Ta lekcja wprowadza ideę translacji w geometrii współrzędnych. Translacja to sposób na przesunięcie punktu lub kształtu z jednego miejsca do drugiego na siatce bez zmiany jego rozmiaru, kształtu lub orientacji. Użyjemy prostego języka i jasnych przykładów, aby pomóc Ci zrozumieć tę ważną koncepcję.
Tłumaczenie jest jak przesuwanie przedmiotu na stole. Wyobraź sobie, że masz samochodzik-zabawkę. Kiedy go pchasz, samochodzik porusza się z jednego punktu do drugiego bez obracania się lub przewracania. W tłumaczeniach każda część kształtu porusza się o tę samą odległość w tym samym kierunku. Oznacza to, że kształt pozostaje dokładnie taki sam, ale pojawia się w nowej lokalizacji.
W geometrii współrzędnych badamy punkty za pomocą siatki. Siatka ma dwie ważne linie: oś x (poziomą) i oś y (pionową). Każdy punkt na siatce ma współrzędną x i współrzędną y. Kiedy przesuwamy punkt, zmieniamy te liczby w przewidywalny sposób.
Translacja używa czegoś, co nazywa się wektorem translacji . Ten wektor mówi Ci, o ile przesunąć punkt lub kształt. Wektor translacji ma dwie części: poziomą i pionową. Zapisujemy to jako \( (h, k) \) .
Liczba \( h \) mówi nam, jak daleko przesunąć się w prawo (jeśli \( h \) jest dodatnie) lub w lewo (jeśli \( h \) jest ujemne). Liczba \( k \) mówi nam, jak daleko przesunąć się w górę (jeśli \( k \) jest dodatnie) lub w dół (jeśli \( k \) jest ujemne). Na przykład wektor \( (3, -2) \) oznacza przesunięcie się o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół.
Podczas przesuwania punktu dodajesz wektor translacji do współrzędnych punktu. Jeśli punkt jest zapisany jako \( (x, y) \) i wektor translacji to \( (h, k) \) , to nowy punkt będzie:
\( (x + h, \, y + k) \)
Na przykład, jeśli masz punkt \( (2, 3) \) i przesuniesz go za pomocą wektora \( (1, 2) \) , nowy punkt będzie wyglądał następująco:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Tę prostą regułę stosuje się do każdego przesunięcia w siatce współrzędnych.
Możesz zobaczyć translacje na papierze milimetrowym. Siatka ma poziome i pionowe linie, które pomagają zobaczyć ruch. Gdy kształt jest translowany, każdy punkt kształtu porusza się o ten sam wektor translacji. Oznacza to, że cały kształt pozostaje w tej samej formie i wygląda dokładnie tak samo jak wcześniej, tylko w innej części siatki.
Wyobraź sobie mały kwadrat, którego jeden narożnik znajduje się w punkcie \( (1, 1) \) , a pozostałe narożniki w punktach \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) i \( (2, 1) \) . Jeśli przesuniesz ten kwadrat za pomocą wektora \( (3, -1) \) , każdy narożnik przesunie się poprzez dodanie 3 do współrzędnej x i odjęcie 1 od współrzędnej y. Na przykład narożnik \( (1, 1) \) przesunie się do \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Przetłumaczmy pojedynczy punkt, aby zobaczyć proces w działaniu. Rozważmy punkt \( (2, 3) \) . Chcemy przesunąć ten punkt, używając wektora translacji \( (4, 5) \) . Wykonaj następujące proste kroki:
Krok 1: Zidentyfikuj punkt oryginalny: \( (2, 3) \) .
Krok 2: Zidentyfikuj wektor translacji: \( (4, 5) \) .
Krok 3: Dodaj wartości poziome: \( 2 + 4 = 6 \) .
Krok 4: Dodaj wartości pionowe: \( 3 + 5 = 8 \) .
Krok 5: Zapisz nowy punkt: \( (6, 8) \) .
Tak więc po wykonaniu translacji punkt \( (2, 3) \) staje się \( (6, 8) \) .
Teraz przesuńmy trójkąt. Załóżmy, że trójkąt ma trzy wierzchołki w \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) i \( (5, 2) \) . Używamy wektora translacji \( (2, -1) \) . Oto jak to zrobić:
Krok 1: Dla pierwszego wierzchołka \( (1, 2) \) :
Nowy wierzchołek = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Krok 2: Dla drugiego wierzchołka \( (3, 4) \) :
Nowy wierzchołek = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Krok 3: Dla trzeciego wierzchołka \( (5, 2) \) :
Nowy wierzchołek = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Nowe wierzchołki trójkąta to \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) i \( (7, 1) \) .
Zobaczmy, jak przetłumaczyć prostokąt. Załóżmy, że masz prostokąt z narożnikami w \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) i \( (4, 0) \) . Chcemy przetłumaczyć ten prostokąt za pomocą wektora \( (3, 2) \) . Wykonaj następujące kroki:
Krok 1: Dla narożnika \( (0, 0) \) :
Nowy róg = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Krok 2: Dla narożnika \( (0, 3) \) :
Nowy róg = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Krok 3: Dla narożnika \( (4, 3) \) :
Nowy róg = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Krok 4: Dla narożnika \( (4, 0) \) :
Nowy róg = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Prostokąt przesuwa się do nowych narożników w punktach \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) i \( (7, 2) \) .
