Ky mësim prezanton idenë e zhvendosjeve në gjeometrinë koordinative. Një zhvendosje është një mënyrë për të lëvizur një pikë ose formë nga një vend në tjetrin në një rrjetë pa ndryshuar madhësinë, formën ose orientimin e saj. Ne do të përdorim gjuhë të thjeshtë dhe shembuj të qartë për t'ju ndihmuar të kuptoni këtë koncept të rëndësishëm.
Një përkthim është si të rrëshqitësh një objekt mbi një tavolinë. Imagjino sikur ke një makinë lodër. Kur e shtyn, makina lëviz nga një pikë në tjetrën pa u kthyer ose përmbysur. Në përkthime, çdo pjesë e një forme lëviz të njëjtën distancë në të njëjtin drejtim. Kjo do të thotë që forma mbetet saktësisht e njëjtë, por shfaqet në një vendndodhje të re.
Në gjeometrinë e koordinatave, ne studiojmë pikat duke përdorur një rrjetë. Rrjeta ka dy vija të rëndësishme: boshti x (horizontal) dhe boshti y (vertikal). Çdo pikë në rrjetë ka një koordinatë x dhe një koordinatë y. Kur e përkthejmë një pikë, ne i ndryshojmë këto numra në një mënyrë të parashikueshme.
Një zhvendosje përdor diçka që quhet vektor zhvendosjeje . Ky vektor ju tregon se sa duhet të lëvizni një pikë ose formë. Një vektor zhvendosjeje ka dy pjesë: pjesën horizontale dhe pjesën vertikale. Ne e shkruajmë atë si \( (h, k) \) .
Numri \( h \) na tregon se sa larg të lëvizim djathtas (nëse \( h \) është pozitiv) ose majtas (nëse \( h \) është negativ). Numri \( k \) na tregon se sa larg të lëvizim lart (nëse \( k \) është pozitiv) ose poshtë (nëse \( k \) është negativ). Për shembull, vektori \( (3, -2) \) do të thotë të lëvizim 3 njësi djathtas dhe 2 njësi poshtë.
Kur përktheni një pikë, ju shtoni vektorin e përkthimit në koordinatat e pikës. Nëse një pikë shkruhet si \( (x, y) \) dhe vektori i përkthimit është \( (h, k) \) , atëherë pika e re do të jetë:
\( (x + h, \, y + k) \)
Për shembull, nëse keni një pikë \( (2, 3) \) dhe e përktheni atë me vektorin \( (1, 2) \) , pika e re do të jetë:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Ky rregull i thjeshtë përdoret për çdo përkthim në rrjetin koordinativ.
Mund të shihni përkthime në letër milimetrike. Një rrjetë ka vija horizontale dhe vertikale që ju ndihmojnë të shihni lëvizjen. Kur një formë përkthehet, çdo pikë e formës lëviz sipas të njëjtit vektor përkthimi. Kjo do të thotë që e gjithë forma mbetet në të njëjtën formë dhe duket tamam siç ishte më parë, vetëm në një pjesë të ndryshme të rrjetës.
Imagjinoni një katror të vogël me një cep te \( (1, 1) \) dhe cepat e tjerë te \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) dhe \( (2, 1) \) . Nëse e përktheni këtë katror me vektorin \( (3, -1) \) , çdo cep lëviz duke shtuar 3 në koordinatën x dhe duke zbritur 1 nga koordinata y. Për shembull, cepi \( (1, 1) \) lëviz te \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Le të përkthejmë një pikë të vetme për të parë procesin në veprim. Merrni parasysh pikën \( (2, 3) \) . Ne duam ta përkthejmë këtë pikë duke përdorur vektorin e përkthimit \( (4, 5) \) . Ndiqni këto hapa të thjeshtë:
Hapi 1: Identifikoni pikën origjinale: \( (2, 3) \) .
Hapi 2: Identifikoni vektorin e përkthimit: \( (4, 5) \) .
Hapi 3: Mblidhni vlerat horizontale: \( 2 + 4 = 6 \) .
Hapi 4: Mblidhni vlerat vertikale: \( 3 + 5 = 8 \) .
