Ang araling ito ay nagpapakilala sa ideya ng mga pagsasalin sa coordinate geometry. Ang pagsasalin ay isang paraan upang ilipat ang isang punto o hugis mula sa isang lugar patungo sa isa pa sa isang grid nang hindi binabago ang laki, hugis, o oryentasyon nito. Gagamit kami ng simpleng wika at malinaw na mga halimbawa para tulungan kang maunawaan ang mahalagang konseptong ito.
Ang pagsasalin ay tulad ng pag-slide ng isang bagay sa isang mesa. Isipin na mayroon kang laruang kotse. Kapag itinulak mo ito, ang kotse ay gumagalaw mula sa isang punto patungo sa isa pa nang hindi lumiliko o bumabaliktad. Sa mga pagsasalin, ang bawat bahagi ng isang hugis ay gumagalaw sa parehong distansya sa parehong direksyon. Nangangahulugan ito na ang hugis ay nananatiling eksaktong pareho ngunit lumilitaw sa isang bagong lokasyon.
Sa coordinate geometry, pinag-aaralan namin ang mga punto gamit ang isang grid. Ang grid ay may dalawang mahalagang linya: ang x-axis (horizontal) at ang y-axis (vertical). Ang bawat punto sa grid ay may x-coordinate at isang y-coordinate. Kapag nagsalin kami ng isang punto, binabago namin ang mga numerong ito sa isang predictable na paraan.
Gumagamit ang isang pagsasalin ng isang bagay na tinatawag na vector ng pagsasalin . Sinasabi sa iyo ng vector na ito kung magkano ang dapat ilipat ng isang punto o hugis. Ang isang vector ng pagsasalin ay may dalawang bahagi: ang pahalang na bahagi at ang patayong bahagi. Isinulat namin ito bilang \( (h, k) \) .
Sinasabi sa atin ng numerong \( h \) kung gaano kalayo ang dapat ilipat pakanan (kung \( h \) ay positibo) o kaliwa (kung \( h \) ay negatibo). Ang numerong \( k \) ay nagsasabi sa amin kung gaano kalayo ang pataas (kung \( k \) ay positibo) o pababa (kung \( k \) ay negatibo). Halimbawa, ang vector \( (3, -2) \) ay nangangahulugang ilipat ang 3 unit sa kanan at 2 unit pababa.
Kapag nagsalin ka ng isang punto, idaragdag mo ang vector ng pagsasalin sa mga coordinate ng punto. Kung ang isang punto ay isinulat bilang \( (x, y) \) at ang vector ng pagsasalin ay \( (h, k) \) , kung gayon ang bagong punto ay magiging:
\( (x + h, \, y + k) \)
Halimbawa, kung mayroon kang punto \( (2, 3) \) at isinalin mo ito gamit ang vector \( (1, 2) \) , ang bagong punto ay magiging:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Ang simpleng panuntunang ito ay ginagamit para sa bawat pagsasalin sa coordinate grid.
Maaari mong makita ang mga pagsasalin sa graph paper. Ang isang grid ay may pahalang at patayong mga linya na makakatulong sa iyong makita ang paggalaw. Kapag ang isang hugis ay isinalin, ang bawat punto ng hugis ay gumagalaw sa pamamagitan ng parehong vector ng pagsasalin. Nangangahulugan ito na ang buong hugis ay nananatili sa parehong anyo at mukhang eksakto tulad ng dati, sa ibang bahagi lamang ng grid.
Isipin ang isang maliit na parisukat na may isang sulok sa \( (1, 1) \) , at ang iba pang mga sulok sa \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) , at \( (2, 1) \) . Kung isasalin mo ang parisukat na ito gamit ang vector \( (3, -1) \) , ang bawat sulok ay gumagalaw sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 3 sa x-coordinate at pagbabawas ng 1 mula sa y-coordinate. Halimbawa, ang sulok na \( (1, 1) \) ay lilipat sa \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Isalin natin ang isang punto upang makita ang proseso sa pagkilos. Isaalang-alang ang puntong \( (2, 3) \) . Nais naming isalin ang puntong ito gamit ang vector ng pagsasalin \( (4, 5) \) . Sundin ang mga simpleng hakbang na ito:
Hakbang 1: Tukuyin ang orihinal na punto: \( (2, 3) \) .
Hakbang 2: Tukuyin ang vector ng pagsasalin: \( (4, 5) \) .
Hakbang 3: Idagdag ang mga pahalang na halaga: \( 2 + 4 = 6 \) .
Hakbang 4: Idagdag ang mga vertical na halaga: \( 3 + 5 = 8 \) .
