्लट गर्नुहोस्। यसले तपाईंलाई बिन्दु कति टाढा र कुन दिशामा सरेको छ भनेर ठ्याक्कै देखाउनेछ।
कहिलेकाहीँ, तपाईंले एक ठाउँमा आकार देख्न सक्नुहुन्छ र त्यसपछि अर्को ठाउँमा देख्न सक्नुहुन्छ। तपाईंले मूल स्थितिमा रहेको बिन्दुको निर्देशांकलाई नयाँ स्थितिमा रहेको बिन्दुसँग तुलना गरेर अनुवाद भेक्टर पत्ता लगाउन सक्नुहुन्छ।
उदाहरणका लागि, यदि कुनै बिन्दु \( (2, 5) \) बाट \( (7, 8) \) मा सर्छ भने, अनुवाद भेक्टर निम्नद्वारा निर्धारण गरिन्छ:
x-निर्देशांकहरू घटाउनुहोस्: \( 7 - 2 = 5 \) ।
y-निर्देशांकहरू घटाउनुहोस्: \( 8 - 5 = 3 \) ।
यहाँ अनुवाद भेक्टर \( (5, 3) \) हो।
ग्रिड प्रयोग गर्नु अनुवादहरूलाई कार्यमा हेर्नको लागि एक उपयोगी तरिका हो। जब तपाईं ग्रिडमा काम गर्नुहुन्छ, तपाईं मूल बिन्दु र नयाँ बिन्दु दुवैलाई चिन्ह लगाउन सक्नुहुन्छ। यो दृश्य सहायताले बिन्दु कति सरेको छ भनेर बुझ्न सजिलो बनाउँछ।
धेरै गणित समस्याहरूमा ग्राफ पेपर वा डिजिटल ग्रिड प्रयोग गरिन्छ। चाहे तपाईं हातले चित्र कोर्दै हुनुहुन्छ वा कम्प्युटर प्रोग्राम प्रयोग गर्दै हुनुहुन्छ, सधैं सम्झनुहोस् कि अनुवादले आकारको प्रत्येक भागलाई उस्तै मात्रामा सार्छ।
जब तपाईं ग्रिडहरूसँग अभ्यास गर्नुहुन्छ, तपाईंले पछि ज्यामितिमा थप जटिल चालहरू बुझ्नको लागि बलियो जग निर्माण गर्नुहुन्छ।
अनुवादहरूसँग सम्बन्धित समस्याहरू समाधान गर्न, यी स्पष्ट चरणहरू पालना गर्नुहोस्:
चरण १: समस्यालाई ध्यानपूर्वक पढ्नुहोस् र के अनुवाद गरिँदैछ भनेर पहिचान गर्नुहोस्।
चरण २: प्रत्येक बिन्दु वा शीर्षको मूल निर्देशांकहरू लेख्नुहोस्।
चरण ३: समस्यामा प्रदान गरिएको अनुवाद भेक्टर पहिचान गर्नुहोस्।
चरण ४: प्रत्येक x-निर्देशनमा भेक्टरको तेर्सो घटक थप्नुहोस्।
चरण ५: प्रत्येक y-निर्देशनमा भेक्टरको ठाडो घटक थप्नुहोस्।
चरण ६: अनुवादित बिन्दुहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्ने नयाँ निर्देशांकहरू लेख्नुहोस्।
यो चरण-दर-चरण विधिले कुनै पनि अनुवाद समस्याको लागि काम गर्छ र तपाईंलाई सजिलै र सही तरिकाले समाधान गर्न मद्दत गर्छ।
अनुवादहरू धेरै वास्तविक-विश्व परिस्थितिहरूमा प्रयोग गरिन्छ। यहाँ केही उदाहरणहरू छन्:
कम्प्युटर ग्राफिक्स र एनिमेसन: भिडियो गेम र कार्टुनहरूमा, पात्रहरू र वस्तुहरूलाई अनुवाद प्रयोग गरेर स्क्रिनमा सारिन्छ। दृश्यहरू परिवर्तन हुँदै जाँदा तिनीहरूको स्थान निरन्तर अपडेट हुन्छ।
