В этом уроке мы знакомимся с идеей переносов в координатной геометрии. Перевод — это способ перемещения точки или фигуры из одного места в другое на сетке без изменения ее размера, формы или ориентации. Мы будем использовать простой язык и понятные примеры, чтобы помочь вам понять эту важную концепцию.
Перевод похож на скольжение объекта по столу. Представьте, что у вас есть игрушечная машинка. Когда вы ее толкаете, машинка движется из одной точки в другую, не переворачиваясь и не переворачиваясь. При переводе каждая часть формы перемещается на одинаковое расстояние в одном направлении. Это означает, что форма остается точно такой же, но появляется в новом месте.
В координатной геометрии мы изучаем точки с помощью сетки. Сетка имеет две важные линии: ось x (горизонтальную) и ось y (вертикальную). Каждая точка сетки имеет координату x и координату y. Когда мы переносим точку, мы изменяем эти числа предсказуемым образом.
Перевод использует то, что называется вектором перевода . Этот вектор сообщает, насколько нужно переместить точку или фигуру. Вектор перевода состоит из двух частей: горизонтальной и вертикальной. Мы записываем его как \( (h, k) \) .
Число \( h \) говорит нам, насколько далеко переместиться вправо (если \( h \) положительное) или влево (если \( h \) отрицательное). Число \( k \) говорит нам, насколько далеко переместиться вверх (если \( k \) положительное) или вниз (если \( k \) отрицательное). Например, вектор \( (3, -2) \) означает перемещение на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз.
Когда вы переводите точку, вы добавляете вектор перевода к координатам точки. Если точка записана как \( (x, y) \) и вектор перевода — \( (h, k) \) , то новая точка будет:
\( (x + h, \, y + k) \)
Например, если у вас есть точка \( (2, 3) \) и вы переносите ее с помощью вектора \( (1, 2) \) , то новая точка будет:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Это простое правило применяется для каждого перемещения в координатной сетке.
Вы можете увидеть переводы на миллиметровой бумаге. Сетка имеет горизонтальные и вертикальные линии, которые помогают вам увидеть движение. Когда форма переносится, каждая точка формы перемещается по одному и тому же вектору переноса. Это означает, что вся форма остается в той же форме и выглядит точно так же, как и раньше, просто в другой части сетки.
Представьте себе небольшой квадрат с одним углом в точке \( (1, 1) \) , а другими углами в точках \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) , и \( (2, 1) \) . Если вы переместите этот квадрат с помощью вектора \( (3, -1) \) , каждый угол сместится, прибавив 3 к координате x и вычтя 1 из координаты y. Например, угол \( (1, 1) \) сместится в точку \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Давайте перенесем одну точку, чтобы увидеть процесс в действии. Рассмотрим точку \( (2, 3) \) . Мы хотим перенести эту точку с помощью вектора переноса \( (4, 5) \) . Выполните следующие простые шаги:
Шаг 1: Определите исходную точку: \( (2, 3) \) .
Шаг 2: Определите вектор переноса: \( (4, 5) \) .
Шаг 3: Складываем горизонтальные значения: \( 2 + 4 = 6 \) .
Шаг 4: Сложите вертикальные значения: \( 3 + 5 = 8 \) .
Шаг 5: Запишите новую точку: \( (6, 8) \) .
Таким образом, после переноса точка \( (2, 3) \) становится \( (6, 8) \) .
Теперь давайте перенесем треугольник. Предположим, что треугольник имеет три вершины в \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) , и \( (5, 2) \) . Мы используем вектор переноса \( (2, -1) \) . Вот как это делается:
Шаг 1: Для первой вершины \( (1, 2) \) :
Новая вершина = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Шаг 2: Для второй вершины \( (3, 4) \) :
Новая вершина = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Шаг 3: Для третьей вершины \( (5, 2) \) :
Новая вершина = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Новые вершины треугольника — \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) и \( (7, 1) \) .
