Цей урок знайомить вас з концепцією переміщення в координатній геометрії. Переміщення — це спосіб переміщення точки або фігури з одного місця в інше на сітці без зміни її розміру, форми чи орієнтації. Ми використовуватимемо просту мову та зрозумілі приклади, щоб допомогти вам зрозуміти цю важливу концепцію.
Переклад схожий на переміщення предмета по столу. Уявіть, що у вас є іграшкова машинка. Коли ви її штовхаєте, машинка рухається з однієї точки в іншу, не повертаючись і не перевертаючи. При переміщенні кожна частина фігури рухається на однакову відстань в одному напрямку. Це означає, що фігура залишається точно такою ж, але з'являється в новому місці.
У координатній геометрії ми вивчаємо точки за допомогою сітки. Сітка має дві важливі лінії: вісь x (горизонтальна) та вісь y (вертикальна). Кожна точка на сітці має координату x та координату y. Коли ми зміщуємо точку, ми змінюємо ці числа передбачуваним чином.
Для переміщення використовується так званий вектор переміщення . Цей вектор показує, на скільки потрібно перемістити точку або фігуру. Вектор переміщення має дві частини: горизонтальну та вертикальну. Ми записуємо його як \( (h, k) \) .
Число \( h \) показує нам, наскільки потрібно рухатися праворуч (якщо \( h \) від'ємне). Число \( k \) показує нам, наскільки потрібно рухатися вгору (якщо \( h \) \( k \) додатне) або вниз (якщо \( k \) від'ємне). Наприклад, вектор \( (3, -2) \) означає рух на 3 одиниці праворуч і на 2 одиниці вниз.
Коли ви переміщуєте точку, ви додаєте вектор переміщення до її координат. Якщо точка записується як \( (x, y) \) , а вектор переміщення — \( (h, k) \) , тоді нова точка буде:
\( (x + h, \, y + k) \)
Наприклад, якщо у вас є точка \( (2, 3) \) і ви зміщуєте її за допомогою вектора \( (1, 2) \) , нова точка буде:
\( (2+1, \, 3+2) = (3, 5) \)
Це просте правило використовується для кожного переміщення в координатній сітці.
Ви можете побачити переміщення на міліметровому папері. Сітка має горизонтальні та вертикальні лінії, які допомагають побачити рух. Коли фігура переміщується, кожна точка фігури рухається на один і той самий вектор переміщення. Це означає, що вся фігура залишається в тій самій формі та виглядає точно так само, як і раніше, просто в іншій частині сітки.
Уявіть собі маленький квадрат з одним кутом у точці \( (1, 1) \) , а інші кути в \( (1, 2) \) , \( (2, 2) \) та \( (2, 1) \) . Якщо змістити цей квадрат за допомогою вектора \( (3, -1) \) , кожен кут зміститься, додавши 3 до координати x та віднявши 1 від координати y. Наприклад, кут \( (1, 1) \) зміститься до \( (1+3, 1-1) = (4, 0) \) .
Давайте змістимо одну точку, щоб побачити процес у дії. Розглянемо точку \( (2, 3) \) . Ми хочемо змістити цю точку за допомогою вектора зміщення \( (4, 5) \) . Виконайте ці прості кроки:
Крок 1: Визначте початкову точку: \( (2, 3) \) .
Крок 2: Визначте вектор переміщення: \( (4, 5) \) .
Крок 3: Додайте горизонтальні значення: \( 2 + 4 = 6 \) .
Крок 4: Додайте вертикальні значення: \( 3 + 5 = 8 \) .
Крок 5: Запишіть нову точку: \( (6, 8) \) .
Таким чином, після перенесення точка \( (2, 3) \) стає \( (6, 8) \) .
Тепер давайте змістимо трикутник. Припустимо, що трикутник має три вершини в точках \( (1, 2) \) , \( (3, 4) \) та \( (5, 2) \) . Ми використовуємо вектор зміщення \( (2, -1) \) . Ось як це зробити:
Крок 1: Для першої вершини \( (1, 2) \) :
Нова вершина = \( (1+2, \, 2-1) = (3, 1) \) .
Крок 2: Для другої вершини \( (3, 4) \) :
Нова вершина = \( (3+2, \, 4-1) = (5, 3) \) .
Крок 3: Для третьої вершини \( (5, 2) \) :
Нова вершина = \( (5+2, \, 2-1) = (7, 1) \) .
Нові вершини трикутника — це \( (3, 1) \) , \( (5, 3) \) та \( (7, 1) \) .