Hakbang 5: Isulat ang bagong punto: \( (6, 8) \) .
Kaya, pagkatapos ng pagsasalin, ang puntong \( (2, 3) \) ay nagiging \( (6, 8) \) .
Ngayon, isalin natin ang isang tatsulok. Ipagpalagay na ang tatsulok ay may tatlong vertice sa \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) , at \( (5, 2) \) . Ginagamit namin ang vector ng pagsasalin \( (2, -1) \) . Narito kung paano mo ito gagawin:
Hakbang 1: Para sa unang vertex \( (1, 2) \) :
Bagong vertex = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Hakbang 2: Para sa pangalawang vertex \( (3, 4) \) :
Bagong vertex = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Hakbang 3: Para sa ikatlong vertex \( (5, 2) \) :
Bagong vertex = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Ang mga bagong vertices ng triangle ay \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) , at \( (7, 1) \) .
Tingnan natin kung paano isalin ang isang parihaba. Ipagpalagay na mayroon kang isang parihaba na may mga sulok sa \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) , at \( (4, 0) \) . Gusto naming isalin ang parihaba na ito gamit ang vector \( (3, 2) \) . Sundin ang mga hakbang na ito:
Hakbang 1: Para sa sulok \( (0, 0) \) :
Bagong sulok = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Hakbang 2: Para sa sulok \( (0, 3) \) :
Bagong sulok = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Hakbang 3: Para sa sulok \( (4, 3) \) :
Bagong sulok = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Hakbang 4: Para sa sulok \( (4, 0) \) :
Bagong sulok = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Ang parihaba ay gumagalaw sa mga bagong sulok sa \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) , at \( (7, 2) \) .
Ang mga pagsasalin ay hindi lamang para sa mga problema sa matematika. Nakikita natin sila sa ating pang-araw-araw na buhay. Isipin ang paglipat ng isang piraso ng muwebles mula sa isang gilid ng isang silid patungo sa isa pa. Ang mga kasangkapan ay nananatiling eksaktong pareho ngunit nagbabago ang lokasyon nito. Isa itong pagsasalin sa totoong buhay.
Ang isa pang halimbawa ay isang slide sa isang palaruan. Kapag nag-slide ka, lumipat ka sa isang tuwid na linya mula sa itaas hanggang sa ibaba. Hindi ka umiikot o tumalikod; lumipat ka lang mula sa isang lugar patungo sa isa pa, katulad ng pagsasalin sa geometry.
Sa mga laro sa computer at animation, ang mga character at bagay ay patuloy na gumagalaw. Ang bawat paggalaw na nagpapalipat-lipat ng isang bagay nang hindi nagbabago ang hugis nito ay isang pagsasalin. Tinutulungan nito ang computer na magpakita ng makinis na mga animation kung saan gumagalaw ang lahat sa maayos na paraan.
Ang mga pagsasalin ay may mga espesyal na katangian na nagpapadali sa kanila na gamitin:
Walang Pag-ikot: Ang bagay ay hindi lumiliko o nagbabago ng direksyon nito. Dumausdos lang ito sa isang bagong lugar.
Walang Pagninilay: Ang bagay ay hindi binabaligtad. Nananatili ito sa parehong paraan, sa ibang lokasyon lamang.
Walang Pagbabago sa Sukat: Ang bagay ay hindi nagiging mas malaki o mas maliit. Ang laki at hugis nito ay nananatiling eksakto tulad ng dati.
Ang mga katangiang ito ay nagpapakita na ang mga pagsasalin ay isang uri ng matibay na paggalaw . Ang mga mahigpit na paggalaw ay nagpapanatili sa hugis na hindi nagbabago, at ang posisyon lamang nito ang binago.
Ang coordinate plane ay binubuo ng x-axis at y-axis. Ang bawat punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng x-coordinate at y-coordinate nito. Kapag nagsagawa kami ng pagsasalin, binabago namin ang mga coordinate na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga halaga ng vector.
Halimbawa, kung ang isang punto ay nasa \( (x, y) \) at gumagamit kami ng vector ng pagsasalin \( (h, k) \) , ang bagong punto ay magiging \( (x+h, y+k) \) . Nalalapat ang parehong panuntunang ito kung gumagalaw ka ng isang tuldok o isang buong hugis tulad ng isang tatsulok o parihaba.
Ang isang malinaw na grid ay tumutulong sa iyo na makita ang mga pagsasalin. Iguhit ang punto sa grid, pagkatapos ay idagdag ang vector, at i-plot ang bagong punto. Ipapakita nito sa iyo kung gaano kalayo at sa anong direksyon lumipat ang punto.
