Den här lektionen introducerar idén om förflyttningar inom koordinatgeometri. En förflyttning är ett sätt att flytta en punkt eller form från en plats till en annan i ett rutnät utan att ändra dess storlek, form eller orientering. Vi kommer att använda ett enkelt språk och tydliga exempel för att hjälpa dig att förstå detta viktiga koncept.
En förflyttning är som att skjuta ett föremål på ett bord. Tänk dig att du har en leksaksbil. När du knuffar den rör sig bilen från en punkt till en annan utan att vända eller välta. Vid förflyttningar rör sig varje del av en form samma sträcka i samma riktning. Det betyder att formen förblir exakt densamma men visas på en ny plats.
Inom koordinatgeometri studerar vi punkter med hjälp av ett rutnät. Rutnätet har två viktiga linjer: x-axeln (horisontell) och y-axeln (vertikal). Varje punkt på rutnätet har en x-koordinat och en y-koordinat. När vi förskjuter en punkt ändrar vi dessa tal på ett förutsägbart sätt.
En förflyttning använder något som kallas en förflyttningsvektor . Denna vektor anger hur mycket en punkt eller form ska flyttas. En förflyttningsvektor har två delar: den horisontella delen och den vertikala delen. Vi skriver den som \( (h, k) \) .
Talet \( h \) talar om för oss hur långt vi ska röra oss åt höger (om \( h \) är positiv) eller åt vänster (om \( h \) är negativ). Talet \( k \) talar om för oss hur långt vi ska röra oss uppåt (om \( k \) är positiv) eller nedåt (om \( k \) är negativ). Till exempel betyder vektorn \( (3, -2) \) att man ska röra sig 3 enheter åt höger och 2 enheter nedåt.
När du förflyttar en punkt lägger du till förflyttningsvektorn till punktens koordinater. Om en punkt skrivs som \( (x, y) \) och förflyttningsvektorn är \( (h, k) \) , då blir den nya punkten:
\( (x + h, \, y + k) \)
Om du till exempel har en punkt \( (2, 3) \) och du förflyttar den med vektorn \( (1, 2) \) , blir den nya punkten:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Denna enkla regel används för varje förflyttning i koordinatnätet.
Du kan se förflyttningar på rutat papper. Ett rutnät har horisontella och vertikala linjer som hjälper dig att se rörelsen. När en form förflyttas rör sig varje punkt på formen med samma förflyttningsvektor. Det betyder att hela formen förblir i samma form och ser exakt ut som den gjorde tidigare, bara i en annan del av rutnätet.
Föreställ dig en liten kvadrat med ett hörn vid \( (1, 1) \) och de andra hörnen vid \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) och \( (2, 1) \) . Om du förskjuter denna kvadrat med vektorn \( (3, -1) \) flyttas varje hörn genom att lägga till 3 till x-koordinaten och subtrahera 1 från y-koordinaten. Till exempel flyttas hörnet \( (1, 1) \) till \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Låt oss förflytta en enda punkt för att se processen i praktiken. Betrakta punkten \( (2, 3) \) . Vi vill förflytta denna punkt med hjälp av förflyttningsvektorn \( (4, 5) \) . Följ dessa enkla steg:
Steg 1: Identifiera den ursprungliga punkten: \( (2, 3) \) .
Steg 2: Identifiera translationsvektorn: \( (4, 5) \) .
Steg 3: Addera de horisontella värdena: \( 2 + 4 = 6 \) .
Steg 4: Addera de vertikala värdena: \( 3 + 5 = 8 \) .
Steg 5: Skriv den nya punkten: \( (6, 8) \) .
Således, efter förflyttningen, blir punkten \( (2, 3) \) \( (6, 8) \) .
Nu ska vi translatera en triangel. Anta att triangeln har tre noder vid \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) och \( (5, 2) \) . Vi använder translationsvektorn \( (2, -1) \) . Så här gör du:
Steg 1: För den första punkten \( (1, 2) \) :
Nytt hörn = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Steg 2: För den andra punkten \( (3, 4) \) :
Nytt hörn = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Steg 3: För den tredje punkten \( (5, 2) \) :
Nytt hörn = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Triangelns nya noder är \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) och \( (7, 1) \) .
