บทเรียนนี้จะแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับการเลื่อนตำแหน่งในเรขาคณิตพิกัด การเลื่อนตำแหน่งเป็นวิธีการย้ายจุดหรือรูปร่างจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งในตารางโดยไม่เปลี่ยนขนาด รูปร่าง หรือทิศทางของจุดหรือรูปร่าง เราจะใช้ภาษาที่เรียบง่ายและตัวอย่างที่ชัดเจนเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิดสำคัญนี้
การแปลรูปก็เหมือนกับการเลื่อนวัตถุไปบนโต๊ะ ลองนึกภาพว่าคุณมีรถของเล่น เมื่อคุณผลักมัน รถจะเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งโดยไม่หมุนหรือพลิกคว่ำ ในการแปลรูป ทุกส่วนของรูปร่างจะเคลื่อนที่ในระยะทางเท่ากันในทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่ารูปร่างจะคงเดิมทุกประการแต่ปรากฏในตำแหน่งใหม่
ในเรขาคณิตเชิงพิกัด เราศึกษาจุดต่างๆ โดยใช้ตาราง ตารางมีเส้นสำคัญสองเส้น ได้แก่ แกน x (แนวนอน) และแกน y (แนวตั้ง) จุดทุกจุดบนตารางมีพิกัด x และพิกัด y เมื่อเราเปลี่ยนจุด เราก็จะเปลี่ยนตัวเลขเหล่านี้ไปในลักษณะที่คาดเดาได้
การแปลใช้สิ่งที่เรียกว่า เวกเตอร์การแปล เวกเตอร์นี้จะบอกคุณว่าต้องเลื่อนจุดหรือรูปร่างเท่าใด เวกเตอร์การแปลมีสองส่วน: ส่วนแนวนอนและส่วนแนวตั้ง เราเขียนเป็น \( (h, k) \)
ตัวเลข \( h \) บอกเราว่าต้องขยับไปทางขวาไกลแค่ไหน (ถ้า \( h \) เป็นค่าบวก) หรือซ้ายไกลแค่ไหน (ถ้า \( h \) เป็นค่าลบ) ตัวเลข \( k \) บอกเราว่าต้องขยับขึ้นไกลแค่ไหน (ถ้า \( k \) เป็นค่าบวก) หรือลงไกลแค่ไหน (ถ้า \( k \) เป็นค่าลบ) ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ \( (3, -2) \) หมายถึงขยับไปทางขวา 3 หน่วยและลงไกล 2 หน่วย
เมื่อคุณแปลจุด คุณจะเพิ่มเวกเตอร์การแปลลงในพิกัดของจุดนั้น หากเขียนจุดเป็น \( (x, y) \) และเวกเตอร์การแปลคือ \( (h, k) \) จุดใหม่จะเป็นดังนี้:
\( (x + h, \, y + k) \)
ตัวอย่างเช่น หากคุณมีจุด \( (2, 3) \) และคุณแปลมันด้วยเวกเตอร์ \( (1, 2) \) จุดใหม่จะเป็น:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
กฎง่ายๆ นี้ใช้สำหรับการแปลทุกครั้งในตารางพิกัด
คุณสามารถดูการแปลบนกระดาษกราฟได้ ตารางมีเส้นแนวนอนและแนวตั้งที่ช่วยให้คุณเห็นการเคลื่อนไหว เมื่อรูปร่างถูกแปล ทุกจุดของรูปร่างจะเคลื่อนที่ด้วยเวกเตอร์การแปลเดียวกัน ซึ่งหมายความว่ารูปร่างทั้งหมดยังคงอยู่ในรูปแบบเดียวกันและดูเหมือนกับที่เคยเป็นมาก่อน เพียงแต่ในส่วนที่แตกต่างกันของตาราง
ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กๆ ที่มีมุมหนึ่งอยู่ที่ \( (1, 1) \) และมุมอื่นๆ อยู่ที่ \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) และ \( (2, 1) \) หากคุณแปลสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ด้วยเวกเตอร์ \( (3, -1) \) มุมแต่ละมุมจะเคลื่อนที่โดยบวก 3 เข้ากับพิกัด x และลบ 1 ออกจากพิกัด y ตัวอย่างเช่น มุม \( (1, 1) \) จะเคลื่อนที่ไปที่ \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \)
ลองแปลจุดเดียวเพื่อดูกระบวนการที่เกิดขึ้น พิจารณาจุด \( (2, 3) \) เราต้องการแปลจุดนี้โดยใช้เวกเตอร์การแปล \( (4, 5) \) ทำตามขั้นตอนง่ายๆ เหล่านี้:
ขั้นตอนที่ 1: ระบุจุดเริ่มต้น: \( (2, 3) \)
ขั้นตอนที่ 2: ระบุเวกเตอร์การแปล: \( (4, 5) \) .