Minsan, maaari kang makakita ng hugis sa isang lugar at pagkatapos ay makita mo ito sa ibang lugar. Maaari mong malaman ang vector ng pagsasalin sa pamamagitan ng paghahambing ng mga coordinate ng isang punto sa orihinal na posisyon sa isang punto sa bagong posisyon.
Halimbawa, kung ang isang punto ay lumipat mula sa \( (2, 5) \) patungo sa \( (7, 8) \) , ang vector ng pagsasalin ay tinutukoy ng:
Ibawas ang mga x-coordinate: \( 7 - 2 = 5 \) .
Ibawas ang y-coordinates: \( 8 - 5 = 3 \) .
Ang vector ng pagsasalin dito ay \( (5, 3) \) .
Ang paggamit ng grid ay isang kapaki-pakinabang na paraan upang makita ang mga pagsasalin sa pagkilos. Kapag nagtatrabaho ka sa isang grid, maaari mong markahan pareho ang orihinal na punto at ang bagong punto. Pinapadali ng visual aid na ito na maunawaan kung gaano kalaki ang nailipat ng isang punto.
Maraming problema sa matematika ang gumagamit ng graph paper o digital grids. Kung ikaw ay gumuguhit gamit ang kamay o gumagamit ng isang computer program, laging tandaan na ang isang pagsasalin ay gumagalaw sa bawat bahagi ng isang hugis sa parehong halaga.
Kapag nagsasanay ka gamit ang mga grids, bumuo ka ng matibay na pundasyon para sa pag-unawa sa mas kumplikadong mga paggalaw sa geometry sa susunod.
Upang malutas ang mga problemang kinasasangkutan ng mga pagsasalin, sundin ang mga malinaw na hakbang na ito:
Hakbang 1: Basahing mabuti ang problema at tukuyin kung ano ang isinasalin.
Hakbang 2: Isulat ang orihinal na mga coordinate ng bawat punto o vertex.
Hakbang 3: Tukuyin ang vector ng pagsasalin na ibinigay sa problema.
Hakbang 4: Idagdag ang pahalang na bahagi ng vector sa bawat x-coordinate.
Hakbang 5: Idagdag ang patayong bahagi ng vector sa bawat y-coordinate.
Hakbang 6: Isulat ang mga bagong coordinate, na kumakatawan sa mga isinaling punto.
Gumagana ang sunud-sunod na paraan na ito para sa anumang problema sa pagsasalin at tinutulungan kang malutas ang mga ito nang madali at tama.
Ginagamit ang mga pagsasalin sa maraming sitwasyon sa totoong mundo. Narito ang ilang halimbawa:
Computer Graphics at Animation: Sa mga video game at cartoon, ang mga character at bagay ay inililipat sa screen gamit ang mga pagsasalin. Ang kanilang mga posisyon ay patuloy na ina-update habang nagbabago ang mga eksena.
Robotics: Ang mga robot ay madalas na kailangang lumipat mula sa isang punto patungo sa isa pa. Sa pamamagitan ng paggamit ng mga pagsasalin, kinakalkula ng mga robot kung gaano kalayo at saang direksyon igalaw ang kanilang mga braso o gulong upang makapulot ng mga bagay o mag-navigate sa isang espasyo.
Arkitektura at Disenyo: Kapag nagdidisenyo ng mga gusali o gumagawa ng mga pattern, gumagamit ang mga arkitekto at taga-disenyo ng mga pagsasalin upang ulitin ang mga elemento. Tinitiyak nito na ang mga pattern ay mananatiling pare-pareho at proporsyonal sa kanilang trabaho.
Mga Pang-araw-araw na Paggalaw: Kapag nag-slide ka ng isang libro sa isang table, nagsasagawa ka ng pagsasalin sa totoong buhay. Ang aklat ay inililipat lamang mula sa isang lokasyon patungo sa isa pa nang hindi binabago ang hugis o sukat nito.
Ang lahat ng mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang mga pagsasalin ay praktikal at kapaki-pakinabang sa maraming larangan. Tumutulong sila na mapanatili ang integridad ng bagay habang binabago lamang ang posisyon nito.
Bagama't nakatuon tayo sa mga dalisay na pagsasalin sa araling ito, mahalagang malaman na minsan ang mga pagsasalin ay maaaring isama sa iba pang mga paggalaw. Sa ilang problema, maaari ka ring makakita ng mga pag-ikot o pagmuni-muni. Gayunpaman, sa isang purong pagsasalin, mayroon lamang paggalaw; walang pag-ikot, pag-flip, o pagbabago ng laki.