Låt oss se hur man translaterar en rektangel. Anta att du har en rektangel med hörn vid \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) och \( (4, 0) \) . Vi vill translatera denna rektangel med hjälp av vektorn \( (3, 2) \) . Följ dessa steg:
Steg 1: För hörnet \( (0, 0) \) :
Nytt hörn = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Steg 2: För hörnet \( (0, 3) \) :
Nytt hörn = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Steg 3: För hörnet \( (4, 3) \) :
Nytt hörn = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Steg 4: För hörnet \( (4, 0) \) :
Nytt hörn = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Rektangeln flyttas till nya hörn vid \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) och \( (7, 2) \) .
Översättningar är inte bara till för matteproblem. Vi ser dem i våra vardagsliv. Tänk dig att flytta en möbel från ena sidan av ett rum till den andra. Möbeln förblir exakt densamma men ändrar sin plats. Detta är en verklig översättning.
Ett annat exempel är en rutschkana på en lekplats. När du rutschkana rör du dig i en rak linje från toppen till botten. Du snurrar inte runt eller voltar; du rör dig helt enkelt från en plats till en annan, ungefär som en förflyttning inom geometri.
I datorspel och animationer rör sig karaktärer och objekt ständigt. Varje rörelse som förskjuter ett objekt utan att ändra dess form är en förflyttning. Detta hjälper datorn att visa smidiga animationer där allt rör sig på ett ordnat sätt.
Översättningar har speciella egenskaper som gör dem enkla att arbeta med:
Ingen rotation: Objektet varken vrider sig eller ändrar riktning. Det glider bara till en ny plats.
Ingen reflektion: Objektet vänds inte. Det förblir på samma sätt, bara på en annan plats.
Ingen storleksförändring: Objektet blir varken större eller mindre. Dess storlek och form förblir exakt som tidigare.
Dessa egenskaper visar att translationer är en typ av stel rörelse . Stela rörelser behåller formen oförändrad, och endast dess position ändras.
Koordinatplanet består av x-axeln och y-axeln. Varje punkt är placerad med hjälp av sin x-koordinat och y-koordinat. När vi utför en förflyttning ändrar vi dessa koordinater genom att addera vektorvärdena.
Till exempel, om en punkt är vid \( (x, y) \) och vi använder en translationsvektor \( (h, k) \) , blir den nya punkten \( (x+h, y+k) \) . Samma regel gäller oavsett om du flyttar en enskild punkt eller en hel form som en triangel eller rektangel.
Ett tydligt rutnät hjälper dig att visualisera förflyttningar. Rita punkten i rutnätet, lägg sedan till vektorn och plotta den nya punkten. Detta visar dig exakt hur långt och i vilken riktning punkten har rört sig.
Ibland kan man se en form på ett ställe och sedan på ett annat ställe. Man kan räkna ut translationsvektorn genom att jämföra koordinaterna för en punkt i den ursprungliga positionen med en punkt i den nya positionen.
Om till exempel en punkt rör sig från \( (2, 5) \) till \( (7, 8) \) bestäms translationsvektorn av:
Subtrahera x-koordinaterna: \( 7 - 2 = 5 \) .
Subtrahera y-koordinaterna: \( 8 - 5 = 3 \) .
Translationsvektorn här är \( (5, 3) \) .
Att använda ett rutnät är ett bra sätt att se förflyttningar i aktion. När du arbetar i ett rutnät kan du markera både den ursprungliga punkten och den nya punkten. Detta visuella hjälpmedel gör det lättare att förstå hur mycket en punkt har flyttats.
Många matteproblem använder rutat papper eller digitala rutnät. Oavsett om du ritar för hand eller använder ett datorprogram, kom alltid ihåg att en förflyttning flyttar varje del av en form med samma mängd.
När du övar med rutnät bygger du en stark grund för att förstå mer komplexa rörelser inom geometri senare.
För att lösa problem som rör översättningar, följ dessa tydliga steg:
Steg 1: Läs problemet noggrant och identifiera vad som översätts.
Steg 2: Skriv ner de ursprungliga koordinaterna för varje punkt eller hörn.
Steg 3: Identifiera den translationsvektor som anges i problemet.
Steg 4: Addera vektorns horisontella komponent till varje x-koordinat.
Steg 5: Addera vektorns vertikala komponent till varje y-koordinat.
Steg 6: Skriv de nya koordinaterna, som representerar de translaterade punkterna.
Denna steg-för-steg-metod fungerar för alla översättningsproblem och hjälper dig att lösa dem enkelt och korrekt.