Tłumaczenia nie są tylko do rozwiązywania problemów matematycznych. Widzimy je w naszym codziennym życiu. Wyobraź sobie, że przenosisz mebel z jednej strony pokoju na drugą. Mebel pozostaje dokładnie taki sam, ale zmienia swoje położenie. To jest tłumaczenie z życia wzięte.
Innym przykładem jest zjeżdżalnia na placu zabaw. Kiedy się zjeżdża, poruszasz się po linii prostej od góry do dołu. Nie obracasz się ani nie przewracasz; po prostu poruszasz się z jednego miejsca do drugiego, podobnie jak translacja w geometrii.
W grach komputerowych i animacjach postacie i obiekty nieustannie się poruszają. Każdy ruch, który przesuwa obiekt bez zmiany jego kształtu, jest translacją. Pomaga to komputerowi pokazywać płynne animacje, w których wszystko porusza się w uporządkowany sposób.
Tłumaczenia mają szczególne właściwości, które sprawiają, że łatwo się z nimi pracuje:
Brak obrotu: Obiekt nie obraca się ani nie zmienia kierunku. Po prostu przesuwa się w nowe miejsce.
Brak odbicia: Obiekt nie jest odwracany. Pozostaje taki sam, tylko w innym miejscu.
Brak zmiany rozmiaru: Obiekt nie staje się większy ani mniejszy. Jego rozmiar i kształt pozostają dokładnie takie same jak wcześniej.
Właściwości te pokazują, że translacje są rodzajem ruchu sztywnego . Ruchy sztywne utrzymują kształt niezmienionym, a zmienia się tylko jego położenie.
Płaszczyzna współrzędnych składa się z osi x i osi y. Każdy punkt jest zlokalizowany za pomocą współrzędnej x i współrzędnej y. Kiedy wykonujemy translację, zmieniamy te współrzędne, dodając wartości wektorów.
Na przykład, jeśli punkt znajduje się w \( (x, y) \) i użyjemy wektora translacji \( (h, k) \) , nowy punkt stanie się \( (x+h, y+k) \) . Ta sama zasada obowiązuje niezależnie od tego, czy przesuwasz pojedynczy punkt, czy cały kształt, taki jak trójkąt lub prostokąt.
Przejrzysta siatka pomaga wizualizować translacje. Narysuj punkt na siatce, a następnie dodaj wektor i narysuj nowy punkt. To pokaże Ci dokładnie, jak daleko i w jakim kierunku przesunął się punkt.
Czasami możesz zobaczyć kształt w jednym miejscu, a następnie zobaczyć go w innym miejscu. Możesz ustalić wektor translacji, porównując współrzędne punktu w oryginalnej pozycji z punktem w nowej pozycji.
Na przykład, jeżeli punkt przesuwa się z \( (2, 5) \) do \( (7, 8) \) , wektor translacji jest określany przez:
Odejmij współrzędne x: \( 7 - 2 = 5 \) .
Odejmij współrzędne y: \( 8 - 5 = 3 \) .
Wektor translacji w tym przypadku wynosi \( (5, 3) \) .
Siatka jest pomocnym sposobem na zobaczenie translacji w działaniu. Podczas pracy na siatce możesz oznaczyć zarówno oryginalny punkt, jak i nowy punkt. Ta pomoc wizualna ułatwia zrozumienie, jak bardzo punkt się przesunął.
Wiele zadań matematycznych wykorzystuje papier milimetrowy lub siatki cyfrowe. Niezależnie od tego, czy rysujesz ręcznie, czy używasz programu komputerowego, zawsze pamiętaj, że translacja przesuwa każdą część kształtu o tę samą wartość.
Ćwicząc z siatkami, budujesz solidne podstawy do zrozumienia bardziej złożonych ruchów geometrycznych.
Aby rozwiązać problemy związane z tłumaczeniami, wykonaj następujące, jasne kroki:
Krok 1: Przeczytaj uważnie problem i określ, co jest tłumaczone.
Krok 2: Zapisz oryginalne współrzędne każdego punktu lub wierzchołka.
Krok 3: Zidentyfikuj wektor translacji podany w zadaniu.
Krok 4: Dodaj składową poziomą wektora do każdej współrzędnej x.
Krok 5: Dodaj pionową składową wektora do każdej współrzędnej y.
Krok 6: Wpisz nowe współrzędne, które reprezentują przesunięte punkty.
Ta metoda krok po kroku sprawdzi się w przypadku każdego problemu związanego z tłumaczeniem i pomoże Ci go łatwo i poprawnie rozwiązać.
Tłumaczenia są używane w wielu sytuacjach z życia wziętych. Oto kilka przykładów:
Grafika komputerowa i animacja: W grach wideo i kreskówkach postacie i obiekty są przesuwane po ekranie za pomocą tłumaczeń. Ich pozycje są stale aktualizowane w miarę zmiany scen.