ขั้นตอนที่ 3: บวกค่าแนวนอน: \( 2 + 4 = 6 \)
ขั้นตอนที่ 4: บวกค่าแนวตั้ง: \( 3 + 5 = 8 \)
ขั้นตอนที่ 5: เขียนจุดใหม่: \( (6, 8) \) .
ดังนั้นหลังจากการแปล จุด \( (2, 3) \) จะกลายเป็น \( (6, 8) \)
ตอนนี้เรามาลองแปลรูปสามเหลี่ยมกัน สมมติว่ารูปสามเหลี่ยมมีจุดยอด 3 จุดที่ \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) และ \( (5, 2) \) เราใช้เวกเตอร์การแปล \( (2, -1) \) วิธีการทำมีดังนี้
ขั้นตอนที่ 1: สำหรับจุดยอดแรก \( (1, 2) \) :
จุดยอดใหม่ = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
ขั้นตอนที่ 2: สำหรับจุดยอดที่สอง \( (3, 4) \) :
จุดยอดใหม่ = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
ขั้นตอนที่ 3: สำหรับจุดยอดที่สาม \( (5, 2) \) :
จุดยอดใหม่ = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
จุดยอดใหม่ของสามเหลี่ยมคือ \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) และ \( (7, 1) \)
มาดูวิธีการแปลงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากัน สมมติว่าคุณมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีมุมอยู่ที่ \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) และ \( (4, 0) \) เราต้องการแปลงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้โดยใช้เวกเตอร์ \( (3, 2) \) ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
ขั้นตอนที่ 1: สำหรับมุม \( (0, 0) \) :
มุมใหม่ = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
ขั้นตอนที่ 2: สำหรับมุม \( (0, 3) \) :
มุมใหม่ = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
ขั้นตอนที่ 3: สำหรับมุม \( (4, 3) \) :
มุมใหม่ = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
ขั้นตอนที่ 4: สำหรับมุม \( (4, 0) \) :
มุมใหม่ = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเคลื่อนไปยังมุมใหม่ที่ \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) และ \( (7, 2) \)
การแปลไม่ได้มีไว้สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์เท่านั้น เราเห็นการแปลนี้ในชีวิตประจำวันของเรา ลองจินตนาการว่าเรากำลังย้ายเฟอร์นิเจอร์ชิ้นหนึ่งจากด้านหนึ่งของห้องไปอีกด้านหนึ่ง เฟอร์นิเจอร์ชิ้นนั้นยังคงอยู่ที่เดิมทุกประการ แต่เปลี่ยนตำแหน่งไป นี่คือการแปลในชีวิตจริง
ตัวอย่างอื่น ๆ เช่น สไลเดอร์ในสนามเด็กเล่น เมื่อคุณสไลด์ คุณจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากด้านบนลงด้านล่าง คุณจะไม่หมุนหรือพลิกกลับ คุณเพียงแค่เคลื่อนที่จากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง ซึ่งก็คล้ายกับการเคลื่อนที่ในเรขาคณิต