रोबोटिक्स: रोबोटहरूलाई प्रायः एक बिन्दुबाट अर्को बिन्दुमा जान आवश्यक पर्दछ। अनुवादहरू प्रयोग गरेर, रोबोटहरूले वस्तुहरू उठाउन वा ठाउँमा नेभिगेट गर्न आफ्नो हात वा पाङ्ग्राहरू कति टाढा र कुन दिशामा सार्ने भनेर गणना गर्छन्।
वास्तुकला र डिजाइन: भवनहरू डिजाइन गर्दा वा ढाँचाहरू सिर्जना गर्दा, वास्तुकार र डिजाइनरहरूले तत्वहरू दोहोर्याउन अनुवादहरू प्रयोग गर्छन्। यसले सुनिश्चित गर्दछ कि ढाँचाहरू उनीहरूको कामभरि एकरूप र समानुपातिक रहन्छन्।
दैनिक चालहरू: जब तपाईं टेबलमा पुस्तक स्लाइड गर्नुहुन्छ, तपाईं वास्तविक जीवनको अनुवाद गर्दै हुनुहुन्छ। पुस्तकलाई आकार वा आकार परिवर्तन नगरी एक स्थानबाट अर्को स्थानमा सारिएको छ।
यी सबै उदाहरणहरूले अनुवादहरू धेरै क्षेत्रहरूमा व्यावहारिक र उपयोगी छन् भनेर देखाउँछन्। तिनीहरूले वस्तुको स्थिति परिवर्तन गर्दा वस्तुको अखण्डता कायम राख्न मद्दत गर्छन्।
यस पाठमा हामीले शुद्ध अनुवादहरूमा ध्यान केन्द्रित गरेका छौं, तर यो जान्नु महत्त्वपूर्ण छ कि अनुवादहरू कहिलेकाहीं अन्य चालहरूसँग जोड्न सकिन्छ। केही समस्याहरूमा, तपाईंले परिक्रमण वा प्रतिबिम्ब पनि देख्न सक्नुहुन्छ। यद्यपि, शुद्ध अनुवादमा, केवल चाल हुन्छ; त्यहाँ कुनै घुमाउने, उल्टाउने वा आकार परिवर्तन गर्ने काम हुँदैन।
शुद्ध अनुवादहरूमा ध्यान केन्द्रित गरेर, तपाईंले आधारभूत आन्दोलनको ठोस बुझाइ निर्माण गर्न सक्नुहुन्छ। पछि, तपाईं आफ्नो अध्ययनमा अगाडि बढ्दै जाँदा, तपाईंले अनुवादहरूलाई अन्य प्रकारका रूपान्तरणहरूसँग कसरी संयोजन गर्ने भनेर सिक्नुहुनेछ।
कागजको टुक्रामा मुटु वा तारा जस्तो सानो आकार कोर्ने विचार गर्नुहोस्। अब, आकारलाई कागजको फरक भागमा स्लाइड गर्ने कल्पना गर्नुहोस्। आकार बनाउने प्रत्येक बिन्दुले उही दिशामा उही दूरी सर्छ। यो कार्य निर्देशांक ज्यामितिमा आकार अनुवाद गर्नु जस्तै हो।
जब तपाईं आफ्नो दैनिक जीवनमा वस्तुहरू देख्नुहुन्छ जुन परिवर्तन नगरी एक स्थानबाट अर्को स्थानमा सारिएको हुन्छ, तपाईं कार्यमा अनुवादहरू देख्दै हुनुहुन्छ। यो सरल विचार निर्देशांक ग्रिडमा आकारहरूले कसरी व्यवहार गर्छन् भनेर बुझ्नको लागि एक प्रमुख भाग हो।
अनुवादहरूको बारेमा मुख्य बुँदाहरूको द्रुत समीक्षा यहाँ छ:
परिभाषा: अनुवादले आकार, आकार, वा अभिमुखीकरण परिवर्तन नगरी कुनै बिन्दु वा आकार सार्छ।