Давайте розглянемо, як перемістити прямокутник. Припустимо, у вас є прямокутник з кутами в точках \( (0, 0) \) , \( (0, 3) \) , \( (4, 3) \) та \( (4, 0) \) . Ми хочемо перемістити цей прямокутник за допомогою вектора \( (3, 2) \) . Виконайте такі кроки:
Крок 1: Для кута \( (0, 0) \) :
Новий кут = \( (0+3, \, 0+2) = (3, 2) \) .
Крок 2: Для кута \( (0, 3) \) :
Новий кут = \( (0+3, \, 3+2) = (3, 5) \) .
Крок 3: Для кута \( (4, 3) \) :
Новий кут = \( (4+3, \, 3+2) = (7, 5) \) .
Крок 4: Для кута \( (4, 0) \) :
Новий кут = \( (4+3, \, 0+2) = (7, 2) \) .
Прямокутник переміщується до нових кутів у точках \( (3, 2) \) , \( (3, 5) \) , \( (7, 5) \) та \( (7, 2) \) .
Переклади потрібні не лише для математичних задач. Ми бачимо їх у повсякденному житті. Уявіть, що ви переставляєте предмет меблів з одного боку кімнати в інший. Меблі залишаються точно такими ж, але змінюють своє розташування. Це переклад з реального життя.
Інший приклад — гірка на дитячому майданчику. Коли ви ковзаєте, ви рухаєтеся по прямій лінії зверху вниз. Ви не обертаєтеся і не перевертаєтесь; ви просто рухаєтеся з одного місця в інше, подібно до перенесення в геометрії.
У комп'ютерних іграх та анімації персонажі та об'єкти постійно рухаються. Кожен рух, який зміщує об'єкт без зміни його форми, є переміщенням. Це допомагає комп'ютеру відображати плавну анімацію, де все рухається впорядковано.
Переклади мають особливі властивості, які полегшують роботу з ними:
Без обертання: Об'єкт не повертається і не змінює свій напрямок. Він просто ковзає в нове місце.
Без відображення: Об'єкт не перевертається. Він залишається незмінним, тільки в іншому місці.
Без зміни розміру: Об'єкт не стає більшим і не меншим. Його розмір і форма залишаються точно такими ж, як і раніше.
Ці властивості показують, що поступальні переміщення є типом жорсткого руху . Жорсткі рухи зберігають форму незмінною, змінюється лише її положення.
Координатна площина складається з осей x та осі y. Кожна точка розташована за її координатами x та y. Під час переміщення ми змінюємо ці координати, додаючи значення вектора.
Наприклад, якщо точка знаходиться в точці \( (x, y) \) і ми використовуємо вектор переміщення \( (h, k) \) , нова точка стає \( (x+h, y+k) \) . Це саме правило застосовується незалежно від того, чи переміщуєте ви окрему точку, чи цілу фігуру, таку як трикутник або прямокутник.
Чітка сітка допомагає візуалізувати переміщення. Намалюйте точку на сітці, потім додайте вектор і побудуйте нову точку. Це покаже вам точно, наскільки і в якому напрямку перемістилася точка.
Іноді ви можете побачити фігуру в одному місці, а потім побачити її в іншому. Ви можете визначити вектор переміщення, порівнявши координати точки у початковому положенні з точкою в новому положенні.
Наприклад, якщо точка переміщується з \( (2, 5) \) до \( (7, 8) \) , вектор переміщення визначається за формулою:
Відніміть координати x: \( 7 - 2 = 5 \) .
Відніміть координати y: \( 8 - 5 = 3 \) .
Вектор переміщення тут дорівнює \( (5, 3) \) .
Використання сітки – це корисний спосіб побачити переміщення в дії. Під час роботи з сіткою можна позначити як початкову, так і нову точку. Цей візуальний посібник дозволяє легше зрозуміти, наскільки змістилася точка.
Багато математичних задач використовують міліметровий папір або цифрові сітки. Незалежно від того, чи малюєте ви від руки, чи використовуєте комп'ютерну програму, завжди пам'ятайте, що переміщення переміщує кожну частину фігури на однакову величину.
Коли ви практикуєтеся з сітками, ви створюєте міцну основу для розуміння складніших рухів у геометрії пізніше.
Щоб вирішити проблеми з перекладами, виконайте такі чіткі кроки:
Крок 1: Уважно прочитайте задачу та визначте, що перекладається.
Крок 2: Запишіть початкові координати кожної точки або вершини.
Крок 3: Визначте вектор переміщення, наданий у задачі.
Крок 4: Додайте горизонтальну складову вектора до кожної x-координати.
Крок 5: Додайте вертикальну складову вектора до кожної координати y.
Крок 6: Запишіть нові координати, які представляють переміщені точки.
Цей покроковий метод підходить для будь-якої проблеми з перекладом і допомагає вам легко та правильно її вирішити.