Robotyka: Roboty często muszą przemieszczać się z jednego punktu do drugiego. Korzystając z translacji, roboty obliczają, jak daleko i w którym kierunku poruszać ramionami lub kołami, aby podnosić przedmioty lub poruszać się w przestrzeni.
Architektura i projektowanie: Podczas projektowania budynków lub tworzenia wzorów architekci i projektanci stosują tłumaczenia, aby powtarzać elementy. Dzięki temu wzory pozostają spójne i proporcjonalne w całej ich pracy.
Codzienne ruchy: Kiedy przesuwasz książkę po stole, wykonujesz tłumaczenie w prawdziwym życiu. Książka jest po prostu przesuwana z jednego miejsca do drugiego bez zmiany jej kształtu lub rozmiaru.
Wszystkie te przykłady pokazują, że tłumaczenia są praktyczne i przydatne w wielu dziedzinach. Pomagają zachować integralność obiektu, po prostu zmieniając jego położenie.
Chociaż w tej lekcji skupiliśmy się na czystych tłumaczeniach, ważne jest, aby wiedzieć, że tłumaczenia można czasami łączyć z innymi ruchami. W niektórych zadaniach możesz również zobaczyć obroty lub odbicia. Jednak w czystym tłumaczeniu występuje tylko ruch; nie ma obracania, odwracania ani zmiany rozmiaru.
Skupiając się na czystych tłumaczeniach, możesz zbudować solidne zrozumienie podstawowego ruchu. Później, w miarę postępów w nauce, nauczysz się, jak łączyć tłumaczenia z innymi rodzajami transformacji.
Rozważ narysowanie małego kształtu, takiego jak serce lub gwiazda, na kartce papieru. Teraz wyobraź sobie przesuwanie kształtu do innej części papieru. Każdy punkt tworzący kształt porusza się o tę samą odległość w tym samym kierunku. Ta czynność jest podobna do przesuwania kształtu w geometrii współrzędnych.
Kiedy widzisz przedmioty w swoim codziennym życiu, które są przesuwane z jednej pozycji do drugiej bez zmiany, jesteś świadkiem translacji w działaniu. Ta prosta idea jest kluczową częścią zrozumienia, jak kształty zachowują się na siatce współrzędnych.
Oto krótki przegląd najważniejszych kwestii dotyczących tłumaczeń:
Definicja: Translacja polega na przesunięciu punktu lub kształtu bez zmiany jego rozmiaru, kształtu ani orientacji.
Wektor translacji: Wektor \( (h, k) \) mówi, jak daleko i w jakim kierunku się poruszać. Liczba \( h \) przesuwa obiekt poziomo, a \( k \) przesuwa go pionowo.
Wzór: Aby przesunąć punkt \( (x, y) \) , dodaj wektor, aby uzyskać nowy punkt: \( (x+h, \, y+k) \) .
Spójność: Każdy punkt kształtu przesuwa się o tę samą odległość, gdy stosuje się przesunięcie.
Zastosowania w świecie rzeczywistym: Od grafiki komputerowej i robotyki po codzienne czynności, takie jak przesuwanie książki, tłumaczenia są powszechnym rodzajem ruchu.
Pamiętaj o tych punktach, pracując z tłumaczeniami. Pomogą ci zrozumieć nie tylko geometrię, ale także wiele zastosowań poza matematyką.
W tej lekcji dowiedzieliśmy się o translacjach w geometrii współrzędnych. Zbadaliśmy te centralne idee:
Translacja polega na przesunięciu punktu lub kształtu bez zmiany jego rozmiaru, kształtu ani orientacji.
Wektor translacji, zapisany jako \( (h, k) \) , pokazuje ruch w poziomie i w pionie.
Wzór na translację jest prosty: punkt \( (x,y) \) po translacji staje się \( (x+h, y+k) \) .
Wszystkie punkty kształtu poruszają się równomiernie podczas przesuwania, dzięki czemu obiekt pozostaje nienaruszony.
Tłumaczenia są przydatne w wielu praktycznych zastosowaniach, na przykład w grafice komputerowej, robotyce i projektowaniu.
Praktykując tłumaczenia i stosując kroki w różnych problemach, nabierzesz pewności w używaniu geometrii współrzędnych. Pamiętaj, że tłumaczenie po prostu zmienia położenie obiektu, zachowując jednocześnie wszystko inne w nim takie samo.
Ta lekcja dała ci wprowadzenie do tłumaczeń. Dzięki tym pomysłom możesz dowiedzieć się więcej o tym, jak obiekty poruszają się i oddziałują na siatce. Ćwicz te kroki, a wkrótce odkryjesz, że praca z tłumaczeniami jest zarówno prosta, jak i przyjemna.
Ciesz się odkrywaniem więcej na temat geometrii i wielu sposobów, w jakie pomaga nam zrozumieć świat wokół nas. W miarę kontynuowania nauki te koncepcje będą służyć jako elementy składowe dla innych tematów, takich jak obroty, odbicia i bardziej złożone transformacje.