Hapi 5: Shkruani pikën e re: \( (6, 8) \) .
Kështu, pas përkthimit, pika \( (2, 3) \) bëhet \( (6, 8) \) .
Tani, le të përkthejmë një trekëndësh. Supozojmë se trekëndëshi ka tre kulme në \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) dhe \( (5, 2) \) . Ne përdorim vektorin e përkthimit \( (2, -1) \) . Ja se si e bëni:
Hapi 1: Për kulmin e parë \( (1, 2) \) :
Kulmi i ri = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Hapi 2: Për kulmin e dytë \( (3, 4) \) :
Kulmi i ri = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Hapi 3: Për kulmin e tretë \( (5, 2) \) :
Kulmi i ri = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Kulmet e reja të trekëndëshit janë \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) dhe \( (7, 1) \) .
Le të shohim se si të përkthejmë një drejtkëndësh. Supozojmë se keni një drejtkëndësh me kënde në \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) dhe \( (4, 0) \) . Duam ta përkthejmë këtë drejtkëndësh duke përdorur vektorin \( (3, 2) \) . Ndiqni këto hapa:
Hapi 1: Për këndin \( (0, 0) \) :
Këndi i ri = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Hapi 2: Për këndin \( (0, 3) \) :
Këndi i ri = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Hapi 3: Për këndin \( (4, 3) \) :
Këndi i ri = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Hapi 4: Për këndin \( (4, 0) \) :
Këndi i ri = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Drejtkëndëshi lëviz në kënde të reja te \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) dhe \( (7, 2) \) .
Përkthimet nuk janë vetëm për problemet matematikore. Ne i shohim ato në jetën tonë të përditshme. Imagjinoni të zhvendosni një mobilje nga njëra anë e dhomës në tjetrën. Mobiljet mbeten saktësisht të njëjta, por ndryshojnë vendndodhjen e tyre. Ky është një përkthim i jetës reale.
Një shembull tjetër është një rrëshqitëse në një shesh lojërash. Kur rrëshqet, lëviz në një vijë të drejtë nga lart poshtë. Nuk rrotullohesh ose përmbysesh; thjesht lëviz nga një vend në tjetrin, shumë ngjashëm me një përkthim në gjeometri.
Në lojërat kompjuterike dhe animacionet, personazhet dhe objektet janë vazhdimisht në lëvizje. Çdo lëvizje që zhvendos një objekt pa ndryshuar formën e tij është një përkthim. Kjo e ndihmon kompjuterin të shfaqë animacione të lëmuara ku gjithçka lëviz në një mënyrë të rregullt.
Përkthimet kanë veti të veçanta që e bëjnë të lehtë për t'u përdorur:
Pa Rrotullim: Objekti nuk kthehet ose nuk e ndryshon drejtimin e tij. Ai thjesht rrëshqet në një vend të ri.
Pa reflektim: Objekti nuk përmbyset. Ai qëndron në të njëjtën mënyrë, vetëm në një vendndodhje tjetër.
Pa ndryshim në madhësi: Objekti nuk bëhet as më i madh as më i vogël. Madhësia dhe forma e tij mbeten tamam si më parë.
Këto veti tregojnë se zhvendosjet janë një lloj lëvizjeje të ngurtë . Lëvizjet e ngurta e mbajnë formën të pandryshuar dhe vetëm pozicioni i saj ndryshohet.
Plani koordinativ përbëhet nga boshti x dhe boshti y. Çdo pikë përcaktohet nga koordinata e saj x dhe koordinata y. Kur kryejmë një zhvendosje, i ndryshojmë këto koordinata duke shtuar vlerat vektoriale.
Për shembull, nëse një pikë është në \( (x, y) \) dhe ne përdorim një vektor përkthimi \( (h, k) \) , pika e re bëhet \( (x+h, y+k) \) . I njëjti rregull vlen pavarësisht nëse lëvizni një pikë të vetme ose një formë të tërë si një trekëndësh ose drejtkëndësh.
Një rrjetë e qartë ju ndihmon të vizualizoni përkthimet. Vizatoni pikën në rrjetë, pastaj shtoni vektorin dhe vizatoni pikën e re. Kjo do t'ju tregojë saktësisht se sa larg dhe në çfarë drejtimi është lëvizur pika.