Переклади використовуються в багатьох реальних ситуаціях. Ось кілька прикладів:
Комп'ютерна графіка та анімація: у відеоіграх та мультфільмах персонажі та об'єкти переміщуються по екрану за допомогою зміщень. Їхні позиції постійно оновлюються зі зміною сцен.
Робототехніка: Роботам часто потрібно переміщатися з однієї точки в іншу. Використовуючи переміщення, роботи розраховують, наскільки далеко і в якому напрямку рухати свої руки або колеса, щоб піднімати предмети або орієнтуватися в просторі.
Архітектура та дизайн: Під час проектування будівель або створення візерунків архітектори та дизайнери використовують переміщення для повторення елементів. Це гарантує, що візерунки залишаються послідовними та пропорційними протягом усієї їхньої роботи.
Щоденні рухи: Коли ви ковзаєте книгою по столу, ви виконуєте реальний переклад. Книга просто переміщується з одного місця в інше, не змінюючи її форми чи розміру.
Усі ці приклади показують, що переміщення є практичними та корисними в багатьох сферах. Вони допомагають зберегти цілісність об'єкта, просто змінюючи його положення.
Хоча в цьому уроці ми зосередилися на чистих переміщеннях, важливо знати, що переміщення іноді можна поєднувати з іншими рухами. У деяких задачах ви також можете побачити обертання або відображення. Однак, при чистому переміщенні є лише рух; немає повороту, відображення чи зміни розміру.
Зосереджуючись на чистих перекладах, ви можете сформувати міцне розуміння основного руху. Пізніше, у міру просування у навчанні, ви навчитеся поєднувати переклади з іншими типами трансформацій.
Уявіть, що ви малюєте на аркуші паперу невелику фігуру, наприклад, серце або зірку. Тепер уявіть, що ви переміщуєте фігуру в іншу частину паперу. Кожна точка, що утворює фігуру, рухається на однакову відстань в одному напрямку. Ця дія схожа на переміщення фігури в координатній геометрії.
Коли ви бачите об'єкти у своєму повсякденному житті, які переміщуються з одного положення в інше без змін, ви спостерігаєте переміщення в дії. Ця проста ідея є ключовою частиною розуміння того, як фігури поводяться на координатній сітці.
Ось короткий огляд ключових моментів щодо перекладів:
Визначення: Переміщення переміщує точку або фігуру, не змінюючи її розміру, форми чи орієнтації.
Вектор переміщення: Вектор \( (h, k) \) вказує, наскільки далеко і в якому напрямку рухатися. Число \( h \) переміщує об'єкт горизонтально, а \( k \) переміщує його вертикально.
Формула: Щоб змістити точку \( (x, y) \) , додайте вектор, щоб отримати нову точку: \( (x+h, \, y+k) \) .
Узгодженість: Кожна точка фігури переміщується на однакову величину при застосуванні переміщення.
Використання в реальному світі: від комп'ютерної графіки та робототехніки до повсякденних дій, таких як переміщення книги, переміщення є поширеним типом руху.
Майте на увазі ці моменти, працюючи з перетвореннями. Вони допоможуть вам зрозуміти не лише геометрію, а й багато застосувань поза межами математики.
На цьому уроці ми вивчали перенесення в координатній геометрії. Ми дослідили такі основні ідеї:
Переміщення переміщує точку або фігуру, не змінюючи її розміру, форми чи орієнтації.
Вектор переміщення, записаний як \( (h, k) \) , показує рух по горизонталі та вертикалі.
Формула перетворення проста: точка \( (x,y) \) стає \( (x+h, y+k) \) після перетворення.
Усі точки фігури рухаються однаково під час застосування переміщення, зберігаючи об'єкт неушкодженим.
Переклади корисні в багатьох реальних застосуваннях, таких як комп'ютерна графіка, робототехніка та дизайн.
Практикуючи переміщення та застосовуючи ці кроки до різних задач, ви станете впевненішими у використанні координатної геометрії. Пам’ятайте, що переміщення просто змінює положення об’єкта, зберігаючи все інше в ньому незмінним.
Цей урок дав вам вступ до переміщень. За допомогою цих ідей ви можете більше дослідити, як об'єкти рухаються та взаємодіють на сітці. Потренуйтеся виконувати ці кроки, і незабаром ви побачите, що робота з переміщеннями є одночасно простою та приємною.
Насолоджуйтесь відкриттям нового про геометрію та численні способи, якими вона допомагає нам зрозуміти світ навколо нас. У міру того, як ви продовжуватимете навчання, ці концепції слугуватимуть будівельними блоками для інших тем, таких як обертання, відбиття та складніші перетворення.