ในเกมคอมพิวเตอร์และแอนิเมชั่น ตัวละครและวัตถุจะเคลื่อนไหวอยู่ตลอดเวลา การเคลื่อนไหวใดๆ ที่ทำให้วัตถุขยับโดยไม่เปลี่ยนรูปร่างถือเป็นการเคลื่อนที่แบบสลับไปมา ซึ่งช่วยให้คอมพิวเตอร์แสดงแอนิเมชั่นที่ราบรื่น โดยทุกอย่างเคลื่อนไหวอย่างเป็นระเบียบ
การแปลมีคุณสมบัติพิเศษที่ทำให้ใช้งานง่าย:
ไม่มีการหมุน: วัตถุจะไม่หมุนหรือเปลี่ยนทิศทาง เพียงแค่เลื่อนไปยังตำแหน่งใหม่
ไม่มีการสะท้อน: วัตถุไม่ได้พลิกกลับ แต่จะยังคงเหมือนเดิม เพียงแต่อยู่ในตำแหน่งที่ต่างกัน
ไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด: วัตถุจะไม่ใหญ่ขึ้นหรือเล็กลง ขนาดและรูปร่างยังคงเหมือนเดิมทุกประการ
คุณสมบัติเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ แบบแข็งเป็นการเคลื่อนที่ แบบหนึ่ง การเคลื่อนที่แบบแข็งจะคงรูปร่างไว้ไม่เปลี่ยนแปลง และจะเปลี่ยนแปลงเฉพาะตำแหน่งเท่านั้น
ระนาบพิกัดประกอบด้วยแกน x และแกน y โดยแต่ละจุดจะอยู่ในตำแหน่งพิกัด x และพิกัด y เมื่อเราดำเนินการแปล เราจะเปลี่ยนพิกัดเหล่านี้โดยการบวกค่าเวกเตอร์
ตัวอย่างเช่น หากจุดอยู่ที่ \( (x, y) \) และเราใช้เวกเตอร์การเคลื่อนที่ \( (h, k) \) จุดใหม่จะกลายเป็น \( (x+h, y+k) \) กฎเดียวกันนี้ใช้ได้ไม่ว่าคุณจะย้ายจุดเดียวหรือรูปร่างทั้งหมด เช่น สามเหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ตารางที่ชัดเจนจะช่วยให้คุณมองเห็นการเคลื่อนที่ได้ วาดจุดบนตาราง จากนั้นเพิ่มเวกเตอร์ และพล็อตจุดใหม่ วิธีนี้จะแสดงให้คุณเห็นว่าจุดนั้นเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหนและไปในทิศทางใด
บางครั้งคุณอาจเห็นรูปร่างในที่หนึ่งแล้วจึงเห็นรูปร่างนั้นในที่อื่น คุณสามารถหาเวกเตอร์การเคลื่อนที่ได้โดยการเปรียบเทียบพิกัดของจุดในตำแหน่งเดิมกับจุดในตำแหน่งใหม่
ตัวอย่างเช่น หากจุดเคลื่อนที่จาก \( (2, 5) \) ไปที่ \( (7, 8) \) เวกเตอร์การเคลื่อนที่จะถูกกำหนดโดย:
ลบพิกัด x: \( 7 - 2 = 5 \)
ลบพิกัด y: \( 8 - 5 = 3 \)
เวกเตอร์การแปลที่นี่คือ \( (5, 3) \)
การใช้กริดเป็นวิธีที่มีประโยชน์ในการดูการแปลในขณะใช้งาน เมื่อคุณทำงานบนกริด คุณสามารถทำเครื่องหมายทั้งจุดดั้งเดิมและจุดใหม่ได้ ตัวช่วยภาพนี้ทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าจุดนั้นเคลื่อนที่ไปเท่าใด
โจทย์คณิตศาสตร์หลายข้อใช้กระดาษกราฟหรือตารางดิจิทัล ไม่ว่าคุณจะวาดด้วยมือหรือใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ โปรดจำไว้เสมอว่าการเคลื่อนที่จะทำให้ทุกส่วนของรูปร่างเคลื่อนที่ในปริมาณที่เท่ากัน
เมื่อคุณฝึกฝนกับตาราง คุณจะสร้างรากฐานที่แข็งแกร่งสำหรับการทำความเข้าใจการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนมากขึ้นในเรขาคณิตในภายหลัง
หากต้องการแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแปล ให้ทำตามขั้นตอนที่ชัดเจนเหล่านี้:
ขั้นตอนที่ 1: อ่านปัญหาอย่างละเอียดและระบุสิ่งที่กำลังแปล
ขั้นตอนที่ 2: เขียนพิกัดดั้งเดิมของจุดหรือจุดยอดแต่ละจุด
ขั้นตอนที่ 3: ระบุเวกเตอร์การแปลที่กำหนดไว้ในปัญหา
ขั้นตอนที่ 4: เพิ่มส่วนประกอบแนวนอนของเวกเตอร์ให้กับพิกัด x แต่ละค่า
ขั้นตอนที่ 5: เพิ่มส่วนประกอบแนวตั้งของเวกเตอร์ให้กับพิกัด y แต่ละค่า
ขั้นตอนที่ 6: เขียนพิกัดใหม่ซึ่งแสดงจุดที่แปลแล้ว
วิธีการทีละขั้นตอนนี้ใช้ได้กับปัญหาด้านการแปลทุกประเภท และช่วยให้คุณแก้ไขปัญหาได้อย่างง่ายดายและถูกต้อง
การแปลถูกใช้ในสถานการณ์จริงมากมาย ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วน:
กราฟิกคอมพิวเตอร์และแอนิเมชัน: ในวิดีโอเกมและการ์ตูน ตัวละครและวัตถุต่างๆ จะถูกเคลื่อนย้ายผ่านหน้าจอโดยใช้การแปล ตำแหน่งของตัวละครและวัตถุต่างๆ จะได้รับการอัปเดตอย่างต่อเนื่องเมื่อฉากต่างๆ เปลี่ยนไป
หุ่นยนต์: หุ่นยนต์มักต้องเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โดยการใช้การแปล หุ่นยนต์จะคำนวณว่าต้องเคลื่อนแขนหรือล้อไปไกลแค่ไหนและไปในทิศทางใดเพื่อหยิบสิ่งของหรือนำทางในพื้นที่
สถาปัตยกรรมและการออกแบบ: เมื่อออกแบบอาคารหรือสร้างรูปแบบ สถาปนิกและนักออกแบบจะใช้การแปลเพื่อทำซ้ำองค์ประกอบต่างๆ วิธีนี้ช่วยให้มั่นใจได้ว่ารูปแบบต่างๆ จะมีความสม่ำเสมอและสมส่วนตลอดการทำงาน
การเคลื่อนไหวในชีวิตประจำวัน: เมื่อคุณเลื่อนหนังสือไปบนโต๊ะ คุณก็กำลังแปลหนังสือเหมือนในชีวิตจริง เพียงแค่ย้ายหนังสือจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง โดยไม่เปลี่ยนรูปร่างหรือขนาด
ตัวอย่างทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นว่าการแปลนั้นมีประโยชน์และใช้งานได้จริงในหลาย ๆ ด้าน โดยช่วยรักษาความสมบูรณ์ของวัตถุในขณะที่เพียงแค่เปลี่ยนตำแหน่งเท่านั้น
แม้ว่าในบทเรียนนี้เราจะเน้นที่การแปลแบบบริสุทธิ์ แต่สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าการแปลบางครั้งอาจรวมกับการเคลื่อนที่อื่นๆ ได้ ในบางปัญหา คุณอาจเห็นการหมุนหรือการสะท้อนด้วย อย่างไรก็ตาม ในการแปลแบบบริสุทธิ์ จะมีเพียงการเคลื่อนที่เท่านั้น ไม่มีการหมุน การพลิก หรือการปรับขนาด
การเน้นที่การแปลล้วนๆ จะช่วยให้คุณเข้าใจการเคลื่อนไหวพื้นฐานได้อย่างมั่นคง ในภายหลัง เมื่อคุณก้าวหน้าในการเรียนรู้ คุณจะเรียนรู้วิธีผสมผสานการแปลกับการแปลงประเภทอื่นๆ
ลองวาดรูปทรงเล็กๆ เช่น หัวใจหรือดาวลงบนกระดาษ แล้วลองนึกภาพว่าคุณกำลังเลื่อนรูปทรงนั้นไปยังส่วนอื่นของกระดาษ ทุกจุดที่ประกอบเป็นรูปทรงนั้นจะเคลื่อนที่ในระยะทางเท่ากันในทิศทางเดียวกัน การกระทำนี้คล้ายกับการย้ายรูปทรงในเรขาคณิตเชิงพิกัด
เมื่อคุณเห็นวัตถุต่างๆ ในชีวิตประจำวันของคุณถูกย้ายจากตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนแปลง คุณกำลังเห็นการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้น แนวคิดง่ายๆ นี้เป็นส่วนสำคัญในการทำความเข้าใจว่ารูปร่างต่างๆ มีลักษณะอย่างไรบนตารางพิกัด