Ndonjëherë, mund të shihni një formë në një vend dhe pastaj ta shihni atë në një vend tjetër. Mund ta kuptoni vektorin e zhvendosjes duke krahasuar koordinatat e një pike në pozicionin origjinal me një pikë në pozicionin e ri.
Për shembull, nëse një pikë lëviz nga \( (2, 5) \) në \( (7, 8) \) , vektori i zhvendosjes përcaktohet nga:
Zbritni koordinatat x: \( 7 - 2 = 5 \) .
Zbritni koordinatat y: \( 8 - 5 = 3 \) .
Vektori i përkthimit këtu është \( (5, 3) \) .
Përdorimi i një rrjete është një mënyrë e dobishme për të parë përkthimet në veprim. Kur punoni në një rrjetë, mund të shënoni si pikën origjinale ashtu edhe pikën e re. Ky mjet ndihmës vizual e bën më të lehtë të kuptoni se sa është lëvizur një pikë.
Shumë probleme matematikore përdorin letër milimetrike ose rrjeta dixhitale. Pavarësisht nëse vizatoni me dorë apo përdorni një program kompjuteri, mbani mend gjithmonë se një përkthim lëviz çdo pjesë të një forme me të njëjtën sasi.
Kur praktikoni me rrjeta, ndërtoni një themel të fortë për të kuptuar lëvizjet më komplekse në gjeometri më vonë.
Për të zgjidhur problemet që përfshijnë përkthimet, ndiqni këto hapa të qartë:
Hapi 1: Lexojeni me kujdes problemin dhe identifikoni se çfarë po përkthehet.
Hapi 2: Shkruani koordinatat origjinale të secilës pikë ose kulm.
Hapi 3: Identifikoni vektorin e përkthimit të dhënë në problem.
Hapi 4: Shtoni përbërësin horizontal të vektorit në secilën koordinatë x.
Hapi 5: Shtoni komponentin vertikal të vektorit në secilën koordinatë y.
Hapi 6: Shkruani koordinatat e reja, të cilat përfaqësojnë pikat e përkthyera.
Kjo metodë hap pas hapi funksionon për çdo problem përkthimi dhe ju ndihmon t'i zgjidhni ato lehtë dhe saktë.
Përkthimet përdoren në shumë situata të botës reale. Ja disa shembuj:
Grafika Kompjuterike dhe Animacioni: Në videolojërat dhe filmat vizatimorë, personazhet dhe objektet lëvizin nëpër ekran duke përdorur përkthime. Pozicionet e tyre përditësohen vazhdimisht ndërsa skenat ndryshojnë.
Robotikë: Robotët shpesh duhet të lëvizin nga një pikë në tjetrën. Duke përdorur zhvendosjet, robotët llogarisin se sa larg dhe në cilin drejtim duhet të lëvizin krahët ose rrotat e tyre në mënyrë që të marrin objekte ose të lundrojnë në një hapësirë.
Arkitektura dhe Dizajni: Kur projektojnë ndërtesa ose krijojnë modele, arkitektët dhe projektuesit përdorin përkthime për të përsëritur elementët. Kjo siguron që modelet të mbeten konsistente dhe proporcionale gjatë gjithë punës së tyre.
Lëvizjet e përditshme: Kur rrëshqasni një libër mbi një tavolinë, po kryeni një përkthim të jetës reale. Libri thjesht zhvendoset nga një vendndodhje në tjetrën pa ndryshuar formën ose madhësinë e tij.
Të gjitha këto shembuj tregojnë se përkthimet janë praktike dhe të dobishme në shumë fusha. Ato ndihmojnë në ruajtjen e integritetit të objektit, ndërkohë që thjesht ndryshojnë pozicionin e tij.
Ndërkohë që në këtë mësim jemi përqendruar te përkthimet e pastra, është e rëndësishme të dimë se përkthimet ndonjëherë mund të kombinohen me lëvizje të tjera. Në disa probleme, mund të shihni edhe rrotullime ose reflektime. Megjithatë, në një përkthim të pastër, ka vetëm lëvizje; nuk ka kthim, përmbysje ose ndryshim madhësie.