Давайте посмотрим, как переместить прямоугольник. Предположим, у вас есть прямоугольник с углами в \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) , и \( (4, 0) \) . Мы хотим переместить этот прямоугольник с помощью вектора \( (3, 2) \) . Выполните следующие шаги:
Шаг 1: Для угла \( (0, 0) \) :
Новый угол = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Шаг 2: Для угла \( (0, 3) \) :
Новый угол = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Шаг 3: Для угла \( (4, 3) \) :
Новый угол = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Шаг 4: Для угла \( (4, 0) \) :
Новый угол = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Прямоугольник перемещается в новые углы в точках \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) и \( (7, 2) \) .
Переводы нужны не только для математических задач. Мы видим их в повседневной жизни. Представьте себе перемещение мебели из одной стороны комнаты в другую. Мебель остается на месте, но меняет свое местоположение. Это реальный перевод.
Другой пример — слайд на детской площадке. Когда вы скользите, вы движетесь по прямой сверху вниз. Вы не крутитесь и не переворачиваетесь; вы просто перемещаетесь из одного места в другое, что очень похоже на перенос в геометрии.
В компьютерных играх и анимациях персонажи и объекты постоянно движутся. Каждое движение, которое смещает объект, не меняя его форму, является переводом. Это помогает компьютеру показывать плавные анимации, где все движется упорядоченным образом.
Переводы обладают особыми свойствами, которые облегчают работу с ними:
Нет вращения: объект не поворачивается и не меняет своего направления. Он просто скользит на новое место.
Нет отражения: объект не переворачивается. Он остается таким же, только в другом месте.
Никаких изменений в размере: объект не становится больше или меньше. Его размер и форма остаются точно такими же, как и прежде.
Эти свойства показывают, что трансляции являются типом жесткого движения . Жесткие движения сохраняют форму неизменной, изменяется только ее положение.
Координатная плоскость состоит из оси x и оси y. Каждая точка располагается по своей координате x и координате y. Когда мы выполняем перенос, мы изменяем эти координаты, добавляя векторные значения.
Например, если точка находится в точке \( (x, y) \) и мы используем вектор перемещения \( (h, k) \) , новая точка становится \( (x+h, y+k) \) . Это же правило применяется независимо от того, перемещаете ли вы отдельную точку или целую фигуру, например треугольник или прямоугольник.
Четкая сетка помогает визуализировать перемещения. Нарисуйте точку на сетке, затем добавьте вектор и начертите новую точку. Это покажет вам, насколько далеко и в каком направлении переместилась точка.
Иногда вы можете увидеть форму в одном месте, а затем увидеть ее в другом месте. Вы можете вычислить вектор перемещения, сравнив координаты точки в исходном положении с точкой в новом положении.
Например, если точка перемещается из \( (2, 5) \) в \( (7, 8) \) , вектор перемещения определяется по формуле:
Вычтите координаты x: \( 7 - 2 = 5 \) .
Вычтите координаты y: \( 8 - 5 = 3 \) .
Вектор переноса здесь равен \( (5, 3) \) .
Использование сетки — полезный способ увидеть перемещения в действии. Работая с сеткой, вы можете отметить как исходную, так и новую точку. Это визуальное пособие облегчает понимание того, насколько сместилась точка.
Во многих математических задачах используется миллиметровая бумага или цифровые сетки. Независимо от того, рисуете ли вы от руки или используете компьютерную программу, всегда помните, что перенос перемещает каждую часть фигуры на одну и ту же величину.
Практикуясь с сетками, вы создаете прочную основу для понимания более сложных движений в геометрии в дальнейшем.
Чтобы решить проблемы, связанные с переводами, следуйте этим четким шагам:
Шаг 1: Внимательно прочитайте задачу и определите, что именно переводится.
Шаг 2: Запишите исходные координаты каждой точки или вершины.
Шаг 3: Определите вектор перемещения, указанный в задаче.
Шаг 4: Добавьте горизонтальную составляющую вектора к каждой координате x.
Шаг 5: Добавьте вертикальную составляющую вектора к каждой координате y.
Шаг 6: Запишите новые координаты, представляющие перемещенные точки.
Этот пошаговый метод подходит для любых проблем перевода и поможет вам решить их легко и правильно.
Переводы используются во многих реальных ситуациях. Вот несколько примеров:
Компьютерная графика и анимация: В видеоиграх и мультфильмах персонажи и объекты перемещаются по экрану с помощью переводов. Их позиции постоянно обновляются по мере смены сцен.