Översättningar används i många verkliga situationer. Här är några exempel:
Datorgrafik och animation: I videospel och tecknade serier flyttas karaktärer och objekt över skärmen med hjälp av översättningar. Deras positioner uppdateras kontinuerligt allt eftersom scenerna ändras.
Robotik: Robotar behöver ofta förflytta sig från en punkt till en annan. Genom att använda förflyttningar beräknar robotar hur långt och i vilken riktning de ska röra sina armar eller hjul för att plocka upp föremål eller navigera i ett utrymme.
Arkitektur och design: När arkitekter och designers designar byggnader eller skapar mönster använder de översättningar för att upprepa element. Detta säkerställer att mönstren förblir konsekventa och proportionella genom hela arbetet.
Vardagliga rörelser: När du skjuter en bok över ett bord utför du en verklig översättning. Boken flyttas helt enkelt från en plats till en annan utan att ändra form eller storlek.
Alla dessa exempel visar att översättningar är praktiska och användbara inom många områden. De hjälper till att bevara objektets integritet samtidigt som de helt enkelt ändrar dess position.
Även om vi har fokuserat på rena översättningar i den här lektionen är det viktigt att veta att översättningar ibland kan kombineras med andra rörelser. I vissa problem kan du också se rotationer eller reflektioner. Men i en ren översättning finns det bara rörelse; det finns ingen vridning, vändning eller storleksändring.
Genom att fokusera på rena översättningar kan du bygga upp en gedigen förståelse för den grundläggande rörelsen. Senare, allt eftersom du avancerar i dina studier, kommer du att lära dig hur man kombinerar översättningar med andra typer av transformationer.
Tänk dig att rita en liten form, som ett hjärta eller en stjärna, på ett papper. Tänk dig nu att skjuta formen till en annan del av pappret. Varje punkt som utgör formen rör sig samma sträcka i samma riktning. Denna åtgärd liknar att förflytta formen i koordinatgeometri.
När du ser föremål i ditt dagliga liv som flyttas från en position till en annan utan att förändras, bevittnar du förflyttningar i aktion. Denna enkla idé är en viktig del av att förstå hur former beter sig i ett koordinatnät.
Här är en snabb genomgång av de viktigaste punkterna om översättningar:
Definition: En förflyttning flyttar en punkt eller form utan att ändra dess storlek, form eller orientering.
Translationsvektor: Vektorn \( (h, k) \) anger hur långt och i vilken riktning objektet ska röra sig. Talet \( h \) flyttar objektet horisontellt och \( k \) flyttar det vertikalt.
Formel: För att förflytta en punkt \( (x, y) \) , lägg till vektorn för att få den nya punkten: \( (x+h, \, y+k) \) .
Konsekvens: Varje punkt i en form rör sig lika mycket när en förflyttning tillämpas.
Verkliga användningsområden: Från datorgrafik och robotik till vardagliga handlingar som att glida fram en bok, är översättningar en vanlig typ av rörelse.
Tänk på dessa punkter när du arbetar med översättningar. De kommer att hjälpa dig att förstå inte bara geometri utan även många tillämpningar utanför matematiken.
I den här lektionen lärde vi oss om förflyttningar inom koordinatgeometri. Vi utforskade dessa centrala idéer:
En förflyttning flyttar en punkt eller form utan att ändra dess storlek, form eller orientering.
Translationsvektorn, skriven som \( (h, k) \) , visar rörelsen horisontellt och vertikalt.
Översättningsformeln är enkel: en punkt \( (x,y) \) blir \( (x+h, y+k) \) efter översättning.
Alla punkter i en form rör sig lika när en förflyttning tillämpas, vilket bibehåller objektet intakt.
Översättningar är användbara i många verkliga tillämpningar, såsom datorgrafik, robotik och design.
Genom att öva på förflyttningar och tillämpa stegen i olika problem kommer du att bli säkrare på att använda koordinatgeometri. Kom ihåg att en förflyttning helt enkelt ändrar ett objekts position samtidigt som allt annat kring det förblir detsamma.
Den här lektionen har gett dig en introduktion till översättningar. Med dessa idéer kan du utforska mer om hur objekt rör sig och interagerar i ett rutnät. Öva på dessa steg, och snart kommer du att upptäcka att det är både enkelt och roligt att arbeta med översättningar.
Upptäck mer om geometri och de många sätt den hjälper oss att förstå världen omkring oss. Allt eftersom du fortsätter att lära dig kommer dessa koncept att fungera som byggstenar för andra ämnen som rotationer, reflektioner och mer komplexa transformationer.