Duke u përqendruar në përkthime të pastra, mund të ndërtoni një kuptim të fortë të lëvizjes bazë. Më vonë, ndërsa përparoni në studimet tuaja, do të mësoni se si t'i kombinoni përkthimet me lloje të tjera të transformimeve.
Konsideroni të vizatoni një formë të vogël, si një zemër ose një yll, në një copë letër. Tani, imagjinoni rrëshqitjen e formës në një pjesë tjetër të letrës. Çdo pikë që përbën formën lëviz të njëjtën distancë në të njëjtin drejtim. Ky veprim është i ngjashëm me përkthimin e formës në gjeometrinë koordinative.
Kur shihni objekte në jetën tuaj të përditshme që lëvizin nga një pozicion në tjetrin pa ndryshuar, jeni dëshmitarë të përkthimeve në veprim. Kjo ide e thjeshtë është një pjesë kyçe e të kuptuarit se si sillen format në një rrjet koordinativ.
Ja një përmbledhje e shpejtë e pikave kryesore rreth përkthimeve:
Përkufizim: Një zhvendosje lëviz një pikë ose formë pa ndryshuar madhësinë, formën ose orientimin e saj.
Vektori i përkthimit: Vektori \( (h, k) \) ju tregon se sa larg dhe në cilin drejtim duhet të lëvizni. Numri \( h \) e lëviz objektin horizontalisht, dhe \( k \) e lëviz atë vertikalisht.
Formula: Për të përkthyer një pikë \( (x, y) \) , shtoni vektorin për të marrë pikën e re: \( (x+h, \, y+k) \) .
Konsistenca: Çdo pikë në një formë lëviz me të njëjtën sasi kur zbatohet një përkthim.
Përdorimet në botën reale: Nga grafika kompjuterike dhe robotika te veprimet e përditshme si rrëshqitja e një libri, përkthimet janë një lloj lëvizjeje i zakonshëm.
Mbajini parasysh këto pika kur punoni me përkthime. Ato do t'ju ndihmojnë të kuptoni jo vetëm gjeometrinë, por edhe shumë zbatime jashtë matematikës.
Në këtë mësim, mësuam rreth translacioneve në gjeometrinë koordinative. Ne shqyrtuam këto ide qendrore:
Një zhvendosje lëviz një pikë ose formë pa ndryshuar madhësinë, formën ose orientimin e saj.
Vektori i përkthimit, i shkruar si \( (h, k) \) , tregon lëvizjen horizontalisht dhe vertikalisht.
Formula e përkthimit është e thjeshtë: një pikë \( (x,y) \) bëhet \( (x+h, y+k) \) pas përkthimit.
Të gjitha pikat në një formë lëvizin në mënyrë të barabartë kur zbatohet një zhvendosje, duke e mbajtur objektin të paprekur.
Përkthimet janë të dobishme në shumë aplikacione të botës reale, siç janë grafika kompjuterike, robotika dhe dizajni.
Duke praktikuar përkthimin dhe duke zbatuar hapat në probleme të ndryshme, do të bëheni më të sigurt në përdorimin e gjeometrisë koordinative. Mos harroni se një përkthim thjesht ndryshon pozicionin e një objekti duke mbajtur gjithçka tjetër në lidhje me të të njëjtë.
Ky mësim ju ka dhënë një hyrje në përkthime. Me këto ide, mund të eksploroni më shumë rreth mënyrës se si objektet lëvizin dhe bashkëveprojnë në një rrjetë. Praktikoni këto hapa dhe së shpejti do të zbuloni se puna me përkthimet është njëkohësisht e thjeshtë dhe e këndshme.
Shijoni zbulimin e më shumë rreth gjeometrisë dhe shumë mënyrave se si ajo na ndihmon të kuptojmë botën përreth nesh. Ndërsa vazhdoni të mësoni, këto koncepte do të shërbejnë si blloqe ndërtimi për tema të tjera si rrotullimet, reflektimet dhe transformimet më komplekse.