Sa pamamagitan ng pagtuon sa mga purong pagsasalin, maaari kang bumuo ng isang matatag na pag-unawa sa pangunahing kilusan. Sa paglaon, habang sumusulong ka sa iyong pag-aaral, matututunan mo kung paano pagsamahin ang mga pagsasalin sa iba pang mga uri ng pagbabago.
Isaalang-alang ang pagguhit ng isang maliit na hugis, tulad ng isang puso o isang bituin, sa isang piraso ng papel. Ngayon, isipin na i-slide ang hugis sa ibang bahagi ng papel. Ang bawat punto na bumubuo sa hugis ay gumagalaw sa parehong distansya sa parehong direksyon. Ang pagkilos na ito ay katulad ng pagsasalin ng hugis sa coordinate geometry.
Kapag nakakita ka ng mga bagay sa iyong pang-araw-araw na buhay na inilipat mula sa isang posisyon patungo sa isa pa nang hindi nagbabago, nasasaksihan mo ang mga pagsasalin sa pagkilos. Ang simpleng ideyang ito ay isang mahalagang bahagi ng pag-unawa kung paano kumikilos ang mga hugis sa isang coordinate grid.
Narito ang isang mabilis na pagsusuri ng mga pangunahing punto tungkol sa mga pagsasalin:
Kahulugan: Ang pagsasalin ay naglilipat ng isang punto o hugis nang hindi binabago ang laki, hugis, o oryentasyon nito.
Vector ng Pagsasalin: Sinasabi sa iyo ng vector \( (h, k) \) kung gaano kalayo at sa anong direksyon ang lilipat. Ang numerong \( h \) ay gumagalaw sa bagay nang pahalang, at \( k \) ay gumagalaw dito nang patayo.
Formula: Upang isalin ang isang punto \( (x, y) \) , idagdag ang vector upang makuha ang bagong punto: \( (x+h, \, y+k) \) .
Consistency: Ang bawat punto sa isang hugis ay gumagalaw sa parehong halaga kapag inilapat ang isang pagsasalin.
Mga Paggamit sa Tunay na Daigdig: Mula sa mga computer graphics at robotics hanggang sa pang-araw-araw na pagkilos tulad ng pag-slide ng libro, ang mga pagsasalin ay isang karaniwang uri ng paggalaw.
Isaisip ang mga puntong ito kapag nagtatrabaho sa mga pagsasalin. Tutulungan ka nilang maunawaan hindi lamang ang geometry kundi pati na rin ang maraming aplikasyon sa labas ng matematika.
Sa araling ito, natutunan natin ang tungkol sa mga pagsasalin sa coordinate geometry. Ginalugad namin ang mga pangunahing ideyang ito:
Ang pagsasalin ay gumagalaw ng isang punto o hugis nang hindi binabago ang laki, hugis, o oryentasyon nito.
Ang vector ng pagsasalin, na isinulat bilang \( (h, k) \) , ay nagpapakita ng paggalaw nang pahalang at patayo.
Ang pormula ng pagsasalin ay simple: ang isang puntong \( (x,y) \) ay nagiging \( (x+h, y+k) \) pagkatapos ng pagsasalin.
Ang lahat ng mga punto sa isang hugis ay pantay na gumagalaw kapag ang isang pagsasalin ay inilapat, na pinananatiling buo ang bagay.
Ang mga pagsasalin ay kapaki-pakinabang sa maraming real-world na application tulad ng computer graphics, robotics, at disenyo.
Sa pamamagitan ng pagsasanay ng mga pagsasalin at paglalapat ng mga hakbang sa iba't ibang problema, mas magiging kumpiyansa ka sa paggamit ng coordinate geometry. Tandaan na binabago lamang ng pagsasalin ang posisyon ng isang bagay habang pinapanatili ang lahat ng iba pa tungkol dito.
Ang araling ito ay nagbigay sa iyo ng panimula sa mga pagsasalin. Gamit ang mga ideyang ito, maaari mong tuklasin ang higit pa tungkol sa kung paano gumagalaw at nakikipag-ugnayan ang mga bagay sa isang grid. Isagawa ang mga hakbang na ito, at sa lalong madaling panahon ay makikita mo na ang pagtatrabaho sa mga pagsasalin ay parehong simple at kasiya-siya.
Masiyahan sa pagtuklas ng higit pa tungkol sa geometry at sa maraming paraan na nakakatulong ito sa amin na maunawaan ang mundo sa paligid natin. Habang nagpapatuloy ka sa pag-aaral, ang mga konseptong ito ay magsisilbing mga bloke ng pagbuo para sa iba pang mga paksa tulad ng mga pag-ikot, pagmuni-muni, at mas kumplikadong pagbabago.