ต่อไปนี้เป็นการทบทวนอย่างรวดเร็วของประเด็นสำคัญเกี่ยวกับการแปล:
คำจำกัดความ: การแปลจะย้ายจุดหรือรูปร่างโดยไม่เปลี่ยนขนาด รูปร่าง หรือทิศทาง
เวกเตอร์การเคลื่อนที่: เวกเตอร์ \( (h, k) \) บอกคุณว่าจะเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหนและไปในทิศทางใด ตัวเลข \( h \) จะเคลื่อนที่วัตถุในแนวนอน และ \( k \) จะเคลื่อนที่วัตถุในแนวตั้ง
สูตร: เมื่อต้องการแปลจุด \( (x, y) \) ให้เพิ่มเวกเตอร์เพื่อรับจุดใหม่: \( (x+h, \, y+k) \)
ความสม่ำเสมอ: จุดทุกจุดในรูปร่างจะเคลื่อนที่ในปริมาณเท่ากันเมื่อมีการใช้การเคลื่อนที่
การใช้งานในโลกแห่งความเป็นจริง: ตั้งแต่กราฟิกคอมพิวเตอร์และหุ่นยนต์ไปจนถึงการกระทำในชีวิตประจำวัน เช่น การเลื่อนหนังสือ การแปลถือเป็นรูปแบบการเคลื่อนไหวที่พบบ่อย
โปรดคำนึงถึงประเด็นเหล่านี้เมื่อทำงานกับการแปล ประเด็นเหล่านี้จะช่วยให้คุณเข้าใจไม่เพียงแต่เรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการใช้งานอื่นๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์อีกด้วย
ในบทเรียนนี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับการแปลในเรขาคณิตพิกัด เราได้สำรวจแนวคิดหลักเหล่านี้:
การแปลจะย้ายจุดหรือรูปร่างโดยไม่เปลี่ยนแปลงขนาด รูปร่าง หรือทิศทาง
เวกเตอร์การแปลที่เขียนเป็น \( (h, k) \) แสดงการเคลื่อนที่ในแนวนอนและแนวตั้ง
สูตรการแปลนั้นง่ายมาก: จุด \( (x,y) \) จะกลายเป็น \( (x+h, y+k) \) หลังจากการแปล
จุดทั้งหมดในรูปร่างจะเคลื่อนที่เท่าๆ กันเมื่อมีการใช้การเคลื่อนที่แบบเลื่อน ทำให้วัตถุยังคงอยู่เหมือนเดิม
การแปลมีประโยชน์ในแอปพลิเคชันจริงมากมาย เช่น กราฟิกคอมพิวเตอร์ หุ่นยนต์ และการออกแบบ
การฝึกแปลและนำขั้นตอนต่างๆ ไปใช้กับปัญหาต่างๆ จะช่วยให้คุณมั่นใจในการใช้เรขาคณิตเชิงพิกัดมากขึ้น จำไว้ว่าการแปลเพียงแค่เปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุในขณะที่ส่วนอื่นๆ ยังคงเหมือนเดิม
บทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจการแปลมากขึ้น ด้วยแนวคิดเหล่านี้ คุณจะสามารถศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการเคลื่อนที่และโต้ตอบกันของวัตถุบนกริดได้ ฝึกฝนขั้นตอนเหล่านี้ แล้วคุณจะพบว่าการทำงานกับการแปลนั้นทั้งง่ายและสนุกสนาน
เพลิดเพลินไปกับการค้นพบเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรขาคณิตและวิธีต่างๆ ที่ช่วยให้เราเข้าใจโลกที่อยู่รอบตัวเรา เมื่อคุณเรียนรู้ต่อไป แนวคิดเหล่านี้จะทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับหัวข้ออื่นๆ เช่น การหมุน การสะท้อน และการแปลงที่ซับซ้อนมากขึ้น