Робототехника: Роботам часто нужно перемещаться из одной точки в другую. Используя перемещения, роботы вычисляют, насколько далеко и в каком направлении перемещать свои руки или колеса, чтобы поднять предметы или переместиться в пространстве.
Архитектура и дизайн: При проектировании зданий или создании узоров архитекторы и дизайнеры используют переводы для повторения элементов. Это гарантирует, что узоры остаются последовательными и пропорциональными на протяжении всей работы.
Повседневные движения: Когда вы скользите книгой по столу, вы выполняете реальный перевод. Книга просто перемещается из одного места в другое, не меняя своей формы или размера.
Все эти примеры показывают, что переводы практичны и полезны во многих областях. Они помогают сохранить целостность объекта, просто изменяя его положение.
Хотя в этом уроке мы сосредоточились на чистых перемещениях, важно знать, что перемещения иногда можно сочетать с другими движениями. В некоторых задачах вы также можете увидеть вращения или отражения. Однако в чистом перемещении есть только движение; нет поворота, переворачивания или изменения размера.
Сосредоточившись на чистых переводах, вы сможете сформировать прочное понимание базового движения. Позже, по мере продвижения в учебе, вы узнаете, как сочетать переводы с другими типами трансформаций.
Подумайте о том, чтобы нарисовать на листе бумаги небольшую фигуру, например, сердце или звезду. Теперь представьте, что вы перемещаете фигуру в другую часть бумаги. Каждая точка, составляющая фигуру, перемещается на одинаковое расстояние в одном направлении. Это действие похоже на перемещение фигуры в координатной геометрии.
Когда вы видите в повседневной жизни объекты, которые перемещаются из одного положения в другое без изменений, вы наблюдаете перемещения в действии. Эта простая идея является ключевой частью понимания того, как формы ведут себя на координатной сетке.
Вот краткий обзор ключевых моментов, касающихся переводов:
Определение: При перемещении точка или фигура перемещается без изменения ее размера, формы или ориентации.
Вектор перемещения: Вектор \( (h, k) \) сообщает вам, как далеко и в каком направлении нужно двигаться. Число \( h \) перемещает объект по горизонтали, а \( k \) перемещает его по вертикали.
Формула: Чтобы переместить точку \( (x, y) \) , добавьте вектор, чтобы получить новую точку: \( (x+h, \, y+k) \) .
Последовательность: каждая точка фигуры перемещается на одну и ту же величину при применении перемещения.
Реальное применение: от компьютерной графики и робототехники до повседневных действий, таких как перелистывание книги, переводы являются распространенным типом движения.
Помните об этих моментах при работе с переводами. Они помогут вам понять не только геометрию, но и многие приложения за пределами математики.
В этом уроке мы узнали о переносах в координатной геометрии. Мы исследовали следующие центральные идеи:
При перемещении точка или фигура перемещается без изменения ее размера, формы или ориентации.
Вектор перемещения, записанный как \( (h, k) \) , показывает перемещение по горизонтали и вертикали.
Формула переноса проста: точка \( (x,y) \) становится \( (x+h, y+k) \) после переноса.
При применении перемещения все точки фигуры перемещаются одинаково, сохраняя объект нетронутым.
Переводы полезны во многих реальных приложениях, таких как компьютерная графика, робототехника и дизайн.
Практикуя переносы и применяя шаги в различных задачах, вы станете более уверенными в использовании координатной геометрии. Помните, что перенос просто изменяет положение объекта, сохраняя все остальное в нем прежним.
Этот урок дал вам введение в переводы. С помощью этих идей вы можете больше узнать о том, как объекты перемещаются и взаимодействуют на сетке. Практикуйте эти шаги, и вскоре вы обнаружите, что работа с переводами и проста, и приятна.
Наслаждайтесь открытием новых знаний о геометрии и многочисленных способах, которыми она помогает нам понимать окружающий мир. По мере того, как вы продолжите обучение, эти концепции послужат строительными блоками для других тем, таких как вращения, отражения и более сложные преобразования.