अनुवाद भेक्टर: भेक्टर \( (h, k) \) ले तपाईंलाई कति टाढा र कुन दिशामा सर्ने भनेर बताउँछ। संख्या \( h \) वस्तुलाई तेर्सो रूपमा सार्छ, र \( k \) यसलाई ठाडो रूपमा सार्छ।
सूत्र: बिन्दु \( (x, y) \) अनुवाद गर्न, नयाँ बिन्दु प्राप्त गर्न भेक्टर थप्नुहोस्: \( (x+h, \, y+k) \) ।
स्थिरता: अनुवाद लागू गर्दा आकारको प्रत्येक बिन्दु उस्तै मात्रामा सर्छ।
वास्तविक-विश्व प्रयोगहरू: कम्प्युटर ग्राफिक्स र रोबोटिक्सदेखि पुस्तक स्लाइड गर्ने जस्ता दैनिक कार्यहरूसम्म, अनुवादहरू एक सामान्य प्रकारको आन्दोलन हो।
अनुवादहरूसँग काम गर्दा यी बुँदाहरूलाई ध्यानमा राख्नुहोस्। तिनीहरूले तपाईंलाई ज्यामिति मात्र नभई गणित बाहिरका धेरै अनुप्रयोगहरू बुझ्न पनि मद्दत गर्नेछन्।
यस पाठमा, हामीले निर्देशांक ज्यामितिमा अनुवादहरूको बारेमा सिक्यौं। हामीले यी केन्द्रीय विचारहरूको अन्वेषण गर्यौं:
अनुवादले कुनै बिन्दु वा आकारलाई त्यसको आकार, आकार, वा अभिमुखीकरण परिवर्तन नगरी सार्छ।
\( (h, k) \) को रूपमा लेखिएको अनुवाद भेक्टरले तेर्सो र ठाडो रूपमा चाल देखाउँछ।
अनुवाद सूत्र सरल छ: अनुवाद पछि एउटा बिन्दु \( (x,y) \) \( (x+h, y+k) \) बन्छ।
अनुवाद लागू गर्दा आकारका सबै बिन्दुहरू समान रूपमा सर्छन्, वस्तुलाई अक्षुण्ण राख्छन्।
कम्प्युटर ग्राफिक्स, रोबोटिक्स, र डिजाइन जस्ता धेरै वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरूमा अनुवादहरू उपयोगी छन्।
अनुवाद अभ्यास गरेर र विभिन्न समस्याहरूमा चरणहरू लागू गरेर, तपाईं निर्देशांक ज्यामिति प्रयोग गर्नमा अझ विश्वस्त हुनुहुनेछ। याद राख्नुहोस् कि अनुवादले वस्तुको स्थिति परिवर्तन गर्छ जबकि यसको बारेमा सबै कुरा उस्तै राख्छ।
यस पाठले तपाईंलाई अनुवादहरूको परिचय दिएको छ। यी विचारहरूको साथ, तपाईं ग्रिडमा वस्तुहरू कसरी सर्छन् र अन्तरक्रिया गर्छन् भन्ने बारे थप अन्वेषण गर्न सक्नुहुन्छ। यी चरणहरू अभ्यास गर्नुहोस्, र चाँडै तपाईंले अनुवादहरूसँग काम गर्नु सरल र रमाइलो दुवै भएको पाउनुहुनेछ।
ज्यामिति र यसले हामीलाई वरपरको संसार बुझ्न मद्दत गर्ने धेरै तरिकाहरू बारे थप पत्ता लगाउन आनन्द लिनुहोस्। तपाईंले सिक्न जारी राख्दै जाँदा, यी अवधारणाहरूले परिक्रमा, प्रतिबिम्ब, र थप जटिल रूपान्तरणहरू जस्ता अन्य विषयहरूको लागि निर्माण ब्लकको रूपमा काम गर्नेछन्।
